Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 74: | Строка 74: | ||
<h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | <h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | ||
− | <ul><li>Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)</math> | + | <ul><li>Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)\mid\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta\,\}</math>, где <math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Двумерная сфера: <math>\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}</math> (<math>\|v\|=\!\sqrt{v^\mathtt Tv\,}</math>). |
− | < | + | <li><u>Теорема о свойствах группы <b>O(1,3)</b>.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,u=w=0_{\mathbb R^3}</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,u=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>u,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>h=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\mathrm{ch}\,\varphi\;h\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon\,h^\mathtt Tu\;\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,h^\mathtt Th-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det h</math>.<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\mathrm{ch}\,\varphi\;h\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det h))\end{align}\!\Biggr)</math> — сюръективный гомоморфизм групп, и <math>\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}</math> — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из п.-та (3), имеем след. факты: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)</math> и <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}=</math><br><math>=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\mathrm{ch}\,\varphi\;h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;\infty),\,\varphi=0\,\Rightarrow\,u=w=0_{\mathbb R^3},\,\varphi>0\,\Rightarrow\,u,w\in\mathrm S^2,\,h\in\mathrm{GL}_{>0}(3,\mathbb R),\,w=h^\mathtt Tu,\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,h^\mathtt Th-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3\bigr\}</math>.</i> |
− | <li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math> | + | <li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;u^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,u\,u^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,u\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>. |
− | <li> | + | <li>Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (это опр.-е не завис. от выбора базиса). |
− | + | <li>Пр.-во эрмитовых матриц разм. <math>2\times2</math>: <math>\mathrm{Herm}(2)=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)</math> — вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Матрицы Паули: <math>\sigma_0=\mathrm{id}_2</math>, <math>\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)</math>. | |
− | < | + | <li><u>Теорема о матрицах Паули и пространстве <b>Herm(2)</b>.</u><br><i>(1) Пусть <math>i,j\in\{1,2,3\}</math>; тогда <math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\sigma_0+\sum_{k=1}^3\varepsilon_{i,j,k}\,\mathrm i\,\sigma_k</math> и <math>\,\mathrm{tr}\,(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math>.<br>(2) Пусть <math>l^0,l^1,l^2,l^3,m^0,m^1,m^2,m^3\!\in\mathbb R</math>, <math>l=\sum_{i=0}^3l^i\sigma_i</math> и <math>m=\sum_{i=0}^3m^i\sigma_i</math>; тогда <math>l=\Bigl(\begin{smallmatrix}l^0+l^3&l^1-l^2\,\mathrm i\!\\l^1+l^2\,\mathrm i&l^0-l^3\end{smallmatrix}\Bigr)</math> и <math>\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2={\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr)\!\!}^\mathtt T\eta\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>.<br>(3) Форма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Herm}(2)\times\mathrm{Herm}(2)&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math> опред. на <math>\,\mathrm{Herm}(2)</math> структ. пр.-ва Минковского, и <math>(\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathrm{Herm}(2))</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{Herm}(2)_0</math> пространство <math>\langle\sigma_0\rangle^\perp</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{Herm}(2)_0=\mathrm{Herm}(2)\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>.</i> |
+ | <li>Спинорное преставление: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SL}(2,\mathbb C)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}^+(\mathrm{Herm}(2))\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,\overline g^\mathtt T\,\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм групп (эскиз доказательства; см. пункт 12 в § 12 части 2 в [5]). | ||
+ | <!--<li><math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\mathrm{ch}\,\varphi\;\sigma_0+\mathrm{sh}\,\varphi\;u</math> <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!=\cos\varphi\;\sigma_0+\sin\varphi\;\mathrm i\,u</math>--> | ||
+ | <li><u>Теорема об описании бустов и поворотов в пространстве <b>Herm(2)</b>.</u><br><i>(1) Пусть <math>u\in\mathrm{Herm}(2)_0</math>, <math>\|u\|=1</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Herm}(2)&\to\mathrm{Herm}(2)\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\end{align}\!\biggr)</math> — буст вдоль оси с направляющим вектором <math>u</math> с быстротой <math>2\,\varphi</math>.<br>(2) Пусть <math>u\in\mathrm{Herm}(2)_0</math>, <math>\|u\|=1</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Herm}(2)&\to\mathrm{Herm}(2)\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот вокруг оси с направляющим вектором <math>u</math> на угол <math>2\,\varphi</math>.</i></ul> | ||
<h3>3.7 Многообразия (часть 2)</h3> | <h3>3.7 Многообразия (часть 2)</h3> |
Версия 21:00, 12 ноября 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существует единств. такой лин. оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм вект. пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
и . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензоры типа в координ.-х: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых элементов и этого базиса
выполнено (и, значит, отображение, продолжающее по линейности заданное
на базисе отображение , — изоморфизм алгебр с ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - Опускание с -й поз.-и на -ю: .
- Подъем с -й позиции на -ю: .
- Опускание и подъем индексов в коорд.-х: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
(1) (напоминание: и );
(2) и (и, значит, и ). - Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. и внешнее произв. векторов: и . Пример: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — в. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единств. такой линейный оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
(2) для любых существует единств. такой линейный оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
- Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
- Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
, и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых элементов и этого
базиса выполнено , где числа суть числа , упоряд. по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа
суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.6 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- Каноническая форма объема псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (): (если , то ).
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, , , и ; тогда
и, если попарно ортогональны, то . - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, ,
и ; тогда
(1) ;
(2) если , то . - Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Вект. произведение в координатах: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и . - Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: (здесь ).
- Пример: . Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориент., , , и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых и выполнено , где числа
суть числа из множества , упорядоченные по возрастанию (в частности, и ).Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть — псевдоевкл. пр.-во с ориент., , и ; тогда
(1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных простр.-в);
(2) для любых выполнено , где (в координатах );
(3) для любых выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено .
3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца
- Матричная группа Лоренца: , где . Двумерная сфера: ().
- Теорема о свойствах группы O(1,3).
(1) Пусть ; тогда , а также .
(2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
, () и ; тогда , а также
и .
(3) — сюръективный гомоморфизм групп, и — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
(4) Обозначая через ядро гомоморфизма из п.-та (3), имеем след. факты: и
. - Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
- Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры ; (это опр.-е не завис. от выбора базиса).
- Пр.-во эрмитовых матриц разм. : — вект. пр.-во над . Матрицы Паули: , , , .
- Теорема о матрицах Паули и пространстве Herm(2).
(1) Пусть ; тогда и .
(2) Пусть , и ; тогда и .
(3) Форма опред. на структ. пр.-ва Минковского, и .
(4) Обозначая через пространство , имеем следующие факты: . - Спинорное преставление: — изоморфизм групп (эскиз доказательства; см. пункт 12 в § 12 части 2 в [5]).
- Теорема об описании бустов и поворотов в пространстве Herm(2).
(1) Пусть , и ; тогда — буст вдоль оси с направляющим вектором с быстротой .
(2) Пусть , и ; тогда — поворот вокруг оси с направляющим вектором на угол .