Алгебра phys 1 осень 2017 — различия между версиями

Версия 16:00, 1 октября 2017

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/1.

Преподаватель практики у подгруппы 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/2.

Дополнительная литература

[1]  Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.

Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm.

Полезные учебные материалы по алгебре имеются на странице А.Л. Городенцева и на странице А.В. Степанова.

Содержание первой половины первого семестра курса алгебры

1  Основы алгебры

1.1  Множества, отображения, отношения

• 1.1.1  Множества
  Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над
  множествами. Лемма об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества.
• 1.1.2  Отображения
  Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.
  Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
• 1.1.3  Отношения
  Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Разбиения. Трансверсали.
  Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле.

1.2  Группы (часть 1)

• 1.2.1  Множества с операцией
  Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Обозначения по
  Минковскому. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
• 1.2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)
  Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.
  Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
• 1.2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы
  Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок
  элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
• 1.2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
  Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
  Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание группы образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.

1.3  Кольца (часть 1)

• 1.3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами
  Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная и мультипликативная группы кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
  гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.
• 1.3.2  Кольца многочленов
  Кольцо многочленов. Степень и старший коэффициент. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении с остатком. Кольцо остатков по
  модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочлена. Теорема Безу. Теорема о корнях многочлена и следствие из нее. Теорема Виета.
• 1.3.3  Поле комплексных чисел
  Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа ${\displaystyle \,\mathrm S^1}$. Экспонента.
  Теорема о свойствах экспоненты. Извлечение корней. Группы корней из единицы. Теорема о неприводимых многочленах над полями ${\displaystyle \,\mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$.
• 1.3.4  Тело кватернионов
  Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Лемма об умножении кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о
  свойствах кватернионов. Группа ${\displaystyle \,\mathrm S^3}$. Описание изометрий двумерного и трехмерного пространств при помощи комплексных чисел и кватернионов.

Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры