Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 38: | Строка 38: | ||
<li>Поле частных: <math>\mathrm Q(R)=\bigl(R\times(R\!\setminus\!\{0\})\bigr)/{\sim}</math>; <math>(r,s)\sim(\breve r,\breve s)\,\Leftrightarrow\,r\breve s=\breve rs</math> и <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)+\mathrm{cl}_\sim\!(t,u)=\mathrm{cl}_\sim\!(ru+st,su)</math>, <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)\,\mathrm{cl}_\sim\!(t,u)=\mathrm{cl}_\sim\!(rt,su)</math>. | <li>Поле частных: <math>\mathrm Q(R)=\bigl(R\times(R\!\setminus\!\{0\})\bigr)/{\sim}</math>; <math>(r,s)\sim(\breve r,\breve s)\,\Leftrightarrow\,r\breve s=\breve rs</math> и <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)+\mathrm{cl}_\sim\!(t,u)=\mathrm{cl}_\sim\!(ru+st,su)</math>, <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)\,\mathrm{cl}_\sim\!(t,u)=\mathrm{cl}_\sim\!(rt,su)</math>. | ||
<li>Лемма о поле частных. Отождествление <math>r</math> и <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)</math>. Примеры: <math>\mathrm Q(\mathbb Z)\cong\mathbb Q</math>, <math>K(x)=\mathrm Q(K[x])=\Bigl\{\frac fg\!\mid f,g\in K[x],\,g\ne0\Bigr\}</math> — поле рацион.-х дробей. | <li>Лемма о поле частных. Отождествление <math>r</math> и <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)</math>. Примеры: <math>\mathrm Q(\mathbb Z)\cong\mathbb Q</math>, <math>K(x)=\mathrm Q(K[x])=\Bigl\{\frac fg\!\mid f,g\in K[x],\,g\ne0\Bigr\}</math> — поле рацион.-х дробей. | ||
− | <p><u>Лемма о поле частных.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности; тогда | + | <p><u>Лемма о поле частных.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}R&\to\mathrm Q(R)\\r&\mapsto\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм колец, а также<br>для любых <math>r\in R</math> и <math>s\in R\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)=\frac{\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)}{\mathrm{cl}_\sim\!(s,1)}</math> (и, значит, <math>\mathrm Q(R)=\Bigl\{\frac{\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)}{\mathrm{cl}_\sim\!(s,1)}\!\mid r,s\in R,\,s\ne0\Bigr\}</math>).</i></p> |
<li>Несократимая запись: <math>\frac fg</math> (<math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math>, <math>g</math> нормирован). Правильные дроби: <math>\frac fg</math> (<math>\deg f<\deg g</math>). Лемма о несократимой записи и правильных дробях. | <li>Несократимая запись: <math>\frac fg</math> (<math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math>, <math>g</math> нормирован). Правильные дроби: <math>\frac fg</math> (<math>\deg f<\deg g</math>). Лемма о несократимой записи и правильных дробях. | ||
<p><u>Лемма о несократимой записи и правильных дробях.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>z\in K(x)</math>; тогда<br>(1) существуют единственные такие многочлены <math>f,g\in K[x]</math>, что <math>z=\frac fg</math>, <math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math> и многочлен <math>g</math> нормирован;<br>(2) существуют единственные такие многочлен <math>q\in K[x]</math> и правильная дробь <math>\tilde z\in K(x)</math>, что <math>z=q+\tilde z</math>.</i></p> | <p><u>Лемма о несократимой записи и правильных дробях.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>z\in K(x)</math>; тогда<br>(1) существуют единственные такие многочлены <math>f,g\in K[x]</math>, что <math>z=\frac fg</math>, <math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math> и многочлен <math>g</math> нормирован;<br>(2) существуют единственные такие многочлен <math>q\in K[x]</math> и правильная дробь <math>\tilde z\in K(x)</math>, что <math>z=q+\tilde z</math>.</i></p> | ||
Строка 69: | Строка 69: | ||
<ul><li>Определитель квадр. матрицы <math>a</math> над коммут. кольцом: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{u(n)}_n\!</math>. Определитель и расстановки ладей на шахматной доске. | <ul><li>Определитель квадр. матрицы <math>a</math> над коммут. кольцом: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{u(n)}_n\!</math>. Определитель и расстановки ладей на шахматной доске. | ||
<li>Анонс: пусть <math>K</math> — поле; тогда <math>\mathrm{GL}(n,K)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid\det a\ne0\}</math> и отобр. <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,K)&\to K\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению. | <li>Анонс: пусть <math>K</math> — поле; тогда <math>\mathrm{GL}(n,K)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid\det a\ne0\}</math> и отобр. <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,K)&\to K\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению. | ||
− | <li>Примеры: <math>\det\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\alpha\delta-\beta\gamma</math>, <math>\det\!\biggl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\delta&\varepsilon&\zeta\\\eta&\theta&\iota\end{smallmatrix}\biggr)\!=\alpha\varepsilon\iota+\beta\zeta\eta+\gamma\delta\theta-\gamma\varepsilon\eta-\beta\delta\iota-\alpha\zeta\theta</math>. | + | <li>Примеры: <math>\det\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\alpha\delta-\beta\gamma</math>, <math>\det\!\biggl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\delta&\varepsilon&\zeta\\\eta&\theta&\iota\end{smallmatrix}\biggr)\!=\alpha\varepsilon\iota+\beta\zeta\eta+\gamma\delta\theta-\gamma\varepsilon\eta-\beta\delta\iota-\alpha\zeta\theta</math>. Определитель и объем. Теорема о свойствах определителя. |
<p><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math>, <math>v_1,\ldots,v_{i-1},v,v',v_{i+1},\ldots,v_n\in R^n</math> и <math>c,c'\in R</math> выполнено<br><math>\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,c\,v+c'v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)=c\,\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)+c'\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)</math>;<br>(2) для любых таких <math>v_1,\ldots,v_n\in R^n</math>, что <math>v_1,\ldots,v_n</math> не попарно различны, выполнено <math>\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)=0</math>;<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> выполнено <math>\det a^\mathtt T\!=\det a</math>;<br>(4) для любых <math>n',n''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>a'\in\mathrm{Mat}(n',R)</math>, <math>a''\in\mathrm{Mat}(n'',R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',R)</math> выполнено <math>\det\!\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\det a'\!\cdot\det a''</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math>, <math>v_1,\ldots,v_{i-1},v,v',v_{i+1},\ldots,v_n\in R^n</math> и <math>c,c'\in R</math> выполнено<br><math>\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,c\,v+c'v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)=c\,\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)+c'\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)</math>;<br>(2) для любых таких <math>v_1,\ldots,v_n\in R^n</math>, что <math>v_1,\ldots,v_n</math> не попарно различны, выполнено <math>\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)=0</math>;<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> выполнено <math>\det a^\mathtt T\!=\det a</math>;<br>(4) для любых <math>n',n''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>a'\in\mathrm{Mat}(n',R)</math>, <math>a''\in\mathrm{Mat}(n'',R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',R)</math> выполнено <math>\det\!\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\det a'\!\cdot\det a''</math>.</i></p> | ||
<li>Специальная линейн. группа: <math>\mathrm{SL}(n,K)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,K)</math>. Утверждение: <math>\forall\,a,b\in\mathrm{Mat}(n,K)\;\bigl(b\cdot a=\mathrm{id}_n\Rightarrow\,b=a^{-1}\bigr)</math>. | <li>Специальная линейн. группа: <math>\mathrm{SL}(n,K)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,K)</math>. Утверждение: <math>\forall\,a,b\in\mathrm{Mat}(n,K)\;\bigl(b\cdot a=\mathrm{id}_n\Rightarrow\,b=a^{-1}\bigr)</math>. |
Версия 20:00, 1 октября 2017
1 Основы алгебры
1.4 Кольца (часть 2)
1.4.1 Делимость в коммутативных кольцах
- Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце : ; ; .
- Понятия и в коммут. кольце : и .
- Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
- Главный идеал — идеал, порожденный одним элементом. Анонс: в и все идеалы главные. Пример неглавного идеала: идеал в .
- Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
(1) ; ; ; ;
(2) если — область целостности, то , а также ;
(3) и, если идеал главный, то ;
(4) если в кольце все идеалы главные, то . - Неприводимые и простые эл.-ты: и .
- Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть — коммутативное кольцо; тогда
(1) если — область целостности, то ;
(2) если в кольце все идеалы главные, то ;
(3) для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) — область целостности;
(4) если — область целостности, в которой все идеалы главные, то для любых следующие утверждения эквивалентны:
(у1) , (у2) , (у3) — область целостности и (у4) — поле.
1.4.2 Евклидовы кольца и факториальные кольца
- Евклидова норма на — такая функция (), что относ.-но можно делить с остатком и не убывает относ.-но делимости.
- Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (); (); , , ().
- Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) не существует такой бесконечной последовательности элементов кольца , что для любых выполнено ;
(3) если , то для любых выполнено ;
(4) в кольце все идеалы главные, а также . - Факториальное кольцо — область целостности с -единственным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
- Примеры: — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо факториально, то и факториально (без доказательства).
- Теорема о факториальности евклидовых колец.
(1) Пусть — такая область целостности, что не существует такой бесконечной последовательности элементов кольца , что
для любых выполнено , и, кроме того, ; тогда — факториальное кольцо.
(2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (и, значит, кольца и , где — поле, факториальны). - Теорема о факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произведение неприводимых элементов:
и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
(1) и ;
(2) и .
1.4.3 Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
- Соотношение Безу для эл.-тов и евклид. кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
- Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда если , то .
- Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
- Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , , попарно взаимно просты (то есть
) и ; тогда отображение — изоморфизм колец. - Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , , попарно взаимно просты (то есть
) и ; тогда отобр. — изоморфизм колец. - Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
- Теорема о свойствах функции Эйлера.
(1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
(2) Пусть и ; тогда .
(3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
; тогда .
1.4.4 Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
- Сопоставление многочлену формальной производной . Лемма о свойствах формальной производной.
Лемма о свойствах формальной производной. Пусть — кольцо; тогда для любых и выполнено (и, значит,
отображение — эндоморфизм группы ) и , а также (это правило Лейбница). - Корень кратности многочлена : . Теорема о кратных корнях.
Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
(1) если — корень кратности не меньше многочлена , то — корень кратности не меньше многочлена ;
(2) если — область целостности, не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена ;
(3) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и . - Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
(1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
(2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона). - Поле частных: ; и , .
- Лемма о поле частных. Отождествление и . Примеры: , — поле рацион.-х дробей.
Лемма о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
для любых и выполнено (и, значит, ). - Несократимая запись: (, нормирован). Правильные дроби: (). Лемма о несократимой записи и правильных дробях.
Лемма о несократимой записи и правильных дробях. Пусть — поле и ; тогда
(1) существуют единственные такие многочлены , что , и многочлен нормирован;
(2) существуют единственные такие многочлен и правильная дробь , что . - Примарные и простейшие дроби: (, нормир., , ) и (, нормир., , ).
- Метод неопределенных коэфф.-тов для разложения правильной дроби в сумму простейших дробей (док.-во корректности см. в п. 3 в § 4 главы 5 в [3]).
1.4.5 Кольца матриц
- Множества матриц, столбцов и строк: , и . Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умнож.-я. Кольцо , группа .
- Диагональные и скалярные матрицы. Верхнетреугольные, нижнетреугольные и треугольные матрицы. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
- Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: , , . Утверждение: , , .
- Строки матрицы : . Столбцы матрицы : . Утверждение: , а также .
- Транспонирование матрицы : . Утверждение: пусть — коммут. кольцо, и ; тогда .
- Симметрич. и антисимм. матрицы: и .
- След квадр. матрицы : . Утверждение: пусть — коммут. кольцо, и ; тогда .
1.5 Группы (часть 2)
1.5.1 Симметрические группы
- Транспозиции: (, ). Фундаментальные транспозиции: (). Число циклов в перестановке : .
- Множество инверсий последовательности : . Лемма о количестве инверсий.
Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
(1) ;
(2) если , то , и, если , то . - Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа ,
упорядоченные по неубыванию (то есть ); тогда
(1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
(2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что . - Знак последовательности : , если числа попарно различны; иначе .
- Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: .
Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
(1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это отображение — сюръекция и ;
(2) для любых таких , что , выполнено и ;
(3) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
(4) для любых выполнено . - Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
(неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны. - Теорема о задании симметрических групп коксетеровскими образующими и соотношениями. Пусть ; тогда
.
1.5.2 Группы матриц
- Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Определитель и расстановки ладей на шахматной доске.
- Анонс: пусть — поле; тогда и отобр. — гомоморфизм моноидов по умножению.
- Примеры: , . Определитель и объем. Теорема о свойствах определителя.
Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
(1) для любых , и выполнено
;
(2) для любых таких , что не попарно различны, выполнено ;
(3) для любых выполнено ;
(4) для любых , , и выполнено . - Специальная линейн. группа: . Утверждение: .
- Ортогональная группа: . Специальная ортогон. группа: .
- Унитарная группа: . Специальная унитарная группа: .
- Аффинная линейн. группа: (рассматр.-ются блочные матрицы).
- Теорема о представлении комплексных чисел при помощи вещественных матриц.
(1) Отображение — изоморфизм колец.
(2) и отображение — изоморфизм групп.
1.5.3 Действия групп на множествах
- Действие группы на мн.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
- Примеры: группа действует на , группы матриц действуют на , группа действует на сдвигами (где ) и на сопряжениями.
- Динамическая система с дискретнымнепрерывным временем (каскадпоток) — множество с действием группы группы . Теорема Кэли.
Теорема Кэли. Пусть — группа; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — биекция (то есть );
(2) отображение — инъективный гомоморфизм групп. - -Множество — множество с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: .
- Орбита точки : . Утверждение: , где . Разбиение на орбиты: .
- Транзитивное действие (однородное -мн.-во): . Стабилизатор: . Точное действие: .
- Свободное действие (своб. -мн.-во): . Торсор над — однородное свободное -мн.-во ().
- Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: . Лемма Бернсайда. Пример: .
Теорема о классах смежности по стабилизатору. Пусть — группа, — -множество и ; тогда
(1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть
(и, значит, если — однородное -множество, то данное отображение — изоморфизм -множеств);
(2) если , то .Лемма Бернсайда. Пусть — группа, — -множество и ; тогда .
1.5.4 Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
- Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутр.-х автоморф.-в: .
- Центр: . Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморф.-в: .
Теорема о внутренних автоморфизмах. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро есть ,
его образ есть (и, значит, ) и, кроме того, . - Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): . Коммутант группы : .
- Утверждение: . Теорема о коммутанте. Пример: (док.-во только включения ). Абелианизация группы : .
Теорема о коммутанте. Пусть — группа и ; тогда группа абелева, если и только если (и, значит, абелева).
- Простая группа: . Примеры: группы () и ( — поле и ) простые (без доказат.-ва).
- Полупрямое произв.-е относит. действия (): с бинарной операцией .
- Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
- Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
(1) , и ;
(2) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".