Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 49: Строка 49:
 
<p><u>Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство<br>над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_a\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i></p>
 
<p><u>Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство<br>над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_a\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i></p>
 
<li>Алгебра с делением: <math>\forall\,a\in A\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\mathrm{lm}_a,\mathrm{rm}_a\!\in\mathrm{Bij}(A)\bigr)</math> и <math>A\ne\{0\}</math>. Примеры: <math>K</math>, <math>K(x)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры с делением <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math> и алгебра октонионов (октав) <math>\mathbb O</math>.
 
<li>Алгебра с делением: <math>\forall\,a\in A\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\mathrm{lm}_a,\mathrm{rm}_a\!\in\mathrm{Bij}(A)\bigr)</math> и <math>A\ne\{0\}</math>. Примеры: <math>K</math>, <math>K(x)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры с делением <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math> и алгебра октонионов (октав) <math>\mathbb O</math>.
<li>Теорема Фробениуса: пусть <math>A</math> — ассоц. <math>\mathbb R</math>-алгебра с делением и <math>\dim A<\infty</math>; тогда <math>A\cong\mathbb R\,\lor\,A\cong\mathbb C\,\lor\,A\cong\mathbb H</math> (без док.-ва, см. п. 2 в § 4 главы 4 в [4]).
+
<li>Теорема Фробениуса: пусть <math>A</math> — ассоц. <math>\mathbb R</math>-алгебра с делением и <math>\dim A<\infty</math>; тогда <math>A\cong\mathbb R\,\lor\,A\cong\mathbb C\,\lor\,A\cong\mathbb H</math> (без док.-ва; см. п. 2 в § 4 главы 4 в [4]).
 
<li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умножение в <math>K[M]</math>: свертка.</ul>
 
<li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умножение в <math>K[M]</math>: свертка.</ul>
  
 
<h5>2.4.2&nbsp; Алгебра полилинейных форм и алгебры многочленов</h5>
 
<h5>2.4.2&nbsp; Алгебра полилинейных форм и алгебры многочленов</h5>
<ul><li>Тензорное произведение полилинейных форм: <math>(\omega\otimes\omega')(v_1,\ldots,v_k,v_1',\ldots,v_{k'}')=\omega(v_1,\ldots,v_k)\,\omega'(v_1',\ldots,v_{k'}')</math>. Свойства тензорного произведения.
+
<ul><li>Тензорное произв.-е полилин. форм: <math>(\omega\otimes\omega')(v_1,\ldots,v_k,v_1',\ldots,v_{k'}')=\omega(v_1,\ldots,v_k)\,\omega'(v_1',\ldots,v_{k'}')</math>. Билинейность и внешняя ассоц.-сть операции <math>\otimes</math>.
 
<li>Базис в пространстве <math>\mathrm{Multi}_kV</math>: <math>\{e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\mid j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. Разложение формы по базису: <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega(e_{j_1},\ldots,e_{j_k})\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}</math>.
 
<li>Базис в пространстве <math>\mathrm{Multi}_kV</math>: <math>\{e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\mid j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. Разложение формы по базису: <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega(e_{j_1},\ldots,e_{j_k})\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}</math>.
 
<li>Обозначение: <math>\omega_{j_1,\ldots,j_k}\!=\omega(e_{j_1},\ldots,e_{j_k})</math>. Пример: <math>(\mathrm{vol}^e)_{j_1,\ldots,j_n}\!\!=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}</math>. Преобраз.-е при замене базиса: <math>\omega_{\tilde j_1,\ldots,\tilde j_k}\!=\!\!\!\sum_{1\le l_1,\ldots,l_k\le n}\!\!\!(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_k})^{l_k}\,\omega_{l_1,\ldots,l_k}</math>.
 
<li>Обозначение: <math>\omega_{j_1,\ldots,j_k}\!=\omega(e_{j_1},\ldots,e_{j_k})</math>. Пример: <math>(\mathrm{vol}^e)_{j_1,\ldots,j_n}\!\!=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}</math>. Преобраз.-е при замене базиса: <math>\omega_{\tilde j_1,\ldots,\tilde j_k}\!=\!\!\!\sum_{1\le l_1,\ldots,l_k\le n}\!\!\!(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_k})^{l_k}\,\omega_{l_1,\ldots,l_k}</math>.

Версия 17:00, 9 июля 2017

2  Линейная алгебра

2.3  Линейные операторы (часть 2)

2.3.1  Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора
  • Эвалюация — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором : .
  • Минимальный многочлен лин. оператора : , нормирован, ; .
  • Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) если , то (то есть -инвариантное подпространство);
    (2) если и делит , то ;
    (3) если , и многочлены попарно взаимно просты, то
    (и, значит, ).
  • Проектор (идемпотент): . Отражение: (здесь ).
  • Собственные число и вектор лин. операт. : . Спектр лин. операт. : . Лемма о спектре.

    Лемма о спектре. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем и ; тогда
    и, если , то "" можно заменить на "".

  • Характеристический многочлен матрицы : . Характеристический многочлен лин. оператора : . Корректность опред.-я.
  • След линейного оператора : . Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли.

    Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
    (1) (и, значит, );
    (2) ;
    (3) если (то есть — нильпотентный линейный оператор), то .

    Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .

  • Кратности: (алгебраич. кратность), . Теорема о минимальном многочлене.

    Теорема о минимальном многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) делит (и, значит, для любых выполнено );
    (2) .

2.3.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
  • Собственные подпространства: ; геометрическая кратность: . Лемма о собственных подпространствах.

    Лемма о собственных подпространствах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
    попарно различны; тогда
    (1) ;
    (2) если и — независимые множества, то — независимое множество;
    (3) если , то для любых выполнено .

  • Теорема о диагонализуемых линейных операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
    (у2) (то есть многочлен раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в кольце );
    (у3) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора );
    (у4) .
  • Обобщенные собственные подпростр.-ва: ; относительные геометрич. кратности: .
  • Жорданова клетка: ; если , то и .
  • Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и ; тогда
    (1) для любых выполнено и, если , то ;
    (2) для любых выполнено ;
    (3) и .
  • Корневые подпространства: . Нильпотентные части линейного оператора : .
  • Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено
    для любых линейных операторов в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
    (1) (то есть пространство раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора );
    (2) для любых выполнено (и, значит, — нильпотентный линейный оператор) и .
2.3.3  Относительные базисы, жорданова нормальная форма, приложения жордановой нормальной формы
  • — независимое мн.-во относит.-но : . — порождающее мн.-во относит.-но : .
  • Базис в относительно — независ. и порожд. подмн.-во в относительно . Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).

    Теорема 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
    (у1) — базис пространства относительно ;
    (у2) — независимое множество и (и, значит, если , то );
    (у3) для любого вектора существуют единственные такие и , что ;
    (у4) — максимальное независимое множество относительно ;
    (у5) — минимальное порождающее множество относительно .

    Теорема 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
    (2) из любого порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .

  • Теорема об относительно независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем и
    , а также , , и ; тогда
    (1) если — независимое подмножество в относит.-но , то — инъекция и — независимое подмножество в относит.-но ;
    (2) если , то .
  • Диаграммы Юнга. Жорданов блок: — прямая сумма жордановых клеток , где — длины строк диаграммы Юнга .
  • Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы — относительные геометрич. кратности . Корректность опред.-я.
  • Теорема о жордановой нормальной форме. Обозначение: . Утверждение: пусть и ; тогда .

    Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , и многочлен
    раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для любых линейных операторов
    в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что матрица
    прямая сумма жордановых блоков по всем .

  • Многочлен (ряд) от жордановой клетки: . Экспонента от лин. операт. : . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты.
    (1) Пусть — банахово пространство и ; тогда , а также и .
    (2) Пусть и ; тогда , а также и .

  • Однородная система линейных дифференциальных уравн.-й: (, ). Решение системы: , где .

2.4  Алгебры

2.4.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  • -Алгебра — вект. пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из .
  • Примеры: -алгебры , , , , , ; -алгебры , , , и с векторным умножением.
  • Структурные константы алгебры: . Утверждение: массив однозначно определяет умножение в алгебре .
  • Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Инъект. гомоморфизмы -алгебр: и .

    Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство
    над полем , получающееся из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм алгебр с .

  • Алгебра с делением: и . Примеры: , ; -алгебры с делением , и алгебра октонионов (октав) .
  • Теорема Фробениуса: пусть — ассоц. -алгебра с делением и ; тогда (без док.-ва; см. п. 2 в § 4 главы 4 в [4]).
  • Моноидная алгебра ( — моноид): ; общий вид эл.-та: (); умножение в : свертка.
2.4.2  Алгебра полилинейных форм и алгебры многочленов
  • Тензорное произв.-е полилин. форм: . Билинейность и внешняя ассоц.-сть операции .
  • Базис в пространстве : . Разложение формы по базису: .
  • Обозначение: . Пример: . Преобраз.-е при замене базиса: .
  • Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров) над : . Утверждение: — ассоциативная -алгебра с .
  • Алгебра многочленов от свободных переменных: . Одночлены: . Степень. Однородные многочлены.
  • Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) отображение, продолжающее по линейности частичное отображение , — изоморфизм алгебр с ;
    (2) для любых изоморфизм из пункта (1) отображает пространство однородных многочленов степени в пространство .
  • Алгебра многочленов от коммут. перем.: . Одночлены: (). Степень. Однор. многочлены.
  • Алгебра многочленов от антикоммут. перем.: .
2.4.3  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
  • -Алгебра Ли — -алгебра, умножение в которой антисимметрично () и удовлетворяет тождеству Якоби ().
  • Коммутатор в ассоциативной алгебре : . Алгебра : вект. простр.-во с операцией . Утверждение: алгебра — алгебра Ли.
  • Примеры: , , с векторным умножением — алгебра Ли, так как в алгебре Ли .
  • Матричные алгебры Ли: , , , , .
  • Утверждение: и (здесь или ), а также , , .
  • Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы -алгебр Ли: , и .

    Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и -алгебра Ли; обозначим через векторное пространство над полем , получающееся
    из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
    (2) отображение — гомоморфизм алгебр Ли.

  • Алгебра дифференцирований -алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
  • Пример: пусть — открытое подмножество в и ; тогда — дифференцирование алгебры .

2.5  Многообразия (часть 1)

2.5.1  Определения и конструкции, связанные с многообразиями
  • -Мерная система координат на топол. пр.-ве — гомеоморфизм между областями в и в ; отн.-е согласованности: — диффеоморфизм.
  • -Мерный атлас на — множество попарно согласованных -мерных систем координат на , области определения которых покрывают . Примеры.
  • -Мерное многообразие — хаусдорфово топол. пр.-во (со счетной базой) с максимальным -мерным атласом . Примеры: , области в , .
  • Обозн.-е: . Отобр.-е — гладкое в : существуют такие и , что отобр.-е — гладкое в .
  • Утверждение: гладкость отобр.-я не зависит от выбора систем координат. Множество гладких отображений между многообр.-ми и : .
  • Обозначения: — множество кривых, -алгебра функций.
  • Скорость в координатах (, , ): и .
  • Обозначения: и (тогда ). Лемма о замене координат.

    Лемма о замене координат. Пусть — многообразие, , , и ; тогда
    (1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
    (2) для любых выполнено .

2.5.2  Касательные пространства и кокасательные пространства
  • Отношение касания в точке : . Инвариантная скорость (): .
  • Касательное пр.-во в точке : . Базисные векторы, определ. системой координат : .
  • Теорема о касательном пространстве. Преобразования при замене координат на : и .

    Теорема о касательном пространстве. Пусть — многообразие, , и ; тогда
    (1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через столбец , имеем следующий факт:
    столбец не зависит от выбора кривой ;
    (2) отображение — биекция; определим на структуру вект. простр.-ва над так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом
    вект. простр.-в (то есть ); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат ;
    (3) множество — базис пространства ;
    (4) для любых выполнено (это формула разложения по базису в ).

  • Кокасательное пр.-во в точке : . Базисные ковекторы, определ. сист. коорд. : . Строка коорд. ковектора: .
  • Разложение по базису в : . Преобр.-я при замене координат: и .
  • Теорема о дифференциале функции. Пусть — многообразие, и ; тогда
    (1) для любых , выбирая такую кривую , что , и обозначая через число , имеем
    следующий факт: число не зависит от выбора кривой ;
    (2) для любых и выполнено ;
    (3) обозначая через отображение , имеем следующий факт: .
  • Дифференциал в координатах: и ; тогда .
  • Производная Ли функции вдоль вектора (): . Утверждение: и .
2.5.3  Векторные поля и ковекторные поля
  • Касательное и кокасательное расслоения: и . Структура многообр.-я на и ; отобр.-е проекции на : .
  • Векторные поля и ковекторные поля (-формы): и .
  • Пример: . Сложение и умножение на функцию в и . Действие -формы на векторное поле: .
  • Векторные и ковекторные поля в координатах: и . Преобр.-я при замене: и .
  • Тензорное расслоение типа : . Тензорные поля типа : .
  • Тенз. произвед.-е тенз. полей типа и . Действие тенз. поля типа на вект. полей: .
  • Тенз. поля типа в коорд.: . Преобр.-е при замене: .
  • Произв.-я Ли функции вдоль вект. поля: . Теорема об алгебре Ли векторных полей. Коммутатор в коорд.: .

    Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть — многообразие; тогда
    (1) для любых имеем следующий факт: — дифференцирование алгебры (то есть );
    (2) отображение — инъективный линейный оператор, и его образ — подалгебра алгебры Ли ;
    определим на векторном пространстве бинарную операцию так, чтобы этот инъективный линейный оператор стал гомоморфизмом
    алгебр Ли (то есть ); тогда — алгебра Ли относительно операции .