Алгебра phys 2 осень 2017 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «__NOTOC__ <font size="3"><b><u>Лектор и преподаватели практики</u></b></font> <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньеви…»)
 
 
(не показано 5 промежуточных версий этого же участника)
Строка 16: Строка 16:
 
[5]&nbsp; А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.<br><br>
 
[5]&nbsp; А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.<br><br>
  
−
<font size="3"><b><u>Содержание первой половины третьего семестра курса алгебры</u></b></font>
+
<font size="3"><b><u>Содержание третьего семестра курса алгебры</u></b></font>
  
 
<h3>3&nbsp; Билинейная и полилинейная алгебра</h3>
 
<h3>3&nbsp; Билинейная и полилинейная алгебра</h3>
Строка 31: Строка 31:
 
<li>3.3.2&nbsp; Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
 
<li>3.3.2&nbsp; Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
 
<li>3.3.3&nbsp; Спектральная теория в унитарных пространствах
 
<li>3.3.3&nbsp; Спектральная теория в унитарных пространствах
−
<li>3.3.4&nbsp; Спектральная теория в евклидовых пространствах</ul><br>
+
<li>3.3.4&nbsp; Спектральная теория в евклидовых пространствах</ul>
 +
<h5>3.4&nbsp; Тензорные произведения векторных пространств</h5>
 +
<ul><li>3.4.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с тензорами
 +
<li>3.4.2&nbsp; Тензоры типа <math>(p,q)</math> и тензорная алгебра
 +
<li>3.4.3&nbsp; Операции над тензорами</ul>
 +
<h5>3.5&nbsp; Симметрические и внешние степени векторных пространств</h5>
 +
<ul><li>3.5.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
 +
<li>3.5.2&nbsp; Симметрическая алгебра и внешняя алгебра</ul>
 +
<h5>3.6&nbsp; Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> (часть 2)</h5>
 +
<ul><li>3.6.1&nbsp; Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
 +
<li>3.6.2&nbsp; Специальная ортохронная группа Лоренца</ul>
 +
<h5>3.7&nbsp; Многообразия (часть 2)</h5>
 +
<ul><li>3.7.1&nbsp; Тензорные поля, дифференциальные формы, ориентация многообразия
 +
<li>3.7.2&nbsp; Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</ul><br>
  
 
[[Алгебра_phys_2_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]]
 
[[Алгебра_phys_2_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]]
 +
 +
[[Алгебра_phys_2_ноябрь–декабрь|<font size="3"><b>Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]]<br><br>
 +
 +
<font size="3"><b><u>Информация об экзамене</u></b></font>
 +
 +
<h5>Вопросы к экзамену по второй половине третьего семестра</h5>
 +
<ol><li>Тензорное произведение пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора.
 +
<li>Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об универсальности тензорного произведения.
 +
<li>Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное произведение линейных операторов.
 +
<li>Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
 +
<li>Тензоры типа <math>(p,q)</math>. Примеры тензоров типа <math>(p,q)</math>. Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа <math>(p,q)</math>.
 +
<li>Тензоры типа <math>(p,q)</math> в координатах. Преобразование кооординат тензоров. Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
 +
<li>Тензоры с пропусками индексов. Кронекерово произведение матриц. Перестановка компонент тензоров.
 +
<li>Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
 +
<li>Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание и подъем индекса. Опускание и подъем индекса в координатах.
 +
<li>Симметрическая степень. Внешняя степень. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.
 +
<li>Операторы симметризации и альтернирования. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведение векторов.
 +
<li>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.
 +
<li>Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
 +
<li>Симметрическое и внешнее произведение тензоров. Симметрическое и внешнее произведение тензоров в координатах.
 +
<li>Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.
 +
<li>Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
 +
<li>Каноническая форма объема. Объем в координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.
 +
<li>Векторное произведение. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
 +
<li>Оператор Ходжа. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
 +
<li>Теорема о матричной группе Лоренца. Матричная специальная ортохронная группа Лоренца. Бусты и повороты.
 +
<li>Пространство Минковского. Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
 +
<li>Расслоение тензоров типа <math>(p,q)</math>. Тензорные поля типа <math>(p,q)</math>. Тензорные поля в координатах. Преобразование координат тензорных полей.
 +
<li>Дифференциальные формы. Дифференциальные формы в координатах. Алгебра дифференциальных форм. Теорема о внешнем дифференциале.
 +
<li>Внешний дифференциал в координатах. Замкнутые и точные формы. Ориентация многообразия. Положительные системы координат.
 +
<li>Метрический тензор. Римановы и псевдоримановы многообразия. Дифференциальные операции на псевдоримановых многообразиях с ориентацией.
 +
<li>Символы Кристоффеля. Ковариантная производная. Длина кривой. Условие на геодезическую кривую. Тензоры Римана и Риччи. Скалярная кривизна.</ol>
 +
 +
<h5>Правила проведения экзамена</h5>
 +
<ul><li>В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список<br>вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса, так как их будет<br>можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
 +
<li>Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса на специальном<br>столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 13, второй номер будет от 14 до 26) и затем<br>начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к<br>«столу знаний» и в течение не более двух минут посмотреть конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса.
 +
<li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
 +
<li>После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы<br>дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй<br>половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
 +
<li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность<br>использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).</ul>

Текущая версия на 23:00, 7 января 2018

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 201/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/1.

Преподаватель практики у подгруппы 201/2: Максим Владимирович Карев.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/2.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание третьего семестра курса алгебры

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой
  • 3.1.1  ¯-Билинейные формы
  • 3.1.2  ¯-Квадратичные формы
  • 3.1.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
  • 3.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
3.2  Геометрия в векторных пространствах над или (часть 1)
  • 3.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
  • 3.2.2  Предгильбертовы пространства
3.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы
  • 3.3.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
  • 3.3.2  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
  • 3.3.3  Спектральная теория в унитарных пространствах
  • 3.3.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах
3.4  Тензорные произведения векторных пространств
  • 3.4.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами
  • 3.4.2  Тензоры типа и тензорная алгебра
  • 3.4.3  Операции над тензорами
3.5  Симметрические и внешние степени векторных пространств
  • 3.5.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
  • 3.5.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
3.6  Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
  • 3.6.1  Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
  • 3.6.2  Специальная ортохронная группа Лоренца
3.7  Многообразия (часть 2)
  • 3.7.1  Тензорные поля, дифференциальные формы, ориентация многообразия
  • 3.7.2  Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

Информация об экзамене

Вопросы к экзамену по второй половине третьего семестра
  1. Тензорное произведение пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора.
  2. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об универсальности тензорного произведения.
  3. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное произведение линейных операторов.
  4. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
  5. Тензоры типа . Примеры тензоров типа . Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа .
  6. Тензоры типа в координатах. Преобразование кооординат тензоров. Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
  7. Тензоры с пропусками индексов. Кронекерово произведение матриц. Перестановка компонент тензоров.
  8. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
  9. Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание и подъем индекса. Опускание и подъем индекса в координатах.
  10. Симметрическая степень. Внешняя степень. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.
  11. Операторы симметризации и альтернирования. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведение векторов.
  12. Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.
  13. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
  14. Симметрическое и внешнее произведение тензоров. Симметрическое и внешнее произведение тензоров в координатах.
  15. Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.
  16. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
  17. Каноническая форма объема. Объем в координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.
  18. Векторное произведение. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
  19. Оператор Ходжа. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
  20. Теорема о матричной группе Лоренца. Матричная специальная ортохронная группа Лоренца. Бусты и повороты.
  21. Пространство Минковского. Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
  22. Расслоение тензоров типа . Тензорные поля типа . Тензорные поля в координатах. Преобразование координат тензорных полей.
  23. Дифференциальные формы. Дифференциальные формы в координатах. Алгебра дифференциальных форм. Теорема о внешнем дифференциале.
  24. Внешний дифференциал в координатах. Замкнутые и точные формы. Ориентация многообразия. Положительные системы координат.
  25. Метрический тензор. Римановы и псевдоримановы многообразия. Дифференциальные операции на псевдоримановых многообразиях с ориентацией.
  26. Символы Кристоффеля. Ковариантная производная. Длина кривой. Условие на геодезическую кривую. Тензоры Римана и Риччи. Скалярная кривизна.
Правила проведения экзамена
  • В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список
    вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций иили подробный план курса, так как их будет
    можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
  • Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
    столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 13, второй номер будет от 14 до 26) и затем
    начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
    «столу знаний» и в течение не более двух минут посмотреть конспект лекций иили подробный план курса.
  • Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
    если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  • После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
    дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
    половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
  • При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
    использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).
Источник — «http://mit.spbau.ru/sewiki/index.php?title=Алгебра_phys_2_осень_2017&oldid=14413»