Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 00:00, 19 сентября 2017

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

3.1.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм: ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V)}$. Примеры: ${\displaystyle (v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w}$ (${\displaystyle V=K^n}$, ${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$), ${\displaystyle (f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg}$ (${\displaystyle V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)}$, ${\displaystyle s\in V}$).
• Поля с инволюцией. Пространство ${\displaystyle {\overline {V}}}$: ${\displaystyle c\overline\cdot v=\overline c\,v}$. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ${\displaystyle \overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K}$): ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)}$.
• Матрица Грама (${\displaystyle d=(v_1,\ldots,v_m)}$): ${\displaystyle (\sigma_{d,d})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,v_{j_2})}$. Форма ${\displaystyle \sigma }$ в координ.-х (${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$): ${\displaystyle \sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}}$.
• Изоморфизм вект. пр.-в ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}}$ и ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}}$.
• Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}}$.
• Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}}$.
• Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: ${\displaystyle \mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}}$.
• Изоморфизмы между пр.-вами с формой: ${\displaystyle \mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\cap \mathrm {Bij} (V,Y)}$ и ${\displaystyle (V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing}$.

3.1.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle \kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)}$.
• ¯-Квадратичная форма в коорд.: ${\displaystyle \kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}}$; если ${\displaystyle \overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K}$, то ${\displaystyle \kappa(v)}$ — однор. многочлен степени ${\displaystyle 2}$ от ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{n}}$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$ и ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {pol} _{\kappa }}$ отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)}$, имеем следующие факты:
  ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }}$ — симметричная билинейная форма (то есть ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)}$), а также ${\displaystyle \forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)}$;
  (2) отображения ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {pol} _{\kappa }}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, имеем
  следующие факты: ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }}$ — полуторалинейная форма (то есть ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$), а также ${\displaystyle \forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)}$;
  (2) отображения ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Гиперповерхность второго порядка в пространстве ${\displaystyle V}$: множество вида ${\displaystyle \{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}}$, где ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}}$, ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$, ${\displaystyle c\in K}$.
• Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть ${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$, ${\displaystyle \lambda\in K_n}$, ${\displaystyle c\in K}$ и ${\displaystyle v\in K^{n}}$; тогда ${\displaystyle \,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}c&\lambda\\\lambda^\mathtt T&s\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)}$.

3.1.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы

• Оператор бемоль (опускание индекса): ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$. Опускание индекса в координатах: ${\displaystyle (\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}}$ и ${\displaystyle (\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}}$.
• Случай ${\displaystyle \dim V<\infty }$: ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma }$ невырождена${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \flat_\sigma}$ — биекция${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle \mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}}$. Ранг формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle \mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})}$.
• Топологич. невырожденность (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V}$ — нормир. вект. пр.-во, ${\displaystyle \sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)}$): ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ — биекция.
• Пример: ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}}$ и ${\displaystyle \sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n}$; тогда ${\displaystyle \sigma }$ топологич. невырождена (без док.-ва).
• Оператор диез (подъем индекса): ${\displaystyle \sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}}$ (${\displaystyle \sigma }$ невырождена). Подъем индекса в коорд. (${\displaystyle \sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T}$): ${\displaystyle (\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T}$ и ${\displaystyle (\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j}$.
• Нахождение координат вектора при помощи невырожд. формы: ${\displaystyle v^e=\sigma^{e,e}\!\cdot((\flat_\sigma v)_e)^\mathtt T\!=\sigma^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_n)\end{smallmatrix}\biggr)}$. Теорема о базисах и невырожденных формах.

  Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle v_1,\ldots,v_m\in V}$,
  ${\displaystyle d=(v_1,\ldots,v_m)}$ и ${\displaystyle U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle}$; тогда ${\displaystyle \sigma_{d,d}\!\in\mathrm{GL}(m,K)}$, если и только если ${\displaystyle d\in\mathrm{OB}(U)}$ и форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена.

• Ортогональные векторы (${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)}$): ${\displaystyle v\perp w\,\Leftrightarrow \,\sigma (v,w)=0\,\Leftrightarrow \,\sigma (w,v)=0}$. Ортогональное дополн.-е: ${\displaystyle U^{\perp }\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\leq V}$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$; тогда
  (1) ${\displaystyle U\subseteq U^{\perp\perp}}$, ${\displaystyle U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp}$, ${\displaystyle (U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }}$ и ${\displaystyle \,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена, то ${\displaystyle \dim U+\dim U^\perp\!=\dim V}$, а также ${\displaystyle U=U^{\perp \perp }}$ и ${\displaystyle \,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp}$;
  (3) ${\displaystyle \mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp}$ и, если ${\displaystyle \dim U<\infty }$, то ${\displaystyle {\bigl (}}$форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle U\cap U^{\perp }\!=\{0\}}$;
  (4) если форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена, то ${\displaystyle V=U\oplus U^{\perp }}$ (и, значит, определен ортогональный проектор на ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {proj} _{U}\colon V=U\oplus U^{\perp }\!&\to V\\v=u+u^{\perp }\!&\mapsto u\end{aligned}}\!{\biggr )}}$).

3.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис: ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma _{e,e}}$ — диагональная матрица${\displaystyle {\bigr )}}$. Форма ${\displaystyle \sigma }$ в ортогонал. коорд. (${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )}$): ${\displaystyle \sigma(v,w)=\sum_{j=1}^n\sigma_{j,j}\,v^j\overline{w^j}}$.
• Ортонормированный базис (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$): ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma _{e,e}}$ — диагональн. матрица с ${\displaystyle 1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0}$ на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}}$;
  тогда существует такой вектор ${\displaystyle v\in V}$, что ${\displaystyle \sigma (v,v)\neq 0}$ (то есть существует неизотропный вектор).
• Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

  Теорема Лагранжа. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$; тогда
  (1) в пространстве ${\displaystyle V}$ существует ортогональный базис (то есть ${\displaystyle \mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing }$);
  (2) если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то в пространстве ${\displaystyle V}$ существует ортонормированный базис (то есть ${\displaystyle \mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing }$).

  Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)}$; тогда
  (1) существует такая матрица ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}}$ — диагональная матрица;
  (2) если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то сущ. такая матрица ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}}$ — диаг. матрица с ${\displaystyle 1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0}$ на диагонали.

• Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U<\infty }$, форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена и ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})}$; тогда ${\displaystyle \forall\,v\in V\;\Bigl(\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j\Bigr)}$.
• Теорема об определителе матрицы Грама. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$, ${\displaystyle m\in\mathbb N}$,
  ${\displaystyle v_1,\ldots,v_m\in V}$, ${\displaystyle d=(v_1,\ldots,v_m)}$, ${\displaystyle d'=(v_1,\ldots,v_{m-1})}$ и ${\displaystyle U'=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}$, а также форма ${\displaystyle \sigma|_{U'\times U'}}$ невырождена; обозначим через ${\displaystyle \hat v_m}$
  вектор ${\displaystyle v_m-\mathrm{proj}_{U'}(v_m)}$; тогда ${\displaystyle \,\det\sigma_{d,d}=\det\sigma_{d',d'}\!\cdot\sigma(\hat v_m,\hat v_m)}$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; для любых ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle V_{i}}$ пространство ${\displaystyle \langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle }$ и обозначим через ${\displaystyle cm_i}$ ${\displaystyle i}$-й угловой минор
  матрицы ${\displaystyle \sigma _{e,e}}$. Пусть для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ форма ${\displaystyle \sigma |_{V_{i}\times V_{i}}}$ невырождена (это эквивалентно тому, что ${\displaystyle cm_i\ne0}$); для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$
  обозначим через ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$ вектор ${\displaystyle e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})}$. Тогда для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ выполнено ${\displaystyle ({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})}$ и ${\displaystyle \sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}}$,
  а также ${\displaystyle \hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\displaystyle {\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}}$).
• Ортогонал. системы функций: ${\displaystyle \cos(nx)}$ и ${\displaystyle \sin(nx)}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$), ${\displaystyle \mathrm e^{nx\,\mathrm i}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).

3.2  Геометрия в векторных пространствах над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (часть 1)

3.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы

• Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)>0{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)=-{\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)}$.
• Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}>0{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)=-{\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)}$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда ${\displaystyle U\cap U^{\perp }\!=\{0\}}$ и, если ${\displaystyle \dim U<\infty }$, то форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена (и, значит, ${\displaystyle V=U\oplus U^{\perp }}$).
• Критерий Сильвестра. Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$;
  для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle cm_i}$ ${\displaystyle i}$-й угловой минор матрицы ${\displaystyle \sigma _{e,e}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)}$, если и только если ${\displaystyle \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(cm_i>0\bigr)}$;
  (2) ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)}$, если и только если ${\displaystyle \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,cm_i>0\bigr)}$.
• Индексы инерции формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle \mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}}$ и ${\displaystyle \mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}}$.
• Закон инерции Сильвестра. Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|}$ (и, значит, число ${\displaystyle |\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|}$ не зависит от базиса ${\displaystyle e}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|}$ (и, значит, число ${\displaystyle |\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|}$ не зависит от базиса ${\displaystyle e}$);
  (3) ${\displaystyle \mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)}$.
• Теорема о классификации пространств с формой. Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V,\dim Y<\infty }$,
  ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle \varphi \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(Y)}$; тогда ${\displaystyle (V,\sigma )\cong (Y,\varphi )}$, если и только если ${\displaystyle \dim V=\dim Y}$, ${\displaystyle \mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)}$ и ${\displaystyle \mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)}$.
• Сигнатура формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle (\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))}$ (или ${\displaystyle \mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)}$). Классифик.-я кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).

3.2.2  Предгильбертовы пространства

• Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: ${\displaystyle (\,\mid\,)}$. Примеры: ${\displaystyle (v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w}$, ${\displaystyle (f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g}$.
• Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Норма: ${\displaystyle \|v\|=\!{\sqrt {(v\!\mid \!v)}}}$. Утверждение: ${\displaystyle v\neq 0\,\Rightarrow \,\|v\|>0}$ и ${\displaystyle \|c\,v\|=|c|\,\|v\|}$. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: ${\displaystyle \ell ^{2}}$.
• Теорема о свойствах нормы. Пусть ${\displaystyle V}$ — предгильбертово пространство; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle v,w\in V}$ выполнено ${\displaystyle |(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|}$ (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
  (2) для любых ${\displaystyle v,w\in V}$ выполнено ${\displaystyle \|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|}$ (это неравенство треугольника);
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (V)}$ и ${\displaystyle v\in V}$ выполнено ${\displaystyle v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i}$ и ${\displaystyle \|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2}$ (это равенство Парсеваля).
• Метрика: ${\displaystyle \mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|}$. Теорема об ортогональном проектировании. Расст.-е между вектором и подпр.-вом: ${\displaystyle \mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))}$.

  Теорема об ортогональном проектировании. Пусть ${\displaystyle V}$ — предгильбертово пространство, ${\displaystyle U\leq V}$ и ${\displaystyle \dim U<\infty }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle v\in V}$ и ${\displaystyle u\in U\!\setminus \!\{\mathrm {proj} _{U}(v)\}}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))<\mathrm{dist}(v,u)}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))=\min\{\mathrm{dist}(v,u)\mid u\in U\}}$);
  (2) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (U)}$ и ${\displaystyle v\in V}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j}$ и ${\displaystyle \|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2}$ (это неравенство Бесселя).

• Метод наименьших квадратов: замена системы ${\displaystyle a\cdot v=y}$, где ${\displaystyle a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)}$, ${\displaystyle \mathrm{rk}(a)=n}$ и ${\displaystyle y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X}$, на систему ${\displaystyle a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)}$.
• Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle v\ne0}$, ${\displaystyle w\ne0}$, ${\displaystyle U\ne\{0\}}$): ${\displaystyle \angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}}$ и ${\displaystyle \angle (v,U)=\angle (v,\mathrm {proj} _{U}(v))}$.
• Псевдоевклидово${\displaystyle \,/\,}$псевдоунитарное пр.-во сигнатуры ${\displaystyle (p,q)}$ — кон.-мерн. вект. пр.-во над ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \,/\,}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры ${\displaystyle (p,q)}$.

3.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы

3.3.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы

• Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: ${\displaystyle \mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$ и ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {SBi} (V)}$, или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$; тогда ${\displaystyle \,\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (a(v),a(v))=\sigma (v,v){\bigr )}\}}$.
• Ортогональная группа (${\displaystyle V}$ — в. пр. над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {SBi} (V)}$): ${\displaystyle \mathrm {O} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )}$. Унитарная группа (${\displaystyle V}$ — в. пр. над ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$): ${\displaystyle \mathrm {U} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )}$.
• Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
  (1) Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда
  ${\displaystyle a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}}$ и, если форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена, то условие "${\displaystyle \,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)}$" можно убрать.
  (2) Пусть ${\displaystyle V}$ — псевдоевклидово пространство сигнатуры ${\displaystyle (p,q)}$ и ${\displaystyle e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)}$; тогда ${\displaystyle (\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)}$.
  (2) Пусть ${\displaystyle V}$ — псевдоунитарное пространство сигнатуры ${\displaystyle (p,q)}$ и ${\displaystyle e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)}$; тогда ${\displaystyle (\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)}$.
• Матричные ортогонал. группы: ${\displaystyle \mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}}$, ${\displaystyle \mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)}$, ${\displaystyle \mathrm O(n)}$, ${\displaystyle \mathrm{SO}(n)}$.
• Матричные унитарные группы: ${\displaystyle \mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}}$, ${\displaystyle \mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)}$, ${\displaystyle \mathrm U(n)}$, ${\displaystyle \mathrm{SU}(n)}$.
• Примеры: ${\displaystyle \mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}}$, ${\displaystyle \mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}}$, ${\displaystyle \mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\-\overline b&\overline a\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a,b\in\mathbb C,\,|a|^2\!+|b|^2\!=1\bigr\}}$.
• Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: ${\displaystyle \mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}}$. Теорема об описании изометрий.

  Теорема об описании изометрий. Пусть ${\displaystyle V}$ — предгильбертово пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {R} }$; тогда
  (1) ${\displaystyle \{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)}$;
  (2) обозначая через ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle H}$ группу ${\displaystyle \,\mathrm{Isom}(V)}$ и ее подгруппы ${\displaystyle \{\bigl(v\mapsto v+v_0\bigr)\mid v_0\in V\}}$ и ${\displaystyle \{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}}$ соответственно, имеем
  следующие факты: ${\displaystyle F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}}$, ${\displaystyle G=F\circ H}$ и ${\displaystyle \forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)}$, а также ${\displaystyle F\cong V^+\!}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)}$).