Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 4: Строка 4:
 
<h3>1.4&nbsp; Кольца (часть 2)</h3>
 
<h3>1.4&nbsp; Кольца (часть 2)</h3>
 
<h5>1.4.1&nbsp; Делимость в коммутативных кольцах</h5>
 
<h5>1.4.1&nbsp; Делимость в коммутативных кольцах</h5>
<ul><li>Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце <math>R</math>: <math>s\,|\,r\;\Leftrightarrow\;\exists\,t\in R\;\bigl(r=s\,t\bigr)</math>; <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\;\Leftrightarrow\;s\,|\,r\,\land\,\lnot(r\,|\,s)</math>; <math>r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;s\;\Leftrightarrow\;r\,|\,s\,\land\,s\,|\,r</math>.
+
<ul><li>Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце <math>R</math>: <math>s\,|\,r\;\Leftrightarrow\;\exists\,t\in R\;\bigl(r=s\,t\bigr)</math>; <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\;\Leftrightarrow\;s\,|\,r\,\land\,\lnot(r\,|\,s)</math>; <math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\;\Leftrightarrow\;r\,|\,s\,\land\,s\,|\,r</math>.
<li>Понятия <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> в коммут. кольце <math>R</math>: <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{gcd}(r,s)\;\Leftrightarrow\;\forall\,t'\in R\;\bigl(t'\,|\,r\,\land\,t'\,|\,s\,\Leftrightarrow\,t'\,|\,t\bigr)</math> и <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{lcm}(r,s)\;\Leftrightarrow\;\forall\,t'\in R\;\bigl(r\,|\,t'\,\land\,s\,|\,t'\,\Leftrightarrow\,t\,|\,t'\bigr)</math>.
+
<li>Наибольший относ.-но <math>|</math> общий делитель <math>r</math> и <math>s</math>: <math>\mathrm{gcd}(r,s)</math>; наименьшее относ.-но <math>|</math> общее кратное <math>r</math> и <math>s</math>: <math>\mathrm{lcm}(r,s)</math>; <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> опр.-ны с точностью до <math>\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim</math>.
 
<li>Нормировка <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> (если они не <math>0</math>) в <math>\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>: <math>\mathrm{gcd}(a,b)\in\mathbb N</math> и <math>\mathrm{lcm}(a,b)\in\mathbb N</math> — в <math>\mathbb Z</math>, многочлены <math>\mathrm{gcd}(f,g)</math> и <math>\mathrm{lcm}(f,g)</math> нормированы — в <math>K[x]</math>.
 
<li>Нормировка <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> (если они не <math>0</math>) в <math>\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>: <math>\mathrm{gcd}(a,b)\in\mathbb N</math> и <math>\mathrm{lcm}(a,b)\in\mathbb N</math> — в <math>\mathbb Z</math>, многочлены <math>\mathrm{gcd}(f,g)</math> и <math>\mathrm{lcm}(f,g)</math> нормированы — в <math>K[x]</math>.
<li>Главный идеал — идеал вида <math>(r)</math>. Пример неглавн. идеала: <math>(2)+(x)</math> в <math>\mathbb Z[x]</math>. Область главных идеалов — область цел.-сти, в кот. все идеалы главные.
+
<li>Главный идеал — идеал вида <math>(r)</math>. Пример неглавн. идеала: <math>(2)+(x)</math> в <math>\mathbb Z[x]</math>. Область главных идеалов — обл. цел.-сти, в которой все идеалы главные.
<li><u>Теорема о делимости и главных идеалах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>r,s,t\in R</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subseteq(s)</math>; <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subset(s)</math>; <math>r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;s\,\Leftrightarrow\,(r)=(s)</math>; <math>r\in R^\times\Leftrightarrow\,r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;1\,\Leftrightarrow\,(r)=R</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область целостности, то <math>r\ne0\;\Rightarrow\;\forall\,a,b\in R\;\bigl(a\,r=b\,r\,\Rightarrow\,a=b\bigr)</math>, а также <math>r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;s\;\Leftrightarrow\;\exists\,\varepsilon\in R^\times\bigl(r=\varepsilon\,s\bigr)</math>;<br>(3) <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{lcm}(r,s)\,\Leftrightarrow\,(t)=(r)\cap(s)</math> и, если идеал <math>(r)+(s)</math> главный, то <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{gcd}(r,s)\,\Leftrightarrow\,(t)=(r)+(s)</math>;<br>(4) если в кольце <math>R</math> все идеалы главные, то <math>(R/(r))^\times\!=\{s+(r)\in R/(r)\mid\mathrm{gcd}(r,s)\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;1\}</math>.</i>
+
<li><u>Теорема о делимости и главных идеалах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>r,s,t\in R</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subseteq(s)</math>; <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subset(s)</math>; <math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\,\Leftrightarrow\,(r)=(s)</math>; <math>r\in R^\times\Leftrightarrow\,r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim1\,\Leftrightarrow\,(r)=R</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область целостности, то <math>r\ne0\;\Rightarrow\;\forall\,a,b\in R\;\bigl(a\,r=b\,r\,\Rightarrow\,a=b\bigr)</math>, а также <math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\;\Leftrightarrow\;\exists\,\varepsilon\in R^\times\bigl(r=\varepsilon\,s\bigr)</math>;<br>(3) <math>t\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{lcm}(r,s)\,\Leftrightarrow\,(t)=(r)\cap(s)</math> и, если идеал <math>(r)+(s)</math> главный, то <math>t\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)\,\Leftrightarrow\,(t)=(r)+(s)</math>;<br>(4) если в кольце <math>R</math> все идеалы главные, то <math>\,\mathrm{gcd}(r,s)</math> и <math>\,\mathrm{lcm}(r,s)</math> существуют, а также <math>(R/(r))^\times\!=\{s+(r)\in R/(r)\mid\mathrm{gcd}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim1\}</math>.</i>
 
<li>Неприводимые и простые эл.-ты: <math>\mathrm{Irr}(R)=(R\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{s\,t\mid s,t\in R\!\setminus\!R^\times\!\}</math> и <math>\mathrm{Prime}(R)=\{r\in R\!\setminus\!(R^\times\!\cup\{0\})\mid\forall\,s,t\in R\;\bigl(r\,|\,s\,t\,\Rightarrow\,r\,|\,s\,\lor\,r\,|\,t\bigr)\}</math>.
 
<li>Неприводимые и простые эл.-ты: <math>\mathrm{Irr}(R)=(R\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{s\,t\mid s,t\in R\!\setminus\!R^\times\!\}</math> и <math>\mathrm{Prime}(R)=\{r\in R\!\setminus\!(R^\times\!\cup\{0\})\mid\forall\,s,t\in R\;\bigl(r\,|\,s\,t\,\Rightarrow\,r\,|\,s\,\lor\,r\,|\,t\bigr)\}</math>.
 
<li><u>Теорема о неприводимых и простых элементах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо; тогда<br>(1) если <math>R</math> — область целостности, то <math>\,\mathrm{Prime}(R)\subseteq\mathrm{Irr}(R)</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область главных идеалов, то <math>\,\mathrm{Irr}(R)=\mathrm{Prime}(R)</math>;<br>(3) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>r\in\mathrm{Prime}(R)</math> и (у2) <math>R/(r)</math> — область целостности;<br>(4) если <math>R</math> — область главных идеалов, то для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>r\in\mathrm{Irr}(R)</math>, (у2) <math>r\in\mathrm{Prime}(R)</math>,<br>(у3) <math>R/(r)</math> — область целостности и (у4) <math>R/(r)</math> — поле.</i></ul>
 
<li><u>Теорема о неприводимых и простых элементах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо; тогда<br>(1) если <math>R</math> — область целостности, то <math>\,\mathrm{Prime}(R)\subseteq\mathrm{Irr}(R)</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область главных идеалов, то <math>\,\mathrm{Irr}(R)=\mathrm{Prime}(R)</math>;<br>(3) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>r\in\mathrm{Prime}(R)</math> и (у2) <math>R/(r)</math> — область целостности;<br>(4) если <math>R</math> — область главных идеалов, то для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>r\in\mathrm{Irr}(R)</math>, (у2) <math>r\in\mathrm{Prime}(R)</math>,<br>(у3) <math>R/(r)</math> — область целостности и (у4) <math>R/(r)</math> — поле.</i></ul>
  
 
<h5>1.4.2&nbsp; Евклидовы кольца и факториальные кольца</h5>
 
<h5>1.4.2&nbsp; Евклидовы кольца и факториальные кольца</h5>
<ul><li>Евклидова норма на <math>R</math> — такая функция <math>\nu\,\colon R\to N</math> (<math>N\subseteq\mathbb N_0\cup\{-\infty\}</math>), что относ.-но <math>\nu</math> можно делить с остатком и <math>\nu</math> не убывает относ.-но делимости.
+
<ul><li>Евклидова норма на <math>R</math>: <math>\nu\,\colon R\to N</math> (<math>N\subseteq\mathbb N_0\cup\{-\infty\}</math>), где <math>\,\forall\,r\in R\!\setminus\!\{0\},\,s\in R\;\,\exists\,q,t\in R\;\bigl(s=q\,r+t\,\land\,\nu(t)<\nu(r)\bigr)</math> и <math>\nu</math> не убывает относ.-но <math>|</math>.
 
<li>Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: <math>\mathbb Z</math> (<math>\nu(a)=|a|</math>); <math>K[x]</math> (<math>\nu(f)=\deg f</math>); <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\sqrt2\,\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\mathrm e^{\frac{2\pi}3\mathrm i}]</math> (<math>\nu(a)=|a|^2</math>).
 
<li>Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: <math>\mathbb Z</math> (<math>\nu(a)=|a|</math>); <math>K[x]</math> (<math>\nu(f)=\deg f</math>); <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\sqrt2\,\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\mathrm e^{\frac{2\pi}3\mathrm i}]</math> (<math>\nu(a)=|a|^2</math>).
<li><u>Теорема о евклидовых кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — евклидово кольцо с евклидовой нормой <math>\nu</math>; тогда<br>(1) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>s\in R</math> выполнено <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow\,\nu(s)<\nu(r)</math>;<br>(2) в <math>R</math> нельзя бесконечно строго делить (то есть не существует такой последовательности <math>r_1,r_2,\ldots</math> эл.-тов кольца <math>R</math>, что <math>\forall\,i\in\mathbb N\;\bigl(r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_i\bigr)</math>);<br>(3) если <math>I\trianglelefteq R</math>, то для любых <math>r\in I\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>I=(r)\,\Leftrightarrow\,\nu(r)=\min\{\nu(s)\mid s\in I\!\setminus\!\{0\}\}</math>;<br>(4) <math>R</math> — область главных идеалов (в частности, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, являются областями главных идеалов).</i>
+
<li><u>Теорема о евклидовых кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — евклидово кольцо с евклидовой нормой <math>\nu</math>; тогда<br>(1) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>s\in R</math> выполнено <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow\,\nu(s)<\nu(r)</math>;<br>(2) в <math>R</math> невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в <math>R</math> не существует такой бесконечной послед.-сти <math>r_1,r_2,\ldots</math>, что <math>\forall\,i\in\mathbb N\;\bigl(r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_i\bigr)</math>);<br>(3) если <math>I\trianglelefteq R</math>, то для любых <math>r\in I\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>I=(r)\,\Leftrightarrow\,\nu(r)=\min\{\nu(s)\mid s\in I\!\setminus\!\{0\}\}</math>;<br>(4) <math>R</math> — область главных идеалов (в частности, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, являются областями главных идеалов).</i>
 
<li>Факториальное кольцо — область целостности с <math>\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim</math>-единственным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
 
<li>Факториальное кольцо — область целостности с <math>\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim</math>-единственным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
 
<li>Примеры: <math>\mathbb Z</math> — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо <math>R</math> факториально, то и <math>R[x]</math> факториально (без доказательства).
 
<li>Примеры: <math>\mathbb Z</math> — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо <math>R</math> факториально, то и <math>R[x]</math> факториально (без доказательства).
<li><u>Теорема о факториальности евклидовых колец.</u><br><i>(1) Пусть <math>R</math> — такая область целостности, что в <math>R</math> нельзя бесконечно строго делить и <math>\,\mathrm{Irr}(R)=\mathrm{Prime}(R)</math>; тогда <math>R</math> — факториальное кольцо.<br>(2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (в частности, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, являются факториальными кольцами).</i>
+
<li><u>Теорема о факториальности евклидовых колец.</u><br><i>(1) Пусть <math>R</math> — область целостности, в <math>R</math> невозможна бесконечная строгая делимость и <math>\,\mathrm{Irr}(R)=\mathrm{Prime}(R)</math>; тогда <math>R</math> — факториальное кольцо.<br>(2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (в частности, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, являются факториальными кольцами).</i>
 
<li><u>Теорема о факториальных кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — факториальное кольцо и <math>r,s\in R\!\setminus\!\{0\}</math>; разложим <math>r</math> и <math>s</math> в произведение неприводимых элементов:<br><math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}</math> и <math>s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{e_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{e_k}</math>, где <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>p_1,\ldots,p_k\in\mathrm{Irr}(R)</math>, <math>p_1,\ldots,p_k</math> попарно неассоциированы и <math>d_1,\ldots,d_k,e_1,\ldots,e_k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(e_i\le d_i\bigr)</math> и <math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(d_i=e_i\bigr)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{gcd}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\min(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\min(d_k,e_k)}</math> и <math>\,\mathrm{lcm}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\max(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}</math>.</i></ul>
 
<li><u>Теорема о факториальных кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — факториальное кольцо и <math>r,s\in R\!\setminus\!\{0\}</math>; разложим <math>r</math> и <math>s</math> в произведение неприводимых элементов:<br><math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}</math> и <math>s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{e_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{e_k}</math>, где <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>p_1,\ldots,p_k\in\mathrm{Irr}(R)</math>, <math>p_1,\ldots,p_k</math> попарно неассоциированы и <math>d_1,\ldots,d_k,e_1,\ldots,e_k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(e_i\le d_i\bigr)</math> и <math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(d_i=e_i\bigr)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{gcd}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\min(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\min(d_k,e_k)}</math> и <math>\,\mathrm{lcm}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\max(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}</math>.</i></ul>
  

Версия 03:00, 29 октября 2017

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Делимость в коммутативных кольцах
  • Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце : ; ; .
  • Наибольший относ.-но общий делитель и : ; наименьшее относ.-но общее кратное и : ; и опр.-ны с точностью до .
  • Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
  • Главный идеал — идеал вида . Пример неглавн. идеала: в . Область главных идеалов — обл. цел.-сти, в которой все идеалы главные.
  • Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) ; ; ; ;
    (2) если — область целостности, то , а также ;
    (3) и, если идеал главный, то ;
    (4) если в кольце все идеалы главные, то и существуют, а также .
  • Неприводимые и простые эл.-ты: и .
  • Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть — коммутативное кольцо; тогда
    (1) если — область целостности, то ;
    (2) если — область главных идеалов, то ;
    (3) для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) — область целостности;
    (4) если — область главных идеалов, то для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) ,
    (у3) — область целостности и (у4) — поле.
1.4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
  • Евклидова норма на : (), где и не убывает относ.-но .
  • Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (); (); , , ().
  • Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) в невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в не существует такой бесконечной послед.-сти , что );
    (3) если , то для любых выполнено ;
    (4) — область главных идеалов (в частности, кольца и , где — поле, являются областями главных идеалов).
  • Факториальное кольцо — область целостности с -единственным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
  • Примеры: — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо факториально, то и факториально (без доказательства).
  • Теорема о факториальности евклидовых колец.
    (1) Пусть — область целостности, в невозможна бесконечная строгая делимость и ; тогда — факториальное кольцо.
    (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (в частности, кольца и , где — поле, являются факториальными кольцами).
  • Теорема о факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произведение неприводимых элементов:
    и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
    (1) и ;
    (2) и .
1.4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
  • Соотношение Безу для эл.-тов и евклид. кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
  • Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда, если , то .
  • Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
  • Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
  • Теорема о свойствах функции Эйлера.
    (1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
    (2) Пусть и ; тогда .
    (3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
    ; тогда .
1.4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  • Производная многочлена: . Правило Лейбница. Пусть — кольцо и ; тогда .
  • Корень кратности многочлена : (). Теорема о кратных корнях.

    Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) если — корень кратности не меньше многочлена , то — корень кратности не меньше многочлена ;
    (2) если — область целостности, не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена ;
    (3) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и .

  • Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
    такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
    (1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
    (2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона).
  • Поле частных: , где и , .
  • Теорема о поле частных. Отождествл.-е и . Примеры: , — поле рацион.-х дробей.

    Теорема о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
    для любых и выполнено (и, значит, ).

  • Несократимая запись: (, нормир.). Приведение к несократ. записи. Правильная дробь: (). Выделение правил. дроби.
  • Примарная дробь: (, нормир., , ). Простейшая дробь: (, нормир., , ).
  • Метод неопределенных коэффиц.-тов для разложения правильной дроби в сумму простейших дробей (док.-во корректности см. в п. 3 в § 4 главы 5 в [3]).
1.4.5  Матрицы, столбцы, строки
  • Множества матриц, столбцов и строк: , и . Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения. Кольцо , группа .
  • Матрицы специального вида: диагональные, скалярные, верхнетреугольные, нижнетреугольные, треугольные. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
  • Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: , , . Утверждение: , , .
  • Строки матрицы : . Столбцы матрицы : . Утверждение: , а также .
  • Транспонирование матрицы : . След квадратной матрицы : . Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц.

    Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц. Пусть — коммутативное кольцо, , и ;
    тогда , а также, если , то .

  • Симметрич. и антисимм. матрицы: и .
  • Линейные операторы между и (координатное определение): . Теорема о линейных операторах и матрицах.

    Теорема о линейных операторах и матрицах. Пусть — кольцо и ; тогда отобр.
    изоморфизм групп по сложению и, если , то это отображение — изоморфизм колец.

1.5  Группы (часть 2)

1.5.1  Симметрические группы
  • Транспозиции: (, ). Фундаментальные транспозиции: (). Число циклов в перестановке : .
  • Множество инверсий последовательности : . Лемма о количестве инверсий.

    Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то , и, если , то .

  • Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа ,
    упорядоченные по неубыванию (то есть ); тогда
    (1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
    (2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
    следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что .
  • Знак последовательности : , если числа попарно различны; иначе .
  • Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: .

    Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
    (1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это отображение — сюръекция и ;
    (2) для любых таких , что , выполнено и ;
    (3) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
    (4) для любых выполнено .

  • Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
    (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны.
  • Задание группы коксетеровскими образующими и соотношениями (без доказат.-ва). Примеры: , задание группы .
1.5.2  Группы матриц
  • Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Определитель и расстановки ладей на шахматной доске.
  • Примеры: , . Определитель и объем. Теорема о свойствах определителя.

    Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) для любых , и выполнено
    ;
    (2) для любых таких , что не попарно различны, выполнено ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) для любых , , и выполнено .

  • Анонс: пусть — поле; тогда и отобр. — гомоморфизм моноидов по умножению.
  • Специальная линейн. группа: . Утверждение: .
  • Ортогональная группа: . Специальная ортогон. группа: .
  • Унитарная группа: . Специальная унитарная группа: .
  • Изометрии в : (док.-во только ). Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.

    Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах. Отображение — изоморфизм колец, а также
    и отображение — изоморфизм групп.

  • Аффинная линейная группа: . Геометрический смысл: .
1.5.3  Действия групп на множествах
  • Действие группы на мн.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
  • Примеры: группа действует на , группы матриц действуют на , группа действует на сдвигами (где ) и на сопряжениями.
  • Динамическая система с дискретнымнепрерывным временем (каскадпоток) — множество с действием группы группы . Теорема Кэли.

    Теорема Кэли. Пусть — группа; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — биекция (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм групп.

  • -Множество — множество с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: .
  • Орбита точки : (, где ). Разбиение -множества на орбиты: .
  • Транзитивное действие (однородное -мн.-во): . Стабилизатор: . Точное действие: .
  • Свободное действие (свободное -мн.-во): . Торсор над — однородн. свободн. -мн.-во ().
  • Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: . Лемма Бернсайда. Пример: .

    Теорема о классах смежности по стабилизатору. Пусть — группа, -множество и ; тогда
    (1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть ;
    (2) если , то .

    Лемма Бернсайда. Пусть — группа, -множество и ; тогда .

1.5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
  • Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутренних автоморф.-в: .
  • Центр: . Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморф.-в: .

    Теорема о внутренних автоморфизмах. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро есть ,
    его образ есть (и, значит, ) и, кроме того, .

  • Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): . Коммутант группы : .
  • Утверждение: . Теорема о коммутанте. Пример: (док.-во только включения ). Абелианизация группы : .

    Теорема о коммутанте. Пусть — группа и ; тогда группа абелева, если и только если (и, значит, абелева).

  • Простая группа: . Примеры: группы () и ( — поле, ) простые (без доказательства).
  • Полупрямое произвед.-е относ.-но действия (): с бинарной операцией .
  • Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
  • Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".