Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 25: Строка 25:
 
<li>Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: <math>r_0=s</math> и <math>r_1=r</math>; на <math>i</math>-м шаге <math>r_{i-1}=q_ir_i+r_{i+1}</math> и <math>\nu(r_{i+1})<\nu(r_i)</math>; тогда если <math>r_{n+1}=0</math>, то <math>r_n\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>.
 
<li>Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: <math>r_0=s</math> и <math>r_1=r</math>; на <math>i</math>-м шаге <math>r_{i-1}=q_ir_i+r_{i+1}</math> и <math>\nu(r_{i+1})<\nu(r_i)</math>; тогда если <math>r_{n+1}=0</math>, то <math>r_n\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>.
 
<li>Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: <math>r_n=-q_{n-1}r_{n-1}+r_{n-2}</math>; на <math>i</math>-м шаге <math>r_n=u_ir_i+v_ir_{i-1}</math>; тогда <math>r_n=u_1r+v_1s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>.
 
<li>Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: <math>r_n=-q_{n-1}r_{n-1}+r_{n-2}</math>; на <math>i</math>-м шаге <math>r_n=u_ir_i+v_ir_{i-1}</math>; тогда <math>r_n=u_1r+v_1s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>.
<li><u>Китайская теорема об остатках для целых чисел.</u> <i>Пусть <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>n_1,\ldots,n_k\in\mathbb N</math>, <math>n_1,\ldots,n_k</math> попарно взаимно просты (то есть <math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}</math><br><math>\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(n_i,n_j)=1\bigr)</math>) и <math>n=n_1\cdot\ldots\cdot n_k</math>; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb Z/n&\to\mathbb Z/n_1\times\ldots\times\mathbb Z/n_k\\a&\mapsto(a\bmod n_1,\ldots,a\bmod n_k)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм колец.</i>
+
<li><u>Китайская теорема об остатках для целых чисел.</u> <i>Пусть <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>n_1,\ldots,n_k\in\mathbb N</math> и <math>n_1,\ldots,n_k</math> попарно взаимно просты (то есть <math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}</math><br><math>\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(n_i,n_j)=1\bigr)</math>); тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb Z/(n_1\cdot\ldots\cdot n_k)&\to\mathbb Z/n_1\times\ldots\times\mathbb Z/n_k\\a&\mapsto(a\bmod n_1,\ldots,a\bmod n_k)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм колец.</i>
<li><u>Китайская теорема об остатках для многочленов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты (то есть<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(f_i,f_j)=1\bigr)</math>) и <math>f=f_1\cdot\ldots\cdot f_k</math>; тогда отобр. <math>\biggl(\!\begin{align}K[x]/f&\to K[x]/f_1\times\ldots\times K[x]/f_k\\a&\mapsto(a\bmod f_1,\ldots,a\bmod f_k)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм колец.</i>
+
<li><u>Китайская теорема об остатках для многочленов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты (то есть<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(f_i,f_j)=1\bigr)</math>); тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K[x]/(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)&\to K[x]/f_1\times\ldots\times K[x]/f_k\\a&\mapsto(a\bmod f_1,\ldots,a\bmod f_k)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм колец.</i>
 
<li>Функция Эйлера от <math>n</math>: <math>\phi(n)=|\{a\in\mathbb Z/n\mid\mathrm{gcd}(a,n)=1\}|</math>. Пример: если <math>p\in\mathbb P</math> и <math>d\in\mathbb N</math>, то <math>\phi(p^d)=p^{d-1}(p-1)</math>. Утверждение: <math>\phi(n)=|(\mathbb Z/n)^\times\!|</math>.
 
<li>Функция Эйлера от <math>n</math>: <math>\phi(n)=|\{a\in\mathbb Z/n\mid\mathrm{gcd}(a,n)=1\}|</math>. Пример: если <math>p\in\mathbb P</math> и <math>d\in\mathbb N</math>, то <math>\phi(p^d)=p^{d-1}(p-1)</math>. Утверждение: <math>\phi(n)=|(\mathbb Z/n)^\times\!|</math>.
 
<li><u>Теорема о свойствах функции Эйлера.</u><br><i>(1) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>, <math>a\in\mathbb Z</math> и <math>\mathrm{gcd}(a,n)=1</math>; тогда <math>a^{\phi(n)}\!\equiv1\;(\mathrm{mod}\;n)</math> (это теорема Эйлера).<br>(2) Пусть <math>m,n\in\mathbb N</math> и <math>\mathrm{gcd}(m,n)=1</math>; тогда <math>\phi(mn)=\phi(m)\,\phi(n)</math>.<br>(3) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>; разложим <math>n</math> в произведение простых чисел: <math>n=p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}</math>, где <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>p_1,\ldots,p_k\in\mathbb P</math>, <math>p_1,\ldots,p_k</math> попарно различны и<br><math>d_1,\ldots,d_k\in\mathbb N</math>; тогда <math>\phi(n)=p_1^{d_1-1}(p_1-1)\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k-1}(p_k-1)=n\,\Bigl(1-\frac1{p_1}\Bigr)\cdot\ldots\cdot\Bigl(1-\frac1{p_k}\Bigr)</math>.</i></ul>
 
<li><u>Теорема о свойствах функции Эйлера.</u><br><i>(1) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>, <math>a\in\mathbb Z</math> и <math>\mathrm{gcd}(a,n)=1</math>; тогда <math>a^{\phi(n)}\!\equiv1\;(\mathrm{mod}\;n)</math> (это теорема Эйлера).<br>(2) Пусть <math>m,n\in\mathbb N</math> и <math>\mathrm{gcd}(m,n)=1</math>; тогда <math>\phi(mn)=\phi(m)\,\phi(n)</math>.<br>(3) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>; разложим <math>n</math> в произведение простых чисел: <math>n=p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}</math>, где <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>p_1,\ldots,p_k\in\mathbb P</math>, <math>p_1,\ldots,p_k</math> попарно различны и<br><math>d_1,\ldots,d_k\in\mathbb N</math>; тогда <math>\phi(n)=p_1^{d_1-1}(p_1-1)\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k-1}(p_k-1)=n\,\Bigl(1-\frac1{p_1}\Bigr)\cdot\ldots\cdot\Bigl(1-\frac1{p_k}\Bigr)</math>.</i></ul>

Версия 00:00, 2 октября 2017

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Делимость в коммутативных кольцах
  • Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце : ; ; .
  • Понятия и в коммут. кольце : и .
  • Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
  • Главный идеал — идеал, порожденный одним элементом. Анонс: в и все идеалы главные. Пример неглавного идеала: идеал в .
  • Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) ; ; ; ;
    (2) если — область целостности, то , а также ;
    (3) и, если идеал главный, то ;
    (4) если в кольце все идеалы главные, то .
  • Неприводимые и простые эл.-ты: и .
  • Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть — коммутативное кольцо; тогда
    (1) если — область целостности, то ;
    (2) если в кольце все идеалы главные, то ;
    (3) для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) — область целостности;
    (4) если — область целостности, в которой все идеалы главные, то для любых следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) , (у2) , (у3) — область целостности и (у4) — поле.
1.4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
  • Евклидова норма на — такая функция (), что относ.-но можно делить с остатком и не убывает относ.-но делимости.
  • Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (); (); , , ().
  • Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) не существует такой бесконечной последовательности элементов кольца , что для любых выполнено ;
    (3) если , то для любых выполнено ;
    (4) в кольце все идеалы главные, а также .
  • Факториальное кольцо — область целостности с -единственным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
  • Примеры: — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо факториально, то и факториально (без доказательства).
  • Теорема о факториальности евклидовых колец.
    (1) Пусть — такая область целостности, что не существует такой бесконечной последовательности элементов кольца , что
    для любых выполнено , и, кроме того, ; тогда — факториальное кольцо.
    (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (и, значит, кольца и , где — поле, факториальны).
  • Теорема о факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произведение неприводимых элементов:
    и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
    (1) и ;
    (2) и .
1.4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
  • Соотношение Безу для эл.-тов и евклид. кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
  • Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда если , то .
  • Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
  • Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
  • Теорема о свойствах функции Эйлера.
    (1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
    (2) Пусть и ; тогда .
    (3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
    ; тогда .
1.4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  • Сопоставление многочлену формальной производной . Лемма о свойствах формальной производной.

    Лемма о свойствах формальной производной. Пусть — кольцо; тогда для любых и выполнено (и, значит,
    отображение — эндоморфизм группы ) и , а также (это правило Лейбница).

  • Корень кратности многочлена : . Теорема о кратных корнях.

    Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) если — корень кратности не меньше многочлена , то — корень кратности не меньше многочлена ;
    (2) если — область целостности, не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена ;
    (3) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и .

  • Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
    такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
    (1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
    (2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона).
  • Поле частных: ; и , .
  • Лемма о поле частных. Отождествление и . Примеры: , — поле рацион.-х дробей.

    Лемма о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
    для любых и выполнено (и, значит, ).

  • Несократимая запись: (, нормирован). Правильные дроби: (). Лемма о несократимой записи и правильных дробях.

    Лемма о несократимой записи и правильных дробях. Пусть — поле и ; тогда
    (1) существуют единственные такие многочлены , что , и многочлен нормирован;
    (2) существуют единственные такие многочлен и правильная дробь , что .

  • Примарные и простейшие дроби: (, нормир., , ) и (, нормир., , ).
  • Метод неопределенных коэфф.-тов для разложения правильной дроби в сумму простейших дробей (док.-во корректности см. в п. 3 в § 4 главы 5 в [3]).
1.4.5  Кольца матриц
  • Множества матриц, столбцов и строк: , и . Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умнож.-я. Кольцо , группа .
  • Диагональные и скалярные матрицы. Верхнетреугольные, нижнетреугольные и треугольные матрицы. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
  • Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: , , . Утверждение: , , .
  • Строки матрицы : . Столбцы матрицы : . Утверждение: , а также .
  • Транспонирование матрицы : . Утверждение: пусть — коммут. кольцо, и ; тогда .
  • Симметрич. и антисимм. матрицы: и .
  • След квадр. матрицы : . Утверждение: пусть — коммут. кольцо, и ; тогда .

1.5  Группы (часть 2)

1.5.1  Симметрические группы
  • Транспозиции: (, ). Фундаментальные транспозиции: (). Число циклов в перестановке : .
  • Множество инверсий последовательности : . Лемма о количестве инверсий.

    Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то , и, если , то .

  • Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа ,
    упорядоченные по неубыванию (то есть ); тогда
    (1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
    (2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
    следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что .
  • Знак последовательности : , если числа попарно различны; иначе .
  • Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: .

    Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
    (1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это отображение — сюръекция и ;
    (2) для любых таких , что , выполнено и ;
    (3) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
    (4) для любых выполнено .

  • Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
    (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны.
  • Теорема о задании симметрических групп коксетеровскими образующими и соотношениями. Пусть ; тогда
    .
1.5.2  Группы матриц
  • Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Определитель и расстановки ладей на шахматной доске.
  • Анонс: пусть — поле; тогда и отобр. — гомоморфизм моноидов по умножению.
  • Примеры: , . Определитель и объем. Теорема о свойствах определителя.

    Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) для любых , и выполнено
    ;
    (2) для любых таких , что не попарно различны, выполнено ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) для любых , , и выполнено .

  • Специальная линейн. группа: . Утверждение: .
  • Ортогональная группа: . Специальная ортогон. группа: .
  • Унитарная группа: . Специальная унитарная группа: .
  • Аффинная линейн. группа: (рассматр.-ются блочные матрицы).
  • Теорема о представлении комплексных чисел при помощи вещественных матриц.
    (1) Отображение — изоморфизм колец.
    (2) и отображение — изоморфизм групп.
1.5.3  Действия групп на множествах
  • Действие группы на мн.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
  • Примеры: группа действует на , группы матриц действуют на , группа действует на сдвигами (где ) и на сопряжениями.
  • Динамическая система с дискретнымнепрерывным временем (каскадпоток) — множество с действием группы группы . Теорема Кэли.

    Теорема Кэли. Пусть — группа; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — биекция (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм групп.

  • -Множество — множество с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: .
  • Орбита точки : . Утверждение: , где . Разбиение на орбиты: .
  • Транзитивное действие (однородное -мн.-во): . Стабилизатор: . Точное действие: .
  • Свободное действие (своб. -мн.-во): . Торсор над — однородное свободное -мн.-во ().
  • Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: . Лемма Бернсайда. Пример: .

    Теорема о классах смежности по стабилизатору. Пусть — группа, -множество и ; тогда
    (1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть
    (и, значит, если — однородное -множество, то это отображение — изоморфизм -множеств);
    (2) если , то .

    Лемма Бернсайда. Пусть — группа, -множество и ; тогда .

1.5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
  • Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутр.-х автоморф.-в: .
  • Центр: . Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморф.-в: .

    Теорема о внутренних автоморфизмах. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро есть ,
    его образ есть (и, значит, ) и, кроме того, .

  • Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): . Коммутант группы : .
  • Утверждение: . Теорема о коммутанте. Пример: (док.-во только включения ). Абелианизация группы : .

    Теорема о коммутанте. Пусть — группа и ; тогда группа абелева, если и только если (и, значит, абелева).

  • Простая группа: . Примеры: группы () и ( — поле и ) простые (без доказат.-ва).
  • Полупрямое произв.-е относит. действия (): с бинарной операцией .
  • Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
  • Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".