Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 13: | Строка 13: | ||
<h5>1.4.2 Евклидовы кольца и факториальные кольца</h5> | <h5>1.4.2 Евклидовы кольца и факториальные кольца</h5> | ||
− | <ul><li>Евклидова норма на <math>R</math>: <math>\nu\,\colon R\to N</math> (<math>N\subseteq\mathbb N_0\cup\{-\infty\}</math>), где <math>\,\forall\,r\in R\!\setminus\!\{0\},\,s\in R\ | + | <ul><li>Евклидова норма на <math>R</math>: <math>\nu\,\colon R\to N</math> (<math>N\subseteq\mathbb N_0\cup\{-\infty\}</math>), где <math>\,\forall\,r\in R\!\setminus\!\{0\},\,s\in R\;\,\exists\,q,t\in R\;\bigl(s=q\,r+t\,\land\,\nu(t)<\nu(r)\bigr)</math> и <math>\nu</math> не убывает относ.-но <math>|</math>. |
<li>Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: <math>\mathbb Z</math> (<math>\nu(a)=|a|</math>); <math>K[x]</math> (<math>\nu(f)=\deg f</math>); <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\sqrt2\,\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\mathrm e^{\frac{2\pi}3\mathrm i}]</math> (<math>\nu(a)=|a|^2</math>). | <li>Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: <math>\mathbb Z</math> (<math>\nu(a)=|a|</math>); <math>K[x]</math> (<math>\nu(f)=\deg f</math>); <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\sqrt2\,\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\mathrm e^{\frac{2\pi}3\mathrm i}]</math> (<math>\nu(a)=|a|^2</math>). | ||
<li><u>Теорема о евклидовых кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — евклидово кольцо с евклидовой нормой <math>\nu</math>; тогда<br>(1) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>s\in R</math> выполнено <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow\,\nu(s)<\nu(r)</math>;<br>(2) в <math>R</math> невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в <math>R</math> не существует такой бесконечной послед.-сти <math>r_1,r_2,\ldots</math>, что <math>\forall\,i\in\mathbb N\;\bigl(r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_i\bigr)</math>);<br>(3) если <math>I\trianglelefteq R</math>, то для любых <math>r\in I\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>I=(r)\,\Leftrightarrow\,\nu(r)=\min\{\nu(s)\mid s\in I\!\setminus\!\{0\}\}</math>;<br>(4) <math>R</math> — область главных идеалов (в частности, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, являются областями главных идеалов).</i> | <li><u>Теорема о евклидовых кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — евклидово кольцо с евклидовой нормой <math>\nu</math>; тогда<br>(1) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>s\in R</math> выполнено <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow\,\nu(s)<\nu(r)</math>;<br>(2) в <math>R</math> невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в <math>R</math> не существует такой бесконечной послед.-сти <math>r_1,r_2,\ldots</math>, что <math>\forall\,i\in\mathbb N\;\bigl(r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_i\bigr)</math>);<br>(3) если <math>I\trianglelefteq R</math>, то для любых <math>r\in I\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>I=(r)\,\Leftrightarrow\,\nu(r)=\min\{\nu(s)\mid s\in I\!\setminus\!\{0\}\}</math>;<br>(4) <math>R</math> — область главных идеалов (в частности, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, являются областями главных идеалов).</i> | ||
Строка 52: | Строка 52: | ||
<li>Симметрич. и антисимм. матрицы: <math>\mathrm{SMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=a\}</math> и <math>\mathrm{AMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=-a\,\land\,a^1_1=\ldots=a^n_n=0\}</math>. | <li>Симметрич. и антисимм. матрицы: <math>\mathrm{SMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=a\}</math> и <math>\mathrm{AMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=-a\,\land\,a^1_1=\ldots=a^n_n=0\}</math>. | ||
<li>Линейные операторы между <math>R^n</math> и <math>R^p</math> (координатное определение): <math>\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}</math>. Теорема о линейных операторах и матрицах. | <li>Линейные операторы между <math>R^n</math> и <math>R^p</math> (координатное определение): <math>\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}</math>. Теорема о линейных операторах и матрицах. | ||
− | <p><u>Теорема о линейных операторах и матрицах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо и <math>n,p\in\mathbb N_0</math>; тогда | + | <p><u>Теорема о линейных операторах и матрицах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо и <math>n,p\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(p,n,R)&\to\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}\\a&\mapsto\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм групп по сложению и, если <math>n=p</math>, то это отобр.-е — изоморфизм колец;<br>(2) если <math>R</math> — комм. кольцо, то <math>\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}=\{a\in\mathrm{Map}(R^n,R^p)\mid\forall\,v,v'\in R^n,\,c,c'\in R\;\bigl(a(c\,v+c'v')=c\,a(v)+c'a(v')\bigr)\}</math>.</i></p></ul> |
− | <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(p,n,R)&\to\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}\\a&\mapsto\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — | + | |
<h3>1.5 Группы (часть 2)</h3> | <h3>1.5 Группы (часть 2)</h3> |
Версия 02:00, 30 октября 2017
1 Основы алгебры
1.4 Кольца (часть 2)
1.4.1 Делимость в коммутативных кольцах
- Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце : ; ; .
- Наибольший относ.-но общий делитель и : ; наименьшее относ.-но общее кратное и : ; и опр.-ны с точностью до .
- Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
- Главный идеал — идеал вида . Пример неглавн. идеала: в . Область главных идеалов — обл. цел.-сти, в которой все идеалы главные.
- Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
(1) ; ; ; ;
(2) если — область целостности, то , а также ;
(3) и, если идеал главный, то ;
(4) если в кольце все идеалы главные, то и существуют, а также . - Неприводимые и простые эл.-ты: и .
- Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть — коммутативное кольцо; тогда
(1) если — область целостности, то ;
(2) если — область главных идеалов, то ;
(3) для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) — область целостности;
(4) если — область главных идеалов, то для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) ,
(у3) — область целостности и (у4) — поле.
1.4.2 Евклидовы кольца и факториальные кольца
- Евклидова норма на : (), где и не убывает относ.-но .
- Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (); (); , , ().
- Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) в невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в не существует такой бесконечной послед.-сти , что );
(3) если , то для любых выполнено ;
(4) — область главных идеалов (в частности, кольца и , где — поле, являются областями главных идеалов). - Факториальное кольцо — обл. цел.-сти с единств. (с точностью до и перестановок) разложением любого эл.-та () в произв.-е неприводимых эл.-тов.
- Примеры: — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо факториально, то и факториально (без доказательства).
- Теорема о факториальности евклидовых колец.
(1) Пусть — область целостности, в невозможна бесконечная строгая делимость и ; тогда — факториальное кольцо.
(2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (в частности, кольца и , где — поле, являются факториальными кольцами). - Теорема о факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произведение неприводимых элементов:
и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
(1) и ;
(2) и .
1.4.3 Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
- Соотношение Безу для эл.-тов и евклид. кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
- Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда, если , то .
- Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
- Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , и попарно взаимно просты (то есть
); тогда отображение — изоморфизм колец. - Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , и попарно взаимно просты (то есть
); тогда отображение — изоморфизм колец. - Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
- Теорема о свойствах функции Эйлера.
(1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
(2) Пусть и ; тогда .
(3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
; тогда .
1.4.4 Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
- Производная многочлена: . Правило Лейбница. Пусть — кольцо и ; тогда .
- Корень кратности многочлена : (). Теорема о кратных корнях.
Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
(1) если — корень кратности не меньше многочлена , то — корень кратности не меньше многочлена ;
(2) если — область целостности, не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена ;
(3) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и . - Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
(1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
(2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона). - Поле частных: , где и , .
- Теорема о поле частных. Отождествл.-е и . Примеры: , — поле рацион.-х дробей.
Теорема о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
для любых и выполнено (и, значит, ). - Несократимая запись: (, нормир.). Приведение к несократ. записи. Правильная дробь: (). Выделение правил. дроби.
- Примарная дробь: (, нормир., , ). Простейшая дробь: (, нормир., , ).
- Метод неопределенных коэффиц.-тов для разложения правильной дроби в сумму простейших дробей (док.-во корректности см. в п. 3 в § 4 главы 5 в [3]).
1.4.5 Матрицы, столбцы, строки
- Множества матриц, столбцов и строк: , и . Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения. Кольцо , группа .
- Матрицы специального вида: диагональные, скалярные, верхнетреугольные, нижнетреугольные, треугольные. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
- Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: , , . Утверждение: , , .
- Строки матрицы : . Столбцы матрицы : . Утверждение: , а также .
- Транспонирование матрицы : . След квадратной матрицы : . Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц.
Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц. Пусть — коммутативное кольцо, , и ;
тогда , а также, если , то . - Симметрич. и антисимм. матрицы: и .
- Линейные операторы между и (координатное определение): . Теорема о линейных операторах и матрицах.
Теорема о линейных операторах и матрицах. Пусть — кольцо и ; тогда
(1) — изоморфизм групп по сложению и, если , то это отобр.-е — изоморфизм колец;
(2) если — комм. кольцо, то .
1.5 Группы (часть 2)
1.5.1 Симметрические группы
- Транспозиции: (, ). Фундаментальные транспозиции: (). Число циклов в перестановке : .
- Множество инверсий последовательности : . Лемма о количестве инверсий.
Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
(1) ;
(2) если , то , и, если , то . - Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа ,
упорядоченные по неубыванию (то есть ); тогда
(1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
(2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что . - Знак последовательности : , если числа попарно различны; иначе .
- Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: .
Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
(1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это отображение — сюръекция и ;
(2) для любых таких , что , выполнено и ;
(3) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
(4) для любых выполнено . - Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
(неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны. - Задание группы коксетеровскими образующими и соотношениями (без доказат.-ва). Примеры: , задание группы .
1.5.2 Группы матриц
- Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Определитель и расстановки ладей на шахматной доске.
- Примеры: , . Определитель и объем. Теорема о свойствах определителя.
Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
(1) для любых , и выполнено
;
(2) для любых таких , что не попарно различны, выполнено ;
(3) для любых выполнено ;
(4) для любых , , и выполнено . - Анонс: пусть — поле; тогда и отобр. — гомоморфизм моноидов по умножению.
- Специальная линейн. группа: . Утверждение: .
- Ортогональная группа: . Специальная ортогон. группа: .
- Унитарная группа: . Специальная унитарная группа: .
- Изометрии в : (док.-во только ). Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах. Отображение — изоморфизм колец, а также
и отображение — изоморфизм групп. - Аффинная линейная группа: . Геометрический смысл: .
1.5.3 Действия групп на множествах
- Действие группы на мн.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
- Примеры: группа действует на , группы матриц действуют на , группа действует на сдвигами (где ) и на сопряжениями.
- Динамическая система с дискретнымнепрерывным временем (каскадпоток) — множество с действием группы группы . Теорема Кэли.
Теорема Кэли. Пусть — группа; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — биекция (то есть );
(2) отображение — инъективный гомоморфизм групп. - -Множество — множество с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: .
- Орбита точки : (, где ). Разбиение -множества на орбиты: .
- Транзитивное действие (однородное -мн.-во): . Стабилизатор: . Точное действие: .
- Свободное действие (свободное -мн.-во): . Торсор над — однородн. свободн. -мн.-во ().
- Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: . Лемма Бернсайда. Пример: .
Теорема о классах смежности по стабилизатору. Пусть — группа, — -множество и ; тогда
(1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть ;
(2) если , то .Лемма Бернсайда. Пусть — группа, — -множество и ; тогда .
1.5.4 Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
- Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутренних автоморф.-в: .
- Центр: . Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморф.-в: .
Теорема о внутренних автоморфизмах. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро есть ,
его образ есть (и, значит, ) и, кроме того, . - Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): . Коммутант группы : .
- Утверждение: . Теорема о коммутанте. Пример: (док.-во только включения ). Абелианизация группы : .
Теорема о коммутанте. Пусть — группа и ; тогда группа абелева, если и только если (и, значит, абелева).
- Простая группа: . Примеры: группы () и ( — поле, ) простые (без доказательства).
- Полупрямое произвед.-е относ.-но действия (): с бинарной операцией .
- Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
- Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
(1) , и ;
(2) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".