Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 23: | Строка 23: | ||
<li>Преобразование при замене базиса: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\!\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\;T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math>. Примеры: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>, <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>. | <li>Преобразование при замене базиса: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\!\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\;T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math>. Примеры: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>, <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>. | ||
<li>Тензорная алгебра над <math>V</math>: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы <math>\mathcal T^kV\otimes\mathcal T^{k'}\!V\cong\mathcal T^{k+k'}\!V</math>). | <li>Тензорная алгебра над <math>V</math>: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы <math>\mathcal T^kV\otimes\mathcal T^{k'}\!V\cong\mathcal T^{k+k'}\!V</math>). | ||
− | <li><u>Теорема о тензорной алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда множество<br><math>\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid | + | <li><u>Теорема о тензорной алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда множество<br><math>\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathcal T(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!</math> выполнено<br><math>(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!</math> (и, значит, алгебра <math>\,\mathcal T(V)</math> изоморфна алгебре <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]</math>).</i></ul> |
<h5>3.4.3 Операции над тензорами</h5> | <h5>3.4.3 Операции над тензорами</h5> | ||
Строка 55: | Строка 55: | ||
<li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | <li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | ||
<li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над <math>V</math>: <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | <li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над <math>V</math>: <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid | + | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\,\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по неубыванию;<br>(2) <math>\,\bigcup_{k=0}^n\,\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по возрастанию;<br>(3) алгебра <math>\,\mathsf S(V)</math> изоморфна алгебре <math>K[x_1,\ldots,x_n]</math>, и алгебра <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math> изоморфна алгебре <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]</math>.</i></ul> |
<h3>3.6 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> (часть 2)</h3> | <h3>3.6 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> (часть 2)</h3> | ||
Строка 75: | Строка 75: | ||
<h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | <h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | ||
<ul><li>Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)\mid\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta\}</math>, где <math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Двумерная сфера: <math>\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}</math> (<math>\|v\|=\!\sqrt{v^\mathtt Tv\,}</math>). | <ul><li>Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)\mid\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta\}</math>, где <math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Двумерная сфера: <math>\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}</math> (<math>\|v\|=\!\sqrt{v^\mathtt Tv\,}</math>). | ||
− | <li><u>Теорема о матричной группе Лоренца.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\, | + | <li><u>Теорема о матричной группе Лоренца.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>v,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>f=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon f^\mathtt Tv\,\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2f^\mathtt Tf-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det f</math>.<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det f))\end{align}\!\Biggr)</math> — сюръективный гомоморфизм групп, и <math>\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}</math> — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)</math> и <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}</math>.</i> |
− | <li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\; | + | <li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;v^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,v\,v^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,v\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>. |
<li>Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (это опр.-е не завис. от выбора базиса). | <li>Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (это опр.-е не завис. от выбора базиса). | ||
<li>Спинорная модель пр.-ва Минковского: <math>\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)</math> — пр.-во эрмит.-х матриц разм. <math>2\times2</math>. Матрицы Паули: <math>\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)</math>. | <li>Спинорная модель пр.-ва Минковского: <math>\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)</math> — пр.-во эрмит.-х матриц разм. <math>2\times2</math>. Матрицы Паули: <math>\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)</math>. | ||
<li><u>Теорема о спинорной модели пространства Минковского.</u><br><i>(1) Пусть <math>i,j\in\{1,2,3\}</math>; тогда <math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\varepsilon_{i,j,k}\,\mathrm i\,\sigma_k</math> и <math>\,\mathrm{tr}\,(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math>.<br>(2) Пусть <math>\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr),\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)\!\in\mathbb R^4</math>, <math>l=l^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3l^i\sigma_i</math> и <math>m=m^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3m^i\sigma_i</math>; тогда <math>l=\Bigl(\begin{smallmatrix}l^0+l^3&l^1-l^2\,\mathrm i\!\\l^1+l^2\,\mathrm i&l^0-l^3\end{smallmatrix}\Bigr)</math> и <math>\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2=\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr)^{\!\!\mathtt T}\eta\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)</math>.<br>(3) Форма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math> определяет на <math>\mathcal M</math> структуру пространства Минковского, и <math>(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\mathcal E</math> подпространство <math>\langle\mathrm{id}_2\rangle^\perp\!</math> в <math>\mathcal M</math>, имеем следующие факты: <math>\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>, сужение формы из пункта (3), взятое с<br>противоположным знаком, определяет на <math>\mathcal E</math> структуру евклидова пространства, и <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)</math>, а также <math>\forall\,u\in\mathcal E\;\bigl(u^2=\|u\|^2\,\mathrm{id}_2\bigr)</math>.</i> | <li><u>Теорема о спинорной модели пространства Минковского.</u><br><i>(1) Пусть <math>i,j\in\{1,2,3\}</math>; тогда <math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\varepsilon_{i,j,k}\,\mathrm i\,\sigma_k</math> и <math>\,\mathrm{tr}\,(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math>.<br>(2) Пусть <math>\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr),\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)\!\in\mathbb R^4</math>, <math>l=l^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3l^i\sigma_i</math> и <math>m=m^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3m^i\sigma_i</math>; тогда <math>l=\Bigl(\begin{smallmatrix}l^0+l^3&l^1-l^2\,\mathrm i\!\\l^1+l^2\,\mathrm i&l^0-l^3\end{smallmatrix}\Bigr)</math> и <math>\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2=\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr)^{\!\!\mathtt T}\eta\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)</math>.<br>(3) Форма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math> определяет на <math>\mathcal M</math> структуру пространства Минковского, и <math>(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\mathcal E</math> подпространство <math>\langle\mathrm{id}_2\rangle^\perp\!</math> в <math>\mathcal M</math>, имеем следующие факты: <math>\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>, сужение формы из пункта (3), взятое с<br>противоположным знаком, определяет на <math>\mathcal E</math> структуру евклидова пространства, и <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)</math>, а также <math>\forall\,u\in\mathcal E\;\bigl(u^2=\|u\|^2\,\mathrm{id}_2\bigr)</math>.</i> | ||
− | <li><u>Теорема | + | <li>Утверждение: <math>\forall\,\varphi\in\mathbb R,\,u\in\mathcal E\;\bigl(\|u\|=1\,\Rightarrow\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\mathrm{ch}\,\varphi\;\mathrm{id}_2+\mathrm{sh}\,\varphi\;u\,\land\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!=\cos\varphi\;\mathrm{id}_2+\sin\varphi\;\mathrm i\,u\bigr)</math>. Теорема о бустах и поворотах (эскиз доказ.-ва). |
+ | <p><u>Теорема о бустах и поворотах.</u> <i>Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>, <math>u\in\mathcal E</math> и <math>\|u\|=1</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — буст в <math>\mathcal M</math> с быстротой <math>2\,\varphi</math> вдоль оси с направляющим<br>вектором <math>u</math>, и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот в <math>\mathcal M</math> на угол <math>2\,\varphi</math> вокруг оси с направляющим вектором <math>u</math>.</i></p> | ||
<li>Спинорные представления: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SL}(2,\mathbb C)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}^+(\mathcal M)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,\overline g^\mathtt T\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}(\mathcal E)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизмы групп (без доказ.-ва).</ul> | <li>Спинорные представления: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SL}(2,\mathbb C)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}^+(\mathcal M)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,\overline g^\mathtt T\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}(\mathcal E)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизмы групп (без доказ.-ва).</ul> | ||
<h3>3.7 Многообразия (часть 2)</h3> | <h3>3.7 Многообразия (часть 2)</h3> | ||
<h5>3.7.1 Дифференциальные формы</h5> | <h5>3.7.1 Дифференциальные формы</h5> | ||
− | <ul><li>Расслоение тензоров типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>. | + | <ul><li>Расслоение тензоров типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>. Пр.-во тензорн. полей типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathrm{Tens}^p_q(M)=\{T\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ T=\mathrm{id}_M\}</math>. |
<li>Тенз. поле в коорд.: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\frac\partial{\partial x^{i_1}}\!\otimes\ldots\otimes\!\frac\partial{\partial x^{i_p}}\!\otimes\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_q}</math>. Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\frac\partial{\partial x^i}</math>, <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}</math>. | <li>Тенз. поле в коорд.: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\frac\partial{\partial x^{i_1}}\!\otimes\ldots\otimes\!\frac\partial{\partial x^{i_p}}\!\otimes\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_q}</math>. Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\frac\partial{\partial x^i}</math>, <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}</math>. | ||
<li>Преобр. координат тензорного поля при замене координат на <math>M</math>: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_1}}{\partial x^{k_1}}\!\circ\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_p}}{\partial x^{k_p}}\!\circ\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^{l_1}}{\partial x^\tilde{j_1}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^{l_q}}{\partial x^\tilde{j_q}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math>. | <li>Преобр. координат тензорного поля при замене координат на <math>M</math>: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_1}}{\partial x^{k_1}}\!\circ\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_p}}{\partial x^{k_p}}\!\circ\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^{l_1}}{\partial x^\tilde{j_1}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^{l_q}}{\partial x^\tilde{j_q}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Пр.-во дифференц. <math>k</math>-форм: <math>\Omega^k(M)=\{\omega\in\mathrm{Tens}_k(M)\mid\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{AMulti}_k(\mathrm T_mM)\bigr)\}</math>. В коорд.-х: <math>\omega=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math>. |
− | + | <li>Алгебра дифференциальных форм: <math>\Omega(M)=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)</math> — ассоциат. суперкоммут. <math>\mathbb R</math>-алгебра с <math>1</math>. Теорема о внешнем дифференциале (эскиз доказ.-ва). | |
+ | <p><u>Теорема о внешнем дифференциале.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие; тогда существует единственный такой линейный оператор <math>\mathrm d\in\mathrm{End}(\Omega(M))</math>, что<br><math>\forall\,k,k'\!\in\mathbb N_0,\,\omega\in\Omega^k(M),\,\omega'\!\in\Omega^{k'}\!(M)\;\bigl(\mathrm d(\omega\wedge\omega')=\mathrm d\omega\wedge\omega'+(-1)^k\,\omega\wedge\mathrm d\omega'\bigr)</math> (то есть <math>\mathrm d</math> — супердифференцирование алгебры <math>\,\Omega(M)</math>), а также<br>для любых <math>f\in\mathrm C^\infty\!(M)</math> выполнено <math>\mathrm d(f)=\mathrm df</math> и <math>\mathrm d(\mathrm df)=0</math> (напоминание: <math>\forall\,m\in M,\,\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)\;\bigl(\mathrm df(m))(\dot\gamma(0))=(f\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(0)\bigr)</math>).</i></p> | ||
+ | <li>Дифференциал в коорд.-х: <math>\mathrm d(f\,\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k})=\mathrm df\wedge\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math>. Утверждение: <math>\mathrm d^2=0</math>. Замкнутая форма: <math>\mathrm d\omega=0</math>. Точная форма: <math>\omega=\mathrm d\psi</math>.</ul> | ||
− | + | <h5>3.7.2 Псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</h5> | |
− | < | + | <!--<ul><li>Псевдориманово многообразие сигнатуры <math>(p,q)</math> — многообразие с метрической формой сигнатуры <math>(p,q)</math> (форма имеет сигн.-у <math>(p,q)</math> в каждой точке). |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | <li>Псевдориманово многообразие сигнатуры <math>(p,q)</math> — многообразие с метрической формой сигнатуры <math>(p,q)</math> (форма имеет сигн.-у <math>(p,q)</math> в каждой точке). | + | |
<li>Градиент функции: <math>\nabla f={\uparrow^\sigma}(\mathrm df)</math>; дивергенция и ротор вект. поля: <math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,({\downarrow_\sigma}v)</math> и <math>\mathrm{rot}\,v={\uparrow^\sigma}(*\,\mathrm d({\downarrow_\sigma}v))</math>; лапласиан функции: <math>\Delta f=\mathrm{div}(\nabla f)</math><br>(опускание индекса, подъем индекса и оператор Ходжа на <math>M</math>: <math>({\downarrow_\sigma}v)(m)={\downarrow_{\sigma(m)}}(v(m))</math>, <math>({\uparrow^\sigma}\lambda)(m)={\uparrow^{\sigma(m)}}(\lambda(m))</math> и <math>(*\,\omega)(m)=*(\omega(m))</math>).</ul>--> | <li>Градиент функции: <math>\nabla f={\uparrow^\sigma}(\mathrm df)</math>; дивергенция и ротор вект. поля: <math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,({\downarrow_\sigma}v)</math> и <math>\mathrm{rot}\,v={\uparrow^\sigma}(*\,\mathrm d({\downarrow_\sigma}v))</math>; лапласиан функции: <math>\Delta f=\mathrm{div}(\nabla f)</math><br>(опускание индекса, подъем индекса и оператор Ходжа на <math>M</math>: <math>({\downarrow_\sigma}v)(m)={\downarrow_{\sigma(m)}}(v(m))</math>, <math>({\uparrow^\sigma}\lambda)(m)={\uparrow^{\sigma(m)}}(\lambda(m))</math> и <math>(*\,\omega)(m)=*(\omega(m))</math>).</ul>--> |
Версия 00:00, 22 ноября 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существ. единств. такой , что
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
и . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензор типа в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых его элементов и выполнено
(и, значит, алгебра изоморфна алгебре ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - Опускание индекса с -й поз.-и: . Подъем индекса с -й поз.-и: .
- Опускание индекса с -й позиции в координатах: .
- Подъем индекса с -й позиции в координатах: .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
(1) (напоминание: и );
(2) и (и, значит, и ). - Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. и внешнее произв. векторов: и . Пример: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — в. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единственный такой , что ;
(2) для любых существует единственный такой , что . - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
- Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
- Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
, и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых его элементов и
выполнено , где числа суть числа , упорядоченные по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых его элементов и
выполнено , где суть , упоряд. по возрастанию;
(3) алгебра изоморфна алгебре , и алгебра изоморфна алгебре .
3.6 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- Каноническая форма объема псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (): (если , то ).
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, , , и ; тогда
и, если попарно ортогональны, то . - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, ,
и ; тогда
(1) ;
(2) если , то . - Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Вект. произведение в координатах: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и . - Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: (здесь ).
- Пример: . Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориент., , , и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых и выполнено , где числа
суть числа из множества , упорядоченные по возрастанию (в частности, и ).Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть — псевдоевкл. пр.-во с ориент., , и ; тогда
(1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
(2) для любых выполнено , где (в координатах );
(3) для любых вып. , и, если , то для любых вып. .
3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца
- Матричная группа Лоренца: , где . Двумерная сфера: ().
- Теорема о матричной группе Лоренца.
(1) Пусть ; тогда , а также .
(2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
, () и ; тогда , а также
и .
(3) — сюръективный гомоморфизм групп, и — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
(4) Обозначая через ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: и . - Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
- Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры ; (это опр.-е не завис. от выбора базиса).
- Спинорная модель пр.-ва Минковского: — пр.-во эрмит.-х матриц разм. . Матрицы Паули: , , .
- Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
(1) Пусть ; тогда и .
(2) Пусть , и ; тогда и .
(3) Форма определяет на структуру пространства Минковского, и .
(4) Обозначая через подпространство в , имеем следующие факты: , сужение формы из пункта (3), взятое с
противоположным знаком, определяет на структуру евклидова пространства, и , а также . - Утверждение: . Теорема о бустах и поворотах (эскиз доказ.-ва).
Теорема о бустах и поворотах. Пусть , и ; тогда — буст в с быстротой вдоль оси с направляющим
вектором , и — поворот в на угол вокруг оси с направляющим вектором . - Спинорные представления: и — изоморфизмы групп (без доказ.-ва).
3.7 Многообразия (часть 2)
3.7.1 Дифференциальные формы
- Расслоение тензоров типа : . Пр.-во тензорн. полей типа : .
- Тенз. поле в коорд.: . Примеры: , .
- Преобр. координат тензорного поля при замене координат на : .
- Пр.-во дифференц. -форм: . В коорд.-х: .
- Алгебра дифференциальных форм: — ассоциат. суперкоммут. -алгебра с . Теорема о внешнем дифференциале (эскиз доказ.-ва).
Теорема о внешнем дифференциале. Пусть — многообразие; тогда существует единственный такой линейный оператор , что
(то есть — супердифференцирование алгебры ), а также
для любых выполнено и (напоминание: ). - Дифференциал в коорд.-х: . Утверждение: . Замкнутая форма: . Точная форма: .