Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 72: Строка 72:
 
<li><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,R)&\to R\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению, а также <math>\mathrm{GL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a\in R^\times\}</math> (доказ.-во только <math>\,\subseteq</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in R^n</math> выполнено <math>\det\bigl(a\cdot v_1\;\ldots\;a\cdot v_n\bigr)\!=\det a\cdot\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)</math>, а также <math>b\cdot a=\mathrm{id}_n\Rightarrow\,b=a^{-1}</math>;<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> выполнено <math>\det a^\mathtt T\!=\det a</math>;<br>(4) для любых <math>n',n''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',R)</math>, <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',R)</math> выполнено <math>\det\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\det a'\!\cdot\det a''</math>.</i>
 
<li><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,R)&\to R\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению, а также <math>\mathrm{GL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a\in R^\times\}</math> (доказ.-во только <math>\,\subseteq</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in R^n</math> выполнено <math>\det\bigl(a\cdot v_1\;\ldots\;a\cdot v_n\bigr)\!=\det a\cdot\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)</math>, а также <math>b\cdot a=\mathrm{id}_n\Rightarrow\,b=a^{-1}</math>;<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> выполнено <math>\det a^\mathtt T\!=\det a</math>;<br>(4) для любых <math>n',n''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',R)</math>, <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',R)</math> выполнено <math>\det\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\det a'\!\cdot\det a''</math>.</i>
 
<li>Специальная линейная группа: <math>\mathrm{SL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,R)</math>. Геом. смысл: <math>a\in\mathrm{SL}(n,R)</math><math>\,\,\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>a</math> сохраняет ориент. объем<math>\bigr)</math>.
 
<li>Специальная линейная группа: <math>\mathrm{SL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,R)</math>. Геом. смысл: <math>a\in\mathrm{SL}(n,R)</math><math>\,\,\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>a</math> сохраняет ориент. объем<math>\bigr)</math>.
<li>Аффинная линейная группа: <math>\mathrm{AGL}(n,R)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a\in\mathrm{GL}(n,R),\,z\in R^n\bigr\}\le\mathrm{GL}(n+1,R)</math>. Геометрический смысл: <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)=\Bigl(\begin{smallmatrix}a\,\cdot\,v\,+\,z\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.
+
<li>Аффинная линейная группа: <math>\mathrm{AGL}(n,R)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a\in\mathrm{GL}(n,R),\,z\in R^n\bigr\}\le\mathrm{GL}(n+1,R)</math>. Геометрический смысл: <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)=\Bigl(\begin{smallmatrix}a\cdot v\,+\,z\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.
 
<li>Ортогональная группа: <math>\mathrm O(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb R)</math>. Специальная ортогонал. группа: <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb R)\cap\mathrm O(n)\trianglelefteq\mathrm O(n)</math>.
 
<li>Ортогональная группа: <math>\mathrm O(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb R)</math>. Специальная ортогонал. группа: <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb R)\cap\mathrm O(n)\trianglelefteq\mathrm O(n)</math>.
 
<li>Унитарная группа: <math>\mathrm U(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\overline a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb C)</math>. Специальная унитарная группа: <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb C)\cap\mathrm U(n)\trianglelefteq\mathrm U(n)</math>.
 
<li>Унитарная группа: <math>\mathrm U(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\overline a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb C)</math>. Специальная унитарная группа: <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb C)\cap\mathrm U(n)\trianglelefteq\mathrm U(n)</math>.
Строка 88: Строка 88:
 
<li>Свободное действие (<math>X</math> — свободное <math>G</math>-мн.-во): <math>\forall\,x\in X\;\bigl(\mathrm{St}_G(x)=\{1\}\bigr)</math>. Торсор — однородное свободное <math>G</math>-мн.-во: <math>\forall\,x,y\in X\;\,\exists!\,g\in G\;\bigl(y=g\,x\bigr)</math>.
 
<li>Свободное действие (<math>X</math> — свободное <math>G</math>-мн.-во): <math>\forall\,x\in X\;\bigl(\mathrm{St}_G(x)=\{1\}\bigr)</math>. Торсор — однородное свободное <math>G</math>-мн.-во: <math>\forall\,x,y\in X\;\,\exists!\,g\in G\;\bigl(y=g\,x\bigr)</math>.
 
<li>Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: <math>\mathrm{Fix}_X(g)=\{x\in X\mid g\,x=x\}</math>. Лемма Бернсайда. Пример: <math>\frac1{n!}\!\sum_{u\in\mathrm S_n}|\mathrm{Fix}(u)|=1</math>.
 
<li>Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: <math>\mathrm{Fix}_X(g)=\{x\in X\mid g\,x=x\}</math>. Лемма Бернсайда. Пример: <math>\frac1{n!}\!\sum_{u\in\mathrm S_n}|\mathrm{Fix}(u)|=1</math>.
<p><u>Теорема о классах смежности по стабилизатору.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>X</math> — <math>G</math>-множество и <math>x\in X</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G/\,\mathrm{St}_G(x)&\to X\\g\,\mathrm{St}_G(x)&\mapsto g\,x\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно, является инъективным гомоморфизмом <math>G</math>-множеств и его образ есть <math>Gx</math>;<br>(2) если <math>|G|<\infty</math>, то <math>|G|=|\mathrm{St}_G(x)|\,|Gx|</math> (и, значит, <math>|Gx|</math> делит <math>|G|</math>).</i></p>
+
<p><u>Теорема о классах смежности по стабилизатору.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>X</math> — <math>G</math>-множество и <math>x\in X</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G/\,\mathrm{St}_G(x)&\to X\\g\,\mathrm{St}_G(x)&\mapsto g\,x\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно, является инъективным гомоморфизмом <math>G</math>-множеств и его образ есть <math>Gx</math>;<br>(2) если <math>|G|<\infty</math>, то <math>|G|=|Gx|\,|\mathrm{St}_G(x)|</math> (и, значит, <math>|Gx|</math> делит <math>|G|</math>).</i></p>
 
<p><u>Лемма Бернсайда.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>X</math> — <math>G</math>-множество и <math>|G|<\infty</math>; тогда <math>|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\mathrm{Fix}_X(g)|</math>.</i></p></ul>
 
<p><u>Лемма Бернсайда.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>X</math> — <math>G</math>-множество и <math>|G|<\infty</math>; тогда <math>|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\mathrm{Fix}_X(g)|</math>.</i></p></ul>
  

Версия 22:00, 1 января 2018

Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры

4   Кольца (часть 2)

4.1  Делимость в коммутативных кольцах
  • Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммутат. кольце : ; ; .
  • Утверждение: пусть — обл. цел.-сти, и ; тогда и . Обозн.-е в обл. цел.-сти.
  • Наибольший относ.-но общий делитель и : ; наименьшее относ.-но общее кратное и : ; и опред.-ны с точностью до .
  • Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
  • Главный идеал — идеал вида . Пример неглавн. идеала: в . Область главных идеалов — обл. цел.-сти, в которой все идеалы главные.
  • Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) ; ; ; ;
    (2) если идеал главный, то , и, если идеал главный, то ;
    (3) если в кольце все идеалы главные, то и существуют, а также .
  • Неприводимые и простые эл.-ты: и .
  • Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть — коммутативное кольцо; тогда
    (1) если — область целостности, то ;
    (2) если — область главных идеалов, то ;
    (3) для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) — область целостности;
    (4) если — область главных идеалов, то для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) ,
    (у3) — область целостности и (у4) — поле.
4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
  • Евклидова норма — такая функция , что относ.-но можно делить с остатком на ненул. эл.-ты и не убывает относ.-но на .
  • Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (); (); , , ().
  • Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) в невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в не существует такой бесконечной послед.-сти , что );
    (3) если , то для любых выполнено ;
    (4) — область главных идеалов (в частности, кольца и , где — поле, являются областями главных идеалов).
  • Факториальное кольцо — обл. цел.-сти с единств. (с точн.-ю до и перестановок) разложением любого ненул. эл.-та в произвед.-е неприводимых эл.-тов.
  • Примеры: — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо факториально, то и факториально (без доказательства).
  • Теорема о факториальности евклидовых колец.
    (1) Пусть — область целостности, в невозможна бесконечная строгая делимость и ; тогда — факториальное кольцо.
    (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (в частности, кольца и , где — поле, являются факториальными кольцами).
  • Теорема о факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произведение неприводимых элементов:
    и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
    (1) и ;
    (2) и .
4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
  • Соотношение Безу для эл.-тов и евклидова кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
  • Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда, если , то .
  • Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
  • Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
  • Теорема о свойствах функции Эйлера.
    (1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
    (2) Пусть и ; тогда .
    (3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
    ; тогда .
4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  • Производная многочлена: . Правило Лейбница. Пусть — кольцо и ; тогда .
  • Корень кратности многочлена : (). Теорема о кратных корнях.

    Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) если — корень кратности не меньше многочлена , то — корень кратности не меньше многочлена ;
    (2) если — область целостности, не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена ;
    (3) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и .

  • Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
    такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
    (1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
    (2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона).
  • Поле частных: , где и , .
  • Теорема о поле частных. Отождествл.-е и . Примеры: , — поле рационал. дробей.

    Теорема о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
    для любых и выполнено (и, значит, ).

  • Несократимая запись: (, нормир.). Приведение к несократ. записи. Правильная дробь: (). Выделение правил. дроби.
  • Примарная дробь: (, нормир., , ). Простейшая дробь: (, нормир., , ).
  • Метод неопределенных коэффиц.-тов для разложения правильной дроби в сумму простейших дробей (док.-во корректности см. в п. 3 в § 4 главы 5 в [3]).
4.5  Матрицы, столбцы, строки
  • Множества матриц, столбцов и строк: , и . Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения. Кольцо , группа .
  • Матрицы специального вида: диагональные, скалярные, верхнетреугольные, нижнетреугольные, треугольные. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
  • Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей: , , . Утверждение: , , .
  • Строки матрицы : . Столбцы матрицы : . Утверждение: , а также .
  • Операторы умн.-я на матрицу между и : — группа по сложению. Теорема об операторах умножения на матрицу.

    Теорема об операторах умножения на матрицу. Пусть — кольцо и ; тогда
    (1) — изоморфизм групп по сложению и, если , то это отобр.-е — изоморфизм колец;
    (2) если — комм. кольцо, то
    (то есть множество операторов умножения на матрицу между и совпадает с множеством линейных операторов между и ).

  • Транспонирование матрицы : . След квадратн. матрицы : . Линейность и . Теорема о свойствах транспонирования и следа.

    Теорема о свойствах транспонирования и следа. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) для любых и выполнено и, если , то ;
    (2) для любых выполнено , и для любых выполнено .

  • Симметричные и антисимм. матрицы: , .

5   Группы (часть 2)

5.1  Символ Леви-Чивиты и симметрические группы
  • Транспозиции: (). Фундаментальные транспозиции: . Мн.-во инверсий: .
  • Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то , и, если , то .
  • Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа , упорядоченные
    по неубыванию (то есть и ); тогда
    (1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
    (2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
    следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что .
  • Символ Леви-Чивиты: , если числа попарно различны; иначе . Пример: .
  • Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: ; ().

    Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
    (1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это сюръективный гомоморфизм групп;
    (2) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
    (3) для любых выполнено , где — количество циклов четной длины в цикловой записи перестановки ;
    (4) для любых и выполнено .

  • Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
    неупорядоченные наборы длин циклов в цикловой записи перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны.
  • Задание группы образующими и соотношениями: порождена образ.-ми с соотн.-ми инволютивности, локальности и кос (без док.-ва).
5.2  Определитель матрицы и группы матриц
  • Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Расстановки ладей и .
  • Примеры: — ориентированная площадь, — ориентиров. объем. Лемма об определителе набора столбцов.

    Лемма об определителе набора столбцов. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если столбцы не попарно различны, то ;
    (3) для любых выполнено .

  • Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) — гомоморфизм моноидов по умножению, а также (доказ.-во только );
    (2) для любых и выполнено , а также ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) для любых , , и выполнено .
  • Специальная линейная группа: . Геом. смысл: сохраняет ориент. объем.
  • Аффинная линейная группа: . Геометрический смысл: .
  • Ортогональная группа: . Специальная ортогонал. группа: .
  • Унитарная группа: . Специальная унитарная группа: .
  • Изометрии в : (доказ.-во только ). Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.

    Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах. Отображение — изоморфизм колец, и
    , а также отображение — изоморфизм групп.

5.3  Действия групп на множествах
  • Действие группы на множ.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
  • Примеры: действует на , группы матриц действуют на , группа действует на (где ) умножением слева и на сопряжением.
  • Теорема Кэли. Точное действие: — инъекция. Динамическая система с дискретнымнепрерывным временем — мн.-во с действием группы .

    Теорема Кэли. Пусть — группа; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — биекция (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм групп.

  • -Множество — множество с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: .
  • Орбита точки : (, где ). Множество орбит: — разбиение мн.-ва .
  • Транзитивное действие ( — однородное -мн.-во): . Стабилизатор: . Стабилизаторы платоновых тел в .
  • Свободное действие ( — свободное -мн.-во): . Торсор — однородное свободное -мн.-во: .
  • Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: . Лемма Бернсайда. Пример: .

    Теорема о классах смежности по стабилизатору. Пусть — группа, -множество и ; тогда
    (1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть ;
    (2) если , то (и, значит, делит ).

    Лемма Бернсайда. Пусть — группа, -множество и ; тогда .

5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
  • Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутренних автоморф.-в: .
  • Центр: . Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморфизмов: .

    Теорема о внутренних автоморфизмах. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро есть ,
    его образ есть (и, значит, ) и, кроме того, .

  • Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): . Коммутант группы : .
  • Утверждение: . Теорема о коммутанте. Пример: (доказ.-во только включения ). Абелианизация группы : .

    Теорема о коммутанте. Пусть — группа и ; тогда группа абелева, если и только если (и, значит, абелева).

  • Простая группа: . Примеры: группы (), ( — поле, ), простые (без доказ.-ва).
  • Полупрямое произвед.-е относ.-но действия (): с бинарной операцией .
  • Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
  • Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".