Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 7: Строка 7:
 
<li>Понятия <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> в коммут. кольце <math>R</math>: <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{gcd}(r,s)\;\Leftrightarrow\;\forall\,t'\in R\;\bigl(t'\,|\,r\,\land\,t'\,|\,s\,\Leftrightarrow\,t'\,|\,t\bigr)</math> и <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{lcm}(r,s)\;\Leftrightarrow\;\forall\,t'\in R\;\bigl(r\,|\,t'\,\land\,s\,|\,t'\,\Leftrightarrow\,t\,|\,t'\bigr)</math>.
 
<li>Понятия <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> в коммут. кольце <math>R</math>: <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{gcd}(r,s)\;\Leftrightarrow\;\forall\,t'\in R\;\bigl(t'\,|\,r\,\land\,t'\,|\,s\,\Leftrightarrow\,t'\,|\,t\bigr)</math> и <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{lcm}(r,s)\;\Leftrightarrow\;\forall\,t'\in R\;\bigl(r\,|\,t'\,\land\,s\,|\,t'\,\Leftrightarrow\,t\,|\,t'\bigr)</math>.
 
<li>Нормировка <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> (если они не <math>0</math>) в <math>\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>: <math>\mathrm{gcd}(a,b)\in\mathbb N</math> и <math>\mathrm{lcm}(a,b)\in\mathbb N</math> — в <math>\mathbb Z</math>, многочлены <math>\mathrm{gcd}(f,g)</math> и <math>\mathrm{lcm}(f,g)</math> нормированы — в <math>K[x]</math>.
 
<li>Нормировка <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> (если они не <math>0</math>) в <math>\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>: <math>\mathrm{gcd}(a,b)\in\mathbb N</math> и <math>\mathrm{lcm}(a,b)\in\mathbb N</math> — в <math>\mathbb Z</math>, многочлены <math>\mathrm{gcd}(f,g)</math> и <math>\mathrm{lcm}(f,g)</math> нормированы — в <math>K[x]</math>.
<li>Главный идеал — идеал, порожденный одним элементом. Анонс: в <math>\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math> все идеалы главные. Пример неглавного идеала: идеал <math>(2)+(x)</math> в <math>\mathbb Z[x]</math>.
+
<li>Главный идеал — идеал вида <math>(r)</math>. Пример неглавн. идеала: <math>(2)+(x)</math> в <math>\mathbb Z[x]</math>. Область главных идеалов — область цел.-сти, в кот. все идеалы главные.
 
<li><u>Теорема о делимости и главных идеалах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>r,s,t\in R</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subseteq(s)</math>; <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subset(s)</math>; <math>r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;s\,\Leftrightarrow\,(r)=(s)</math>; <math>r\in R^\times\Leftrightarrow\,r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;1\,\Leftrightarrow\,(r)=R</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область целостности, то <math>r\ne0\;\Rightarrow\;\forall\,a,b\in R\;\bigl(a\,r=b\,r\,\Rightarrow\,a=b\bigr)</math>, а также <math>r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;s\;\Leftrightarrow\;\exists\,\varepsilon\in R^\times\bigl(r=\varepsilon\,s\bigr)</math>;<br>(3) <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{lcm}(r,s)\,\Leftrightarrow\,(t)=(r)\cap(s)</math> и, если идеал <math>(r)+(s)</math> главный, то <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{gcd}(r,s)\,\Leftrightarrow\,(t)=(r)+(s)</math>;<br>(4) если в кольце <math>R</math> все идеалы главные, то <math>(R/(r))^\times\!=\{s+(r)\in R/(r)\mid\mathrm{gcd}(r,s)\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;1\}</math>.</i>
 
<li><u>Теорема о делимости и главных идеалах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>r,s,t\in R</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subseteq(s)</math>; <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subset(s)</math>; <math>r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;s\,\Leftrightarrow\,(r)=(s)</math>; <math>r\in R^\times\Leftrightarrow\,r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;1\,\Leftrightarrow\,(r)=R</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область целостности, то <math>r\ne0\;\Rightarrow\;\forall\,a,b\in R\;\bigl(a\,r=b\,r\,\Rightarrow\,a=b\bigr)</math>, а также <math>r\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;s\;\Leftrightarrow\;\exists\,\varepsilon\in R^\times\bigl(r=\varepsilon\,s\bigr)</math>;<br>(3) <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{lcm}(r,s)\,\Leftrightarrow\,(t)=(r)\cap(s)</math> и, если идеал <math>(r)+(s)</math> главный, то <math>t\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;\mathrm{gcd}(r,s)\,\Leftrightarrow\,(t)=(r)+(s)</math>;<br>(4) если в кольце <math>R</math> все идеалы главные, то <math>(R/(r))^\times\!=\{s+(r)\in R/(r)\mid\mathrm{gcd}(r,s)\;\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\;1\}</math>.</i>
 
<li>Неприводимые и простые эл.-ты: <math>\mathrm{Irr}(R)=(R\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{s\,t\mid s,t\in R\!\setminus\!R^\times\!\}</math> и <math>\mathrm{Prime}(R)=\{r\in R\!\setminus\!(R^\times\!\cup\{0\})\mid\forall\,s,t\in R\;\bigl(r\,|\,s\,t\,\Rightarrow\,r\,|\,s\,\lor\,r\,|\,t\bigr)\}</math>.
 
<li>Неприводимые и простые эл.-ты: <math>\mathrm{Irr}(R)=(R\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{s\,t\mid s,t\in R\!\setminus\!R^\times\!\}</math> и <math>\mathrm{Prime}(R)=\{r\in R\!\setminus\!(R^\times\!\cup\{0\})\mid\forall\,s,t\in R\;\bigl(r\,|\,s\,t\,\Rightarrow\,r\,|\,s\,\lor\,r\,|\,t\bigr)\}</math>.
<li><u>Теорема о неприводимых и простых элементах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо; тогда<br>(1) если <math>R</math> — область целостности, то <math>\,\mathrm{Prime}(R)\subseteq\mathrm{Irr}(R)</math>;<br>(2) если в кольце <math>R</math> все идеалы главные, то <math>\,\mathrm{Irr}(R)\subseteq\mathrm{Prime}(R)</math>;<br>(3) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>r\in\mathrm{Prime}(R)</math> и (у2) <math>R/(r)</math> — область целостности;<br>(4) если <math>R</math> — область целостности, в которой все идеалы главные, то для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) <math>r\in\mathrm{Irr}(R)</math>, (у2) <math>r\in\mathrm{Prime}(R)</math>, (у3) <math>R/(r)</math> — область целостности и (у4) <math>R/(r)</math> — поле.</i></ul>
+
<li><u>Теорема о неприводимых и простых элементах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо; тогда<br>(1) если <math>R</math> — область целостности, то <math>\,\mathrm{Prime}(R)\subseteq\mathrm{Irr}(R)</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область главных идеалов, то <math>\,\mathrm{Irr}(R)=\mathrm{Prime}(R)</math>;<br>(3) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>r\in\mathrm{Prime}(R)</math> и (у2) <math>R/(r)</math> — область целостности;<br>(4) если <math>R</math> — область главных идеалов, то для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>r\in\mathrm{Irr}(R)</math>, (у2) <math>r\in\mathrm{Prime}(R)</math>,<br>(у3) <math>R/(r)</math> — область целостности и (у4) <math>R/(r)</math> — поле.</i></ul>
  
 
<h5>1.4.2&nbsp; Евклидовы кольца и факториальные кольца</h5>
 
<h5>1.4.2&nbsp; Евклидовы кольца и факториальные кольца</h5>
 
<ul><li>Евклидова норма на <math>R</math> — такая функция <math>\nu\,\colon R\to N</math> (<math>N\subseteq\mathbb N_0\cup\{-\infty\}</math>), что относ.-но <math>\nu</math> можно делить с остатком и <math>\nu</math> не убывает относ.-но делимости.
 
<ul><li>Евклидова норма на <math>R</math> — такая функция <math>\nu\,\colon R\to N</math> (<math>N\subseteq\mathbb N_0\cup\{-\infty\}</math>), что относ.-но <math>\nu</math> можно делить с остатком и <math>\nu</math> не убывает относ.-но делимости.
 
<li>Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: <math>\mathbb Z</math> (<math>\nu(a)=|a|</math>); <math>K[x]</math> (<math>\nu(f)=\deg f</math>); <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\sqrt2\,\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\mathrm e^{\frac{2\pi}3\mathrm i}]</math> (<math>\nu(a)=|a|^2</math>).
 
<li>Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: <math>\mathbb Z</math> (<math>\nu(a)=|a|</math>); <math>K[x]</math> (<math>\nu(f)=\deg f</math>); <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\sqrt2\,\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\mathrm e^{\frac{2\pi}3\mathrm i}]</math> (<math>\nu(a)=|a|^2</math>).
<li><u>Теорема о евклидовых кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — евклидово кольцо с евклидовой нормой <math>\nu</math>; тогда<br>(1) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>s\in R</math> выполнено <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow\,\nu(s)<\nu(r)</math>;<br>(2) не существует такой бесконечной последовательности <math>r_1,r_2,\ldots</math> элементов кольца <math>R</math>, что для любых <math>i\in\mathbb N</math> выполнено <math>r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_i</math>;<br>(3) если <math>I\trianglelefteq R</math>, то для любых <math>r\in I\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>I=(r)\,\Leftrightarrow\,\nu(r)=\min\{\nu(s)\mid s\in I\!\setminus\!\{0\}\}</math>;<br>(4) в кольце <math>R</math> все идеалы главные, а также <math>\,\mathrm{Irr}(R)=\mathrm{Prime}(R)</math>.</i>
+
<li><u>Теорема о евклидовых кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — евклидово кольцо с евклидовой нормой <math>\nu</math>; тогда<br>(1) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>s\in R</math> выполнено <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow\,\nu(s)<\nu(r)</math>;<br>(2) в <math>R</math> нельзя бесконечно строго делить (то есть не существует такой последовательности <math>r_1,r_2,\ldots</math> эл.-тов кольца <math>R</math>, что <math>\forall\,i\in\mathbb N\;\bigl(r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_i\bigr)</math>);<br>(3) если <math>I\trianglelefteq R</math>, то для любых <math>r\in I\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>I=(r)\,\Leftrightarrow\,\nu(r)=\min\{\nu(s)\mid s\in I\!\setminus\!\{0\}\}</math>;<br>(4) <math>R</math> — область главных идеалов (в частности, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, являются областями главных идеалов).</i>
 
<li>Факториальное кольцо — область целостности с <math>\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim</math>-единственным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
 
<li>Факториальное кольцо — область целостности с <math>\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim</math>-единственным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
 
<li>Примеры: <math>\mathbb Z</math> — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо <math>R</math> факториально, то и <math>R[x]</math> факториально (без доказательства).
 
<li>Примеры: <math>\mathbb Z</math> — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо <math>R</math> факториально, то и <math>R[x]</math> факториально (без доказательства).
<li><u>Теорема о факториальности евклидовых колец.</u><br><i>(1) Пусть <math>R</math> — такая область целостности, что не существует такой бесконечной последовательности <math>r_1,r_2,\ldots</math> элементов кольца <math>R</math>, что<br>для любых <math>i\in\mathbb N</math> выполнено <math>r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_i</math>, и, кроме того, <math>\mathrm{Irr}(R)=\mathrm{Prime}(R)</math>; тогда <math>R</math> — факториальное кольцо.<br>(2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (и, значит, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, факториальны).</i>
+
<li><u>Теорема о факториальности евклидовых колец.</u><br><i>(1) Пусть <math>R</math> — такая область целостности, что в <math>R</math> нельзя бесконечно строго делить и <math>\,\mathrm{Irr}(R)=\mathrm{Prime}(R)</math>; тогда <math>R</math> — факториальное кольцо.<br>(2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (в частности, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, являются факториальными кольцами).</i>
 
<li><u>Теорема о факториальных кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — факториальное кольцо и <math>r,s\in R\!\setminus\!\{0\}</math>; разложим <math>r</math> и <math>s</math> в произведение неприводимых элементов:<br><math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}</math> и <math>s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{e_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{e_k}</math>, где <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>p_1,\ldots,p_k\in\mathrm{Irr}(R)</math>, <math>p_1,\ldots,p_k</math> попарно неассоциированы и <math>d_1,\ldots,d_k,e_1,\ldots,e_k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(e_i\le d_i\bigr)</math> и <math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(d_i=e_i\bigr)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{gcd}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\min(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\min(d_k,e_k)}</math> и <math>\,\mathrm{lcm}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\max(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}</math>.</i></ul>
 
<li><u>Теорема о факториальных кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — факториальное кольцо и <math>r,s\in R\!\setminus\!\{0\}</math>; разложим <math>r</math> и <math>s</math> в произведение неприводимых элементов:<br><math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}</math> и <math>s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{e_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{e_k}</math>, где <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>p_1,\ldots,p_k\in\mathrm{Irr}(R)</math>, <math>p_1,\ldots,p_k</math> попарно неассоциированы и <math>d_1,\ldots,d_k,e_1,\ldots,e_k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(e_i\le d_i\bigr)</math> и <math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(d_i=e_i\bigr)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{gcd}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\min(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\min(d_k,e_k)}</math> и <math>\,\mathrm{lcm}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\max(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}</math>.</i></ul>
  
Строка 25: Строка 25:
 
<li>Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: <math>r_0=s</math> и <math>r_1=r</math>; на <math>i</math>-м шаге <math>r_{i-1}=q_ir_i+r_{i+1}</math> и <math>\nu(r_{i+1})<\nu(r_i)</math>; тогда, если <math>r_{n+1}=0</math>, то <math>r_n\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>.
 
<li>Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: <math>r_0=s</math> и <math>r_1=r</math>; на <math>i</math>-м шаге <math>r_{i-1}=q_ir_i+r_{i+1}</math> и <math>\nu(r_{i+1})<\nu(r_i)</math>; тогда, если <math>r_{n+1}=0</math>, то <math>r_n\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>.
 
<li>Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: <math>r_n=-q_{n-1}r_{n-1}+r_{n-2}</math>; на <math>i</math>-м шаге <math>r_n=u_ir_i+v_ir_{i-1}</math>; тогда <math>r_n=u_1r+v_1s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>.
 
<li>Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: <math>r_n=-q_{n-1}r_{n-1}+r_{n-2}</math>; на <math>i</math>-м шаге <math>r_n=u_ir_i+v_ir_{i-1}</math>; тогда <math>r_n=u_1r+v_1s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>.
<li><u>Китайская теорема об остатках для целых чисел.</u> <i>Пусть <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>n_1,\ldots,n_k\in\mathbb N</math> и <math>n_1,\ldots,n_k</math> попарно взаимно просты (то есть <math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}</math><br><math>\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(n_i,n_j)=1\bigr)</math>); тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb Z/(n_1\cdot\ldots\cdot n_k)&\to\mathbb Z/n_1\times\ldots\times\mathbb Z/n_k\\a&\mapsto(a\bmod n_1,\ldots,a\bmod n_k)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм колец.</i>
+
<li><u>Китайская теорема об остатках для целых чисел.</u> <i>Пусть <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>n_1,\ldots,n_k\in\mathbb N</math> и <math>n_1,\ldots,n_k</math> попарно взаимно просты (то есть <math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}</math><br><math>\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(n_i,n_j)=1\bigr)</math>); тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb Z/(n_1\cdot\ldots\cdot n_k)&\to\mathbb Z/n_1\times\ldots\times\mathbb Z/n_k\\a&\mapsto(a\;\mathrm{mod}\;n_1,\ldots,a\;\mathrm{mod}\;n_k)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм колец.</i>
<li><u>Китайская теорема об остатках для многочленов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты (то есть<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(f_i,f_j)=1\bigr)</math>); тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K[x]/(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)&\to K[x]/f_1\times\ldots\times K[x]/f_k\\a&\mapsto(a\bmod f_1,\ldots,a\bmod f_k)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм колец.</i>
+
<li><u>Китайская теорема об остатках для многочленов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты (то есть<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(f_i,f_j)=1\bigr)</math>); тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K[x]/(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)&\to K[x]/f_1\times\ldots\times K[x]/f_k\\a&\mapsto(a\;\mathrm{mod}\,f_1,\ldots,a\;\mathrm{mod}\,f_k)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм колец.</i>
 
<li>Функция Эйлера от <math>n</math>: <math>\phi(n)=|\{a\in\mathbb Z/n\mid\mathrm{gcd}(a,n)=1\}|</math>. Пример: если <math>p\in\mathbb P</math> и <math>d\in\mathbb N</math>, то <math>\phi(p^d)=p^{d-1}(p-1)</math>. Утверждение: <math>\phi(n)=|(\mathbb Z/n)^\times\!|</math>.
 
<li>Функция Эйлера от <math>n</math>: <math>\phi(n)=|\{a\in\mathbb Z/n\mid\mathrm{gcd}(a,n)=1\}|</math>. Пример: если <math>p\in\mathbb P</math> и <math>d\in\mathbb N</math>, то <math>\phi(p^d)=p^{d-1}(p-1)</math>. Утверждение: <math>\phi(n)=|(\mathbb Z/n)^\times\!|</math>.
 
<li><u>Теорема о свойствах функции Эйлера.</u><br><i>(1) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>, <math>a\in\mathbb Z</math> и <math>\mathrm{gcd}(a,n)=1</math>; тогда <math>a^{\phi(n)}\!\equiv1\;(\mathrm{mod}\;n)</math> (это теорема Эйлера).<br>(2) Пусть <math>m,n\in\mathbb N</math> и <math>\mathrm{gcd}(m,n)=1</math>; тогда <math>\phi(mn)=\phi(m)\,\phi(n)</math>.<br>(3) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>; разложим <math>n</math> в произведение простых чисел: <math>n=p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}</math>, где <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>p_1,\ldots,p_k\in\mathbb P</math>, <math>p_1,\ldots,p_k</math> попарно различны и<br><math>d_1,\ldots,d_k\in\mathbb N</math>; тогда <math>\phi(n)=p_1^{d_1-1}(p_1-1)\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k-1}(p_k-1)=n\,\Bigl(1-\frac1{p_1}\Bigr)\cdot\ldots\cdot\Bigl(1-\frac1{p_k}\Bigr)</math>.</i></ul>
 
<li><u>Теорема о свойствах функции Эйлера.</u><br><i>(1) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>, <math>a\in\mathbb Z</math> и <math>\mathrm{gcd}(a,n)=1</math>; тогда <math>a^{\phi(n)}\!\equiv1\;(\mathrm{mod}\;n)</math> (это теорема Эйлера).<br>(2) Пусть <math>m,n\in\mathbb N</math> и <math>\mathrm{gcd}(m,n)=1</math>; тогда <math>\phi(mn)=\phi(m)\,\phi(n)</math>.<br>(3) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>; разложим <math>n</math> в произведение простых чисел: <math>n=p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}</math>, где <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>p_1,\ldots,p_k\in\mathbb P</math>, <math>p_1,\ldots,p_k</math> попарно различны и<br><math>d_1,\ldots,d_k\in\mathbb N</math>; тогда <math>\phi(n)=p_1^{d_1-1}(p_1-1)\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k-1}(p_k-1)=n\,\Bigl(1-\frac1{p_1}\Bigr)\cdot\ldots\cdot\Bigl(1-\frac1{p_k}\Bigr)</math>.</i></ul>
Строка 35: Строка 35:
 
<p><u>Теорема о кратных корнях.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f\in R[x]</math>, <math>r\in R</math> и <math>k\in\mathbb N</math>; тогда<br>(1) если <math>r</math> — корень кратности не меньше <math>k</math> многочлена <math>f</math>, то <math>r</math> — корень кратности не меньше <math>k-1</math> многочлена <math>f'</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область целостности, <math>\mathrm{char}\,R</math> не делит <math>k</math> и <math>r</math> — корень кратности <math>k</math> многочлена <math>f</math>, то <math>r</math> — корень кратности <math>k-1</math> многочлена <math>f'</math>;<br>(3) <math>r</math> — кратный корень многочлена <math>f</math> (то есть корень кратности не меньше <math>2</math>), если и только если <math>r</math> — корень многочленов <math>f</math> и <math>f'</math>.</i></p>
 
<p><u>Теорема о кратных корнях.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f\in R[x]</math>, <math>r\in R</math> и <math>k\in\mathbb N</math>; тогда<br>(1) если <math>r</math> — корень кратности не меньше <math>k</math> многочлена <math>f</math>, то <math>r</math> — корень кратности не меньше <math>k-1</math> многочлена <math>f'</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область целостности, <math>\mathrm{char}\,R</math> не делит <math>k</math> и <math>r</math> — корень кратности <math>k</math> многочлена <math>f</math>, то <math>r</math> — корень кратности <math>k-1</math> многочлена <math>f'</math>;<br>(3) <math>r</math> — кратный корень многочлена <math>f</math> (то есть корень кратности не меньше <math>2</math>), если и только если <math>r</math> — корень многочленов <math>f</math> и <math>f'</math>.</i></p>
 
<li><u>Теорема об интерполяции.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>c_1,\ldots,c_n,e_1,\ldots,e_n\in K</math> и <math>c_1,\ldots,c_n</math> попарно различны; тогда существует единственный<br>такой многочлен <math>f\in K[x]</math>, что <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(f(c_i)=e_i\bigr)</math> и <math>\deg f<n</math>, и этот многочлен можно найти по следующим формулам:<br>(1) <math>f=\sum_{i=1}^ne_il_i</math>, где <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\biggl(l_i=\frac{(x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_{i-1})\cdot(x-c_{i+1})\cdot\ldots\cdot(x-c_n)}{(c_i-c_1)\cdot\ldots\cdot(c_i-c_{i-1})\cdot(c_i-c_{i+1})\cdot\ldots\cdot(c_i-c_n)}\biggr)</math> (это интерполяционная формула Лагранжа);<br>(2) <math>f=f_n</math>, где <math>f_0=0</math> и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\biggl(f_i=f_{i-1}+\bigl(e_i-f_{i-1}(c_i)\bigr)\frac{(x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_{i-1})}{(c_i-c_1)\cdot\ldots\cdot(c_i-c_{i-1})}\biggr)</math> (это интерполяционная формула Ньютона).</i>
 
<li><u>Теорема об интерполяции.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>c_1,\ldots,c_n,e_1,\ldots,e_n\in K</math> и <math>c_1,\ldots,c_n</math> попарно различны; тогда существует единственный<br>такой многочлен <math>f\in K[x]</math>, что <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(f(c_i)=e_i\bigr)</math> и <math>\deg f<n</math>, и этот многочлен можно найти по следующим формулам:<br>(1) <math>f=\sum_{i=1}^ne_il_i</math>, где <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\biggl(l_i=\frac{(x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_{i-1})\cdot(x-c_{i+1})\cdot\ldots\cdot(x-c_n)}{(c_i-c_1)\cdot\ldots\cdot(c_i-c_{i-1})\cdot(c_i-c_{i+1})\cdot\ldots\cdot(c_i-c_n)}\biggr)</math> (это интерполяционная формула Лагранжа);<br>(2) <math>f=f_n</math>, где <math>f_0=0</math> и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\biggl(f_i=f_{i-1}+\bigl(e_i-f_{i-1}(c_i)\bigr)\frac{(x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_{i-1})}{(c_i-c_1)\cdot\ldots\cdot(c_i-c_{i-1})}\biggr)</math> (это интерполяционная формула Ньютона).</i>
<li>Поле частных: <math>\mathrm Q(R)=\bigl(R\times(R\!\setminus\!\{0\})\bigr)/{\sim}</math>; <math>(r,s)\sim(\breve r,\breve s)\,\Leftrightarrow\,r\breve s=\breve rs</math> и <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)+\mathrm{cl}_\sim\!(t,u)=\mathrm{cl}_\sim\!(ru+st,su)</math>, <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)\,\mathrm{cl}_\sim\!(t,u)=\mathrm{cl}_\sim\!(rt,su)</math>.
+
<li>Поле частных: <math>\mathrm Q(R)=\bigl(R\times(R\!\setminus\!\{0\})\bigr)/{\sim}</math>, где <math>(r,s)\sim(\breve r,\breve s)\,\Leftrightarrow\,r\breve s=\breve rs</math> и <math>[(r,s)]_\sim\!+[(t,u)]_\sim\!=[(ru+st,su)]_\sim</math>, <math>[(r,s)]_\sim[(t,u)]_\sim\!=[(rt,su)]_\sim</math>.
<li>Теорема о поле частных. Отождествл.-е <math>r</math> и <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)</math>. Примеры: <math>\mathrm Q(\mathbb Z)\cong\mathbb Q</math>, <math>K(x)=\mathrm Q(K[x])=\Bigl\{\frac fg\!\mid f,g\in K[x],\,g\ne0\Bigr\}</math> — поле рацион.-х дробей.
+
<li>Теорема о поле частных. Отождествл.-е <math>r</math> и <math>[(r,1)]_\sim</math>. Примеры: <math>\mathrm Q(\mathbb Z)\cong\mathbb Q</math>, <math>K(x)=\mathrm Q(K[x])=\Bigl\{\frac fg\!\mid f,g\in K[x],\,g\ne0\Bigr\}</math> — поле рацион.-х дробей.
<p><u>Теорема о поле частных.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}R&\to\mathrm Q(R)\\r&\mapsto\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм колец, а также<br>для любых <math>r\in R</math> и <math>s\in R\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)=\frac{\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)}{\mathrm{cl}_\sim\!(s,1)}</math> (и, значит, <math>\mathrm Q(R)=\Bigl\{\frac{\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)}{\mathrm{cl}_\sim\!(s,1)}\!\mid r,s\in R,\,s\ne0\Bigr\}</math>).</i></p>
+
<p><u>Теорема о поле частных.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}R&\to\mathrm Q(R)\\r&\mapsto[(r,1)]_\sim\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм колец, а также<br>для любых <math>r\in R</math> и <math>s\in R\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>[(r,s)]_\sim\!=\frac{[(r,1)]_\sim}{[(s,1)]_\sim}</math> (и, значит, <math>\mathrm Q(R)=\Bigl\{\frac{[(r,1)]_\sim}{[(s,1)]_\sim}\!\mid r,s\in R,\,s\ne0\Bigr\}</math>).</i></p>
 
<li>Несократимая запись: <math>\frac fg</math> (<math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math>, <math>g</math> нормир.). Приведение к несократ. записи. Правильная дробь: <math>\frac fg</math> (<math>\deg f<\deg g</math>). Выделение правил. дроби.
 
<li>Несократимая запись: <math>\frac fg</math> (<math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math>, <math>g</math> нормир.). Приведение к несократ. записи. Правильная дробь: <math>\frac fg</math> (<math>\deg f<\deg g</math>). Выделение правил. дроби.
 
<li>Примарная дробь: <math>\frac f{h^d}</math> (<math>h\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>, <math>h</math> нормир., <math>d\in\mathbb N</math>, <math>\deg f<\deg h^d</math>). Простейшая дробь: <math>\frac f{h^d}</math> (<math>h\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>, <math>h</math> нормир., <math>d\in\mathbb N</math>, <math>\deg f<\deg h</math>).
 
<li>Примарная дробь: <math>\frac f{h^d}</math> (<math>h\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>, <math>h</math> нормир., <math>d\in\mathbb N</math>, <math>\deg f<\deg h^d</math>). Простейшая дробь: <math>\frac f{h^d}</math> (<math>h\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>, <math>h</math> нормир., <math>d\in\mathbb N</math>, <math>\deg f<\deg h</math>).
Строка 48: Строка 48:
 
<li>Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: <math>(\underline e_i^j)^k_l=\delta_i^k\delta^j_l</math>, <math>(\underline e_i)^k=\delta_i^k</math>, <math>(\underline e^j)_l=\delta^j_l</math>. Утверждение: <i><math>\underline e_i^j\cdot\underline e_k^l=\delta^j_k\underline e_i^l</math>, <math>\underline e_i\cdot\underline e^j=\underline e_i^j</math>, <math>\underline e^j\cdot\underline e_i=\delta_i^j</math></i>.
 
<li>Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: <math>(\underline e_i^j)^k_l=\delta_i^k\delta^j_l</math>, <math>(\underline e_i)^k=\delta_i^k</math>, <math>(\underline e^j)_l=\delta^j_l</math>. Утверждение: <i><math>\underline e_i^j\cdot\underline e_k^l=\delta^j_k\underline e_i^l</math>, <math>\underline e_i\cdot\underline e^j=\underline e_i^j</math>, <math>\underline e^j\cdot\underline e_i=\delta_i^j</math></i>.
 
<li>Строки матрицы <math>a</math>: <math>a^i_\bullet=\underline e^i\cdot a</math>. Столбцы матрицы <math>a</math>: <math>a^\bullet_j=a\cdot\underline e_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i_\bullet=b^i_\bullet\cdot a=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_\bullet</math>, а также <math>(b\cdot a)^\bullet_k=b\cdot a^\bullet_k=\sum_{j=1}^pb^\bullet_j\,a^j_k</math></i>.
 
<li>Строки матрицы <math>a</math>: <math>a^i_\bullet=\underline e^i\cdot a</math>. Столбцы матрицы <math>a</math>: <math>a^\bullet_j=a\cdot\underline e_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i_\bullet=b^i_\bullet\cdot a=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_\bullet</math>, а также <math>(b\cdot a)^\bullet_k=b\cdot a^\bullet_k=\sum_{j=1}^pb^\bullet_j\,a^j_k</math></i>.
<li>Линейные операторы между <math>R^n</math> и <math>R^p</math> (координатное определение): <math>\bigl\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\bigr\}</math>. Теорема о линейных операторах и матрицах.
 
<p><u>Теорема о линейных операторах и матрицах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо и <math>n,p\in\mathbb N_0</math>; тогда отобр.
 
<math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(p,n,R)&\to\bigl\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\bigr\}\\a&\mapsto\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> —<br>изоморфизм групп по сложению и, если <math>n=p</math>, то это отображение — изоморфизм колец.</i></p>
 
 
<li>Транспонирование матрицы <math>a</math>: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. След квадратной матрицы <math>a</math>: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц.
 
<li>Транспонирование матрицы <math>a</math>: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. След квадратной матрицы <math>a</math>: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц.
<p><u>Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>n,p,r\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,R)</math>;<br>тогда <math>(b\cdot a)^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot b^\mathtt T</math> и, если <math>n=r</math>, то <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math>.</i></p>
+
<p><u>Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>n,p,r\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,R)</math>;<br>тогда <math>(b\cdot a)^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot b^\mathtt T</math>, а также, если <math>n=r</math>, то <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math>.</i></p>
<li>Симметрич. и антисимм. матрицы: <math>\mathrm{SMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=a\}</math> и <math>\mathrm{AMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=-a\,\land\,a^1_1=\ldots=a^n_n=0\}</math>.</ul>
+
<li>Симметрич. и антисимм. матрицы: <math>\mathrm{SMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=a\}</math> и <math>\mathrm{AMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=-a\,\land\,a^1_1=\ldots=a^n_n=0\}</math>.
 +
<li>Линейные операторы между <math>R^n</math> и <math>R^p</math> (координатное определение): <math>\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}</math>. Теорема о линейных операторах и матрицах.
 +
<p><u>Теорема о линейных операторах и матрицах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо и <math>n,p\in\mathbb N_0</math>; тогда отобр.
 +
<math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(p,n,R)&\to\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}\\a&\mapsto\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> —<br>изоморфизм групп по сложению и, если <math>n=p</math>, то это отображение — изоморфизм колец.</i></p></ul>
  
 
<h3>1.5&nbsp; Группы (часть 2)</h3>
 
<h3>1.5&nbsp; Группы (часть 2)</h3>
Строка 75: Строка 75:
 
<li>Ортогональная группа: <math>\mathrm O(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb R)</math>. Специальная ортогон. группа: <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb R)\cap\mathrm O(n)\trianglelefteq\mathrm O(n)</math>.
 
<li>Ортогональная группа: <math>\mathrm O(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb R)</math>. Специальная ортогон. группа: <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb R)\cap\mathrm O(n)\trianglelefteq\mathrm O(n)</math>.
 
<li>Унитарная группа: <math>\mathrm U(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)\mid\overline a^\mathtt T\!\cdot a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb C)</math>. Специальная унитарная группа: <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb C)\cap\mathrm U(n)\trianglelefteq\mathrm U(n)</math>.
 
<li>Унитарная группа: <math>\mathrm U(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)\mid\overline a^\mathtt T\!\cdot a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb C)</math>. Специальная унитарная группа: <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb C)\cap\mathrm U(n)\trianglelefteq\mathrm U(n)</math>.
<li>Изометрии в <math>\mathbb R^n</math>: <math>\mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\bigl\{\bigl(v\mapsto a\cdot v+z\bigr)\!\mid a\in\mathrm O(n),\,z\in\mathbb R^n\bigr\}</math> (док.-во только <math>\supseteq</math>). Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
+
<li>Изометрии в <math>\mathbb R^n</math>: <math>\mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\{\bigl(v\mapsto a\cdot v+z\bigr)\!\mid a\in\mathrm O(n),\,z\in\mathbb R^n\}</math> (док.-во только <math>\supseteq</math>). Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
<p><u>Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.</u> <i>Отображение <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\bigr\}\\\alpha+\beta\,\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм колец, а также<br><math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S^1\!&\to\mathrm{SO}(2)\\\cos\varphi+\sin\varphi\,\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм групп.</i></p>
+
<p><u>Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.</u> <i>Отображение <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\bigr\}\\\alpha+\beta\,\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм колец, а также<br><math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S^1\!&\to\mathrm{SO}(2)\\\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм групп.</i></p>
<li>Аффинная линейная группа: <math>\mathrm{AGL}(n,K)=\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a\in\mathrm{GL}(n,K),\,z\in K^n\}\le\mathrm{GL}(n+1,K)</math>. Геометрический смысл: <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)=\Bigl(\begin{smallmatrix}a\cdot v\,+\,z\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</ul>
+
<li>Аффинная линейная группа: <math>\mathrm{AGL}(n,K)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a\in\mathrm{GL}(n,K),\,z\in K^n\bigr\}\le\mathrm{GL}(n+1,K)</math>. Геометрический смысл: <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)=\Bigl(\begin{smallmatrix}a\cdot v\,+\,z\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</ul>
  
 
<h5>1.5.3&nbsp; Действия групп на множествах</h5>
 
<h5>1.5.3&nbsp; Действия групп на множествах</h5>
Строка 85: Строка 85:
 
<p><u>Теорема Кэли.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа; тогда<br>(1) для любых <math>g\in G</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_g</math> — биекция (то есть <math>\mathrm{lm}_g\!\in\mathrm{Bij}(G)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to\mathrm{Bij}(G)\\g&\mapsto\mathrm{lm}_g\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм групп.</i></p>
 
<p><u>Теорема Кэли.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа; тогда<br>(1) для любых <math>g\in G</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_g</math> — биекция (то есть <math>\mathrm{lm}_g\!\in\mathrm{Bij}(G)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to\mathrm{Bij}(G)\\g&\mapsto\mathrm{lm}_g\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм групп.</i></p>
 
<li><math>G</math>-Множество — множество с действием группы <math>G</math>. Гомоморфизмы <math>G</math>-множеств: <math>\mathrm{Hom}(X,Y)=\{f\in\mathrm{Map}(X,Y)\mid\forall\,g\in G\;\bigl(f(g\,x)=g\,f(x)\bigr)\}</math>.
 
<li><math>G</math>-Множество — множество с действием группы <math>G</math>. Гомоморфизмы <math>G</math>-множеств: <math>\mathrm{Hom}(X,Y)=\{f\in\mathrm{Map}(X,Y)\mid\forall\,g\in G\;\bigl(f(g\,x)=g\,f(x)\bigr)\}</math>.
<li>Орбита точки <math>x</math>: <math>Gx</math>. Утверждение: <i><math>Gx=\mathrm{cl}_\sim\!(x)</math>, где <math>\,\forall\,x,\breve x\in X\;\bigl(x\sim\breve x\,\Leftrightarrow\,\exists\,g\in G\;\bigl(\breve x=g\,x\bigr)\!\bigr)</math></i>. Разбиение на орбиты: <math>X/G=\{Gx\mid x\in X\}</math>.
+
<li>Орбита точки <math>x</math>: <math>Gx</math> (<math>Gx=[x]_\sim</math>, где <math>\,\forall\,x,\breve x\in X\;\bigl(x\sim\breve x\,\Leftrightarrow\,\exists\,g\in G\;\bigl(\breve x=g\,x\bigr)\!\bigr)</math>). Разбиение <math>G</math>-множества <math>X</math> на орбиты: <math>X/G=\{Gx\mid x\in X\}</math>.
 
<li>Транзитивное действие (однородное <math>G</math>-мн.-во): <math>|X/G|=1</math>. Стабилизатор: <math>\mathrm{St}_G(x)=\{g\in G\mid g\,x=x\}\le G</math>. Точное действие: <math>\bigcap_{x\in X}\mathrm{St}_G(x)=\{1\}</math>.
 
<li>Транзитивное действие (однородное <math>G</math>-мн.-во): <math>|X/G|=1</math>. Стабилизатор: <math>\mathrm{St}_G(x)=\{g\in G\mid g\,x=x\}\le G</math>. Точное действие: <math>\bigcap_{x\in X}\mathrm{St}_G(x)=\{1\}</math>.
 
<li>Свободное действие (свободное <math>G</math>-мн.-во): <math>\forall\,x\in X\;\bigl(\mathrm{St}_G(x)=\{1\}\bigr)</math>. Торсор над <math>G</math> — однородн. свободн. <math>G</math>-мн.-во (<math>\forall\,x,y\in X\;\exists!\,g\in G\;\bigl(g\,x=y\bigr)</math>).
 
<li>Свободное действие (свободное <math>G</math>-мн.-во): <math>\forall\,x\in X\;\bigl(\mathrm{St}_G(x)=\{1\}\bigr)</math>. Торсор над <math>G</math> — однородн. свободн. <math>G</math>-мн.-во (<math>\forall\,x,y\in X\;\exists!\,g\in G\;\bigl(g\,x=y\bigr)</math>).
Строка 93: Строка 93:
  
 
<h5>1.5.4&nbsp; Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп</h5>
 
<h5>1.5.4&nbsp; Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп</h5>
<ul><li>Группа автоморфизмов: <math>\mathrm{Aut}(G)</math>. Пример: <math>\mathrm{Aut}((\mathbb Z/n)^+)\cong(\mathbb Z/n)^\times</math>. Группа внутрен.-х автоморф.-в: <math>\mathrm{Inn}(G)=\bigl\{\bigl(x\mapsto g\,x\,g^{-1}\bigr)\!\mid g\in G\bigr\}\le\mathrm{Aut}(G)</math>.
+
<ul><li>Группа автоморфизмов: <math>\mathrm{Aut}(G)</math>. Пример: <math>\mathrm{Aut}((\mathbb Z/n)^+)\cong(\mathbb Z/n)^\times</math>. Группа внутренних автоморф.-в: <math>\mathrm{Inn}(G)=\{\bigl(x\mapsto g\,x\,g^{-1}\bigr)\!\mid g\in G\}\le\mathrm{Aut}(G)</math>.
 
<li>Центр: <math>\mathrm Z(G)=\{g\in G\mid\forall\,x\in G\;\bigl(g\,x=x\,g\bigr)\}</math>. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморф.-в: <math>\mathrm{Out}(G)=\mathrm{Aut}(G)/\,\mathrm{Inn}(G)</math>.
 
<li>Центр: <math>\mathrm Z(G)=\{g\in G\mid\forall\,x\in G\;\bigl(g\,x=x\,g\bigr)\}</math>. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморф.-в: <math>\mathrm{Out}(G)=\mathrm{Aut}(G)/\,\mathrm{Inn}(G)</math>.
 
<p><u>Теорема о внутренних автоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to\mathrm{Aut}(G)\\g&\mapsto\bigl(x\mapsto g\,x\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп, его ядро есть <math>\,\mathrm Z(G)</math>,<br>его образ есть <math>\,\mathrm{Inn}(G)</math> (и, значит, <math>G/\,\mathrm Z(G)\cong\mathrm{Inn}(G)</math>) и, кроме того, <math>\mathrm{Inn}(G)\trianglelefteq\mathrm{Aut}(G)</math>.</i></p>
 
<p><u>Теорема о внутренних автоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to\mathrm{Aut}(G)\\g&\mapsto\bigl(x\mapsto g\,x\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп, его ядро есть <math>\,\mathrm Z(G)</math>,<br>его образ есть <math>\,\mathrm{Inn}(G)</math> (и, значит, <math>G/\,\mathrm Z(G)\cong\mathrm{Inn}(G)</math>) и, кроме того, <math>\mathrm{Inn}(G)\trianglelefteq\mathrm{Aut}(G)</math>.</i></p>

Версия 02:00, 28 октября 2017

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Делимость в коммутативных кольцах
  • Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце : ; ; .
  • Понятия и в коммут. кольце : и .
  • Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
  • Главный идеал — идеал вида . Пример неглавн. идеала: в . Область главных идеалов — область цел.-сти, в кот. все идеалы главные.
  • Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) ; ; ; ;
    (2) если — область целостности, то , а также ;
    (3) и, если идеал главный, то ;
    (4) если в кольце все идеалы главные, то .
  • Неприводимые и простые эл.-ты: и .
  • Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть — коммутативное кольцо; тогда
    (1) если — область целостности, то ;
    (2) если — область главных идеалов, то ;
    (3) для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) — область целостности;
    (4) если — область главных идеалов, то для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) ,
    (у3) — область целостности и (у4) — поле.
1.4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
  • Евклидова норма на — такая функция (), что относ.-но можно делить с остатком и не убывает относ.-но делимости.
  • Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (); (); , , ().
  • Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) в нельзя бесконечно строго делить (то есть не существует такой последовательности эл.-тов кольца , что );
    (3) если , то для любых выполнено ;
    (4) — область главных идеалов (в частности, кольца и , где — поле, являются областями главных идеалов).
  • Факториальное кольцо — область целостности с -единственным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
  • Примеры: — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо факториально, то и факториально (без доказательства).
  • Теорема о факториальности евклидовых колец.
    (1) Пусть — такая область целостности, что в нельзя бесконечно строго делить и ; тогда — факториальное кольцо.
    (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (в частности, кольца и , где — поле, являются факториальными кольцами).
  • Теорема о факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произведение неприводимых элементов:
    и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
    (1) и ;
    (2) и .
1.4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
  • Соотношение Безу для эл.-тов и евклид. кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
  • Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда, если , то .
  • Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
  • Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
  • Теорема о свойствах функции Эйлера.
    (1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
    (2) Пусть и ; тогда .
    (3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
    ; тогда .
1.4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  • Производная многочлена: . Правило Лейбница. Пусть — кольцо и ; тогда .
  • Корень кратности многочлена : (). Теорема о кратных корнях.

    Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) если — корень кратности не меньше многочлена , то — корень кратности не меньше многочлена ;
    (2) если — область целостности, не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена ;
    (3) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и .

  • Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
    такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
    (1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
    (2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона).
  • Поле частных: , где и , .
  • Теорема о поле частных. Отождествл.-е и . Примеры: , — поле рацион.-х дробей.

    Теорема о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
    для любых и выполнено (и, значит, ).

  • Несократимая запись: (, нормир.). Приведение к несократ. записи. Правильная дробь: (). Выделение правил. дроби.
  • Примарная дробь: (, нормир., , ). Простейшая дробь: (, нормир., , ).
  • Метод неопределенных коэффиц.-тов для разложения правильной дроби в сумму простейших дробей (док.-во корректности см. в п. 3 в § 4 главы 5 в [3]).
1.4.5  Матрицы, столбцы, строки
  • Множества матриц, столбцов и строк: , и . Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения. Кольцо , группа .
  • Матрицы специального вида: диагональные, скалярные, верхнетреугольные, нижнетреугольные, треугольные. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
  • Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: , , . Утверждение: , , .
  • Строки матрицы : . Столбцы матрицы : . Утверждение: , а также .
  • Транспонирование матрицы : . След квадратной матрицы : . Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц.

    Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц. Пусть — коммутативное кольцо, , и ;
    тогда , а также, если , то .

  • Симметрич. и антисимм. матрицы: и .
  • Линейные операторы между и (координатное определение): . Теорема о линейных операторах и матрицах.

    Теорема о линейных операторах и матрицах. Пусть — кольцо и ; тогда отобр.
    изоморфизм групп по сложению и, если , то это отображение — изоморфизм колец.

1.5  Группы (часть 2)

1.5.1  Симметрические группы
  • Транспозиции: (, ). Фундаментальные транспозиции: (). Число циклов в перестановке : .
  • Множество инверсий последовательности : . Лемма о количестве инверсий.

    Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то , и, если , то .

  • Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа ,
    упорядоченные по неубыванию (то есть ); тогда
    (1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
    (2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
    следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что .
  • Знак последовательности : , если числа попарно различны; иначе .
  • Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: .

    Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
    (1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это отображение — сюръекция и ;
    (2) для любых таких , что , выполнено и ;
    (3) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
    (4) для любых выполнено .

  • Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
    (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны.
  • Задание группы коксетеровскими образующими и соотношениями (без доказат.-ва). Примеры: , задание группы .
1.5.2  Группы матриц
  • Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Определитель и расстановки ладей на шахматной доске.
  • Примеры: , . Определитель и объем. Теорема о свойствах определителя.

    Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) для любых , и выполнено
    ;
    (2) для любых таких , что не попарно различны, выполнено ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) для любых , , и выполнено .

  • Анонс: пусть — поле; тогда и отобр. — гомоморфизм моноидов по умножению.
  • Специальная линейн. группа: . Утверждение: .
  • Ортогональная группа: . Специальная ортогон. группа: .
  • Унитарная группа: . Специальная унитарная группа: .
  • Изометрии в : (док.-во только ). Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.

    Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах. Отображение — изоморфизм колец, а также
    и отображение — изоморфизм групп.

  • Аффинная линейная группа: . Геометрический смысл: .
1.5.3  Действия групп на множествах
  • Действие группы на мн.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
  • Примеры: группа действует на , группы матриц действуют на , группа действует на сдвигами (где ) и на сопряжениями.
  • Динамическая система с дискретнымнепрерывным временем (каскадпоток) — множество с действием группы группы . Теорема Кэли.

    Теорема Кэли. Пусть — группа; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — биекция (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм групп.

  • -Множество — множество с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: .
  • Орбита точки : (, где ). Разбиение -множества на орбиты: .
  • Транзитивное действие (однородное -мн.-во): . Стабилизатор: . Точное действие: .
  • Свободное действие (свободное -мн.-во): . Торсор над — однородн. свободн. -мн.-во ().
  • Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: . Лемма Бернсайда. Пример: .

    Теорема о классах смежности по стабилизатору. Пусть — группа, -множество и ; тогда
    (1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть ;
    (2) если , то .

    Лемма Бернсайда. Пусть — группа, -множество и ; тогда .

1.5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
  • Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутренних автоморф.-в: .
  • Центр: . Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморф.-в: .

    Теорема о внутренних автоморфизмах. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро есть ,
    его образ есть (и, значит, ) и, кроме того, .

  • Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): . Коммутант группы : .
  • Утверждение: . Теорема о коммутанте. Пример: (док.-во только включения ). Абелианизация группы : .

    Теорема о коммутанте. Пусть — группа и ; тогда группа абелева, если и только если (и, значит, абелева).

  • Простая группа: . Примеры: группы () и ( — поле, ) простые (без доказательства).
  • Полупрямое произвед.-е относ.-но действия (): с бинарной операцией .
  • Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
  • Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".