Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 38: Строка 38:
 
<li>Поле частных: <math>\mathrm Q(R)=\bigl(R\times(R\!\setminus\!\{0\})\bigr)/{\sim}</math>; <math>(r,s)\sim(\breve r,\breve s)\,\Leftrightarrow\,r\breve s=\breve rs</math> и <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)+\mathrm{cl}_\sim\!(t,u)=\mathrm{cl}_\sim\!(ru+st,su)</math>, <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)\,\mathrm{cl}_\sim\!(t,u)=\mathrm{cl}_\sim\!(rt,su)</math>.
 
<li>Поле частных: <math>\mathrm Q(R)=\bigl(R\times(R\!\setminus\!\{0\})\bigr)/{\sim}</math>; <math>(r,s)\sim(\breve r,\breve s)\,\Leftrightarrow\,r\breve s=\breve rs</math> и <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)+\mathrm{cl}_\sim\!(t,u)=\mathrm{cl}_\sim\!(ru+st,su)</math>, <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)\,\mathrm{cl}_\sim\!(t,u)=\mathrm{cl}_\sim\!(rt,su)</math>.
 
<li>Лемма о поле частных. Отождествление <math>r</math> и <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)</math>. Примеры: <math>\mathrm Q(\mathbb Z)\cong\mathbb Q</math>, <math>K(x)=\mathrm Q(K[x])=\Bigl\{\frac fg\!\mid f,g\in K[x],\,g\ne0\Bigr\}</math> — поле рацион.-х дробей.
 
<li>Лемма о поле частных. Отождествление <math>r</math> и <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)</math>. Примеры: <math>\mathrm Q(\mathbb Z)\cong\mathbb Q</math>, <math>K(x)=\mathrm Q(K[x])=\Bigl\{\frac fg\!\mid f,g\in K[x],\,g\ne0\Bigr\}</math> — поле рацион.-х дробей.
<p><u>Лемма о поле частных.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}R&\to\mathrm Q(R)\\r&\mapsto\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм колец;<br>(2) для любых <math>r\in R</math> и <math>s\in R\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)=\frac{\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)}{\mathrm{cl}_\sim\!(s,1)}</math> (и, значит, <math>\mathrm Q(R)=\Bigl\{\frac{\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)}{\mathrm{cl}_\sim\!(s,1)}\!\mid r,s\in R,\,s\ne0\Bigr\}</math>).</i></p>
+
<p><u>Лемма о поле частных.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}R&\to\mathrm Q(R)\\r&\mapsto\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм колец, а также<br>для любых <math>r\in R</math> и <math>s\in R\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>\mathrm{cl}_\sim\!(r,s)=\frac{\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)}{\mathrm{cl}_\sim\!(s,1)}</math> (и, значит, <math>\mathrm Q(R)=\Bigl\{\frac{\mathrm{cl}_\sim\!(r,1)}{\mathrm{cl}_\sim\!(s,1)}\!\mid r,s\in R,\,s\ne0\Bigr\}</math>).</i></p>
 
<li>Несократимая запись: <math>\frac fg</math> (<math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math>, <math>g</math> нормирован). Правильные дроби: <math>\frac fg</math> (<math>\deg f<\deg g</math>). Лемма о несократимой записи и правильных дробях.
 
<li>Несократимая запись: <math>\frac fg</math> (<math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math>, <math>g</math> нормирован). Правильные дроби: <math>\frac fg</math> (<math>\deg f<\deg g</math>). Лемма о несократимой записи и правильных дробях.
 
<p><u>Лемма о несократимой записи и правильных дробях.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>z\in K(x)</math>; тогда<br>(1) существуют единственные такие многочлены <math>f,g\in K[x]</math>, что <math>z=\frac fg</math>, <math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math> и многочлен <math>g</math> нормирован;<br>(2) существуют единственные такие многочлен <math>q\in K[x]</math> и правильная дробь <math>\tilde z\in K(x)</math>, что <math>z=q+\tilde z</math>.</i></p>
 
<p><u>Лемма о несократимой записи и правильных дробях.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>z\in K(x)</math>; тогда<br>(1) существуют единственные такие многочлены <math>f,g\in K[x]</math>, что <math>z=\frac fg</math>, <math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math> и многочлен <math>g</math> нормирован;<br>(2) существуют единственные такие многочлен <math>q\in K[x]</math> и правильная дробь <math>\tilde z\in K(x)</math>, что <math>z=q+\tilde z</math>.</i></p>
Строка 69: Строка 69:
 
<ul><li>Определитель квадр. матрицы <math>a</math> над коммут. кольцом: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{u(n)}_n\!</math>. Определитель и расстановки ладей на шахматной доске.
 
<ul><li>Определитель квадр. матрицы <math>a</math> над коммут. кольцом: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{u(n)}_n\!</math>. Определитель и расстановки ладей на шахматной доске.
 
<li>Анонс: пусть <math>K</math> — поле; тогда <math>\mathrm{GL}(n,K)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid\det a\ne0\}</math> и отобр. <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,K)&\to K\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению.
 
<li>Анонс: пусть <math>K</math> — поле; тогда <math>\mathrm{GL}(n,K)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid\det a\ne0\}</math> и отобр. <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,K)&\to K\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению.
<li>Примеры: <math>\det\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\alpha\delta-\beta\gamma</math>, <math>\det\!\biggl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\delta&\varepsilon&\zeta\\\eta&\theta&\iota\end{smallmatrix}\biggr)\!=\alpha\varepsilon\iota+\beta\zeta\eta+\gamma\delta\theta-\gamma\varepsilon\eta-\beta\delta\iota-\alpha\zeta\theta</math>. Правило треугольников. Теорема о свойствах определителя.
+
<li>Примеры: <math>\det\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\alpha\delta-\beta\gamma</math>, <math>\det\!\biggl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\delta&\varepsilon&\zeta\\\eta&\theta&\iota\end{smallmatrix}\biggr)\!=\alpha\varepsilon\iota+\beta\zeta\eta+\gamma\delta\theta-\gamma\varepsilon\eta-\beta\delta\iota-\alpha\zeta\theta</math>. Определитель и объем. Теорема о свойствах определителя.
 
<p><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math>, <math>v_1,\ldots,v_{i-1},v,v',v_{i+1},\ldots,v_n\in R^n</math> и <math>c,c'\in R</math> выполнено<br><math>\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,c\,v+c'v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)=c\,\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)+c'\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)</math>;<br>(2) для любых таких <math>v_1,\ldots,v_n\in R^n</math>, что <math>v_1,\ldots,v_n</math> не попарно различны, выполнено <math>\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)=0</math>;<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> выполнено <math>\det a^\mathtt T\!=\det a</math>;<br>(4) для любых <math>n',n''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>a'\in\mathrm{Mat}(n',R)</math>, <math>a''\in\mathrm{Mat}(n'',R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',R)</math> выполнено <math>\det\!\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\det a'\!\cdot\det a''</math>.</i></p>
 
<p><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math>, <math>v_1,\ldots,v_{i-1},v,v',v_{i+1},\ldots,v_n\in R^n</math> и <math>c,c'\in R</math> выполнено<br><math>\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,c\,v+c'v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)=c\,\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)+c'\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)</math>;<br>(2) для любых таких <math>v_1,\ldots,v_n\in R^n</math>, что <math>v_1,\ldots,v_n</math> не попарно различны, выполнено <math>\det\!\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)=0</math>;<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> выполнено <math>\det a^\mathtt T\!=\det a</math>;<br>(4) для любых <math>n',n''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>a'\in\mathrm{Mat}(n',R)</math>, <math>a''\in\mathrm{Mat}(n'',R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',R)</math> выполнено <math>\det\!\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\det a'\!\cdot\det a''</math>.</i></p>
 
<li>Специальная линейн. группа: <math>\mathrm{SL}(n,K)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,K)</math>. Утверждение: <math>\forall\,a,b\in\mathrm{Mat}(n,K)\;\bigl(b\cdot a=\mathrm{id}_n\Rightarrow\,b=a^{-1}\bigr)</math>.
 
<li>Специальная линейн. группа: <math>\mathrm{SL}(n,K)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,K)</math>. Утверждение: <math>\forall\,a,b\in\mathrm{Mat}(n,K)\;\bigl(b\cdot a=\mathrm{id}_n\Rightarrow\,b=a^{-1}\bigr)</math>.

Версия 20:00, 1 октября 2017

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Делимость в коммутативных кольцах
  • Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце : ; ; .
  • Понятия и в коммут. кольце : и .
  • Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
  • Главный идеал — идеал, порожденный одним элементом. Анонс: в и все идеалы главные. Пример неглавного идеала: идеал в .
  • Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) ; ; ; ;
    (2) если — область целостности, то , а также ;
    (3) и, если идеал главный, то ;
    (4) если в кольце все идеалы главные, то .
  • Неприводимые и простые эл.-ты: и .
  • Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть — коммутативное кольцо; тогда
    (1) если — область целостности, то ;
    (2) если в кольце все идеалы главные, то ;
    (3) для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) — область целостности;
    (4) если — область целостности, в которой все идеалы главные, то для любых следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) , (у2) , (у3) — область целостности и (у4) — поле.
1.4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
  • Евклидова норма на — такая функция (), что относ.-но можно делить с остатком и не убывает относ.-но делимости.
  • Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (); (); , , ().
  • Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) не существует такой бесконечной последовательности элементов кольца , что для любых выполнено ;
    (3) если , то для любых выполнено ;
    (4) в кольце все идеалы главные, а также .
  • Факториальное кольцо — область целостности с -единственным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
  • Примеры: — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо факториально, то и факториально (без доказательства).
  • Теорема о факториальности евклидовых колец.
    (1) Пусть — такая область целостности, что не существует такой бесконечной последовательности элементов кольца , что
    для любых выполнено , и, кроме того, ; тогда — факториальное кольцо.
    (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (и, значит, кольца и , где — поле, факториальны).
  • Теорема о факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произведение неприводимых элементов:
    и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
    (1) и ;
    (2) и .
1.4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
  • Соотношение Безу для эл.-тов и евклид. кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
  • Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда если , то .
  • Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
  • Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , , попарно взаимно просты (то есть
    ) и ; тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , , попарно взаимно просты (то есть
    ) и ; тогда отобр. — изоморфизм колец.
  • Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
  • Теорема о свойствах функции Эйлера.
    (1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
    (2) Пусть и ; тогда .
    (3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
    ; тогда .
1.4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  • Сопоставление многочлену формальной производной . Лемма о свойствах формальной производной.

    Лемма о свойствах формальной производной. Пусть — кольцо; тогда для любых и выполнено (и, значит,
    отображение — эндоморфизм группы ) и , а также (это правило Лейбница).

  • Корень кратности многочлена : . Теорема о кратных корнях.

    Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) если — корень кратности не меньше многочлена , то — корень кратности не меньше многочлена ;
    (2) если — область целостности, не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена ;
    (3) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и .

  • Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
    такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
    (1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
    (2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона).
  • Поле частных: ; и , .
  • Лемма о поле частных. Отождествление и . Примеры: , — поле рацион.-х дробей.

    Лемма о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
    для любых и выполнено (и, значит, ).

  • Несократимая запись: (, нормирован). Правильные дроби: (). Лемма о несократимой записи и правильных дробях.

    Лемма о несократимой записи и правильных дробях. Пусть — поле и ; тогда
    (1) существуют единственные такие многочлены , что , и многочлен нормирован;
    (2) существуют единственные такие многочлен и правильная дробь , что .

  • Примарные и простейшие дроби: (, нормир., , ) и (, нормир., , ).
  • Метод неопределенных коэфф.-тов для разложения правильной дроби в сумму простейших дробей (док.-во корректности см. в п. 3 в § 4 главы 5 в [3]).
1.4.5  Кольца матриц
  • Множества матриц, столбцов и строк: , и . Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умнож.-я. Кольцо , группа .
  • Диагональные и скалярные матрицы. Верхнетреугольные, нижнетреугольные и треугольные матрицы. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
  • Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: , , . Утверждение: , , .
  • Строки матрицы : . Столбцы матрицы : . Утверждение: , а также .
  • Транспонирование матрицы : . Утверждение: пусть — коммут. кольцо, и ; тогда .
  • Симметрич. и антисимм. матрицы: и .
  • След квадр. матрицы : . Утверждение: пусть — коммут. кольцо, и ; тогда .

1.5  Группы (часть 2)

1.5.1  Симметрические группы
  • Транспозиции: (, ). Фундаментальные транспозиции: (). Число циклов в перестановке : .
  • Множество инверсий последовательности : . Лемма о количестве инверсий.

    Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то , и, если , то .

  • Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа ,
    упорядоченные по неубыванию (то есть ); тогда
    (1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
    (2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
    следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что .
  • Знак последовательности : , если числа попарно различны; иначе .
  • Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: .

    Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
    (1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это отображение — сюръекция и ;
    (2) для любых таких , что , выполнено и ;
    (3) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
    (4) для любых выполнено .

  • Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
    (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны.
  • Теорема о задании симметрических групп коксетеровскими образующими и соотношениями. Пусть ; тогда
    .
1.5.2  Группы матриц
  • Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Определитель и расстановки ладей на шахматной доске.
  • Анонс: пусть — поле; тогда и отобр. — гомоморфизм моноидов по умножению.
  • Примеры: , . Определитель и объем. Теорема о свойствах определителя.

    Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) для любых , и выполнено
    ;
    (2) для любых таких , что не попарно различны, выполнено ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) для любых , , и выполнено .

  • Специальная линейн. группа: . Утверждение: .
  • Ортогональная группа: . Специальная ортогон. группа: .
  • Унитарная группа: . Специальная унитарная группа: .
  • Аффинная линейн. группа: (рассматр.-ются блочные матрицы).
  • Теорема о представлении комплексных чисел при помощи вещественных матриц.
    (1) Отображение — изоморфизм колец.
    (2) и отображение — изоморфизм групп.
1.5.3  Действия групп на множествах
  • Действие группы на мн.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
  • Примеры: группа действует на , группы матриц действуют на , группа действует на сдвигами (где ) и на сопряжениями.
  • Динамическая система с дискретнымнепрерывным временем (каскадпоток) — множество с действием группы группы . Теорема Кэли.

    Теорема Кэли. Пусть — группа; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — биекция (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм групп.

  • -Множество — множество с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: .
  • Орбита точки : . Утверждение: , где . Разбиение на орбиты: .
  • Транзитивное действие (однородное -мн.-во): . Стабилизатор: . Точное действие: .
  • Свободное действие (своб. -мн.-во): . Торсор над — однородное свободное -мн.-во ().
  • Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: . Лемма Бернсайда. Пример: .

    Теорема о классах смежности по стабилизатору. Пусть — группа, -множество и ; тогда
    (1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть
    (и, значит, если — однородное -множество, то данное отображение — изоморфизм -множеств);
    (2) если , то .

    Лемма Бернсайда. Пусть — группа, -множество и ; тогда .

1.5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
  • Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутр.-х автоморф.-в: .
  • Центр: . Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморф.-в: .

    Теорема о внутренних автоморфизмах. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро есть ,
    его образ есть (и, значит, ) и, кроме того, .

  • Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): . Коммутант группы : .
  • Утверждение: . Теорема о коммутанте. Пример: (док.-во только включения ). Абелианизация группы : .

    Теорема о коммутанте. Пусть — группа и ; тогда группа абелева, если и только если (и, значит, абелева).

  • Простая группа: . Примеры: группы () и ( — поле и ) простые (без доказат.-ва).
  • Полупрямое произв.-е относит. действия (): с бинарной операцией .
  • Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
  • Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".