Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 17:00, 23 июня 2017

1  Основы алгебры

1.1  Множества, отображения, отношения

1.1.1  Множества

• Логические связки: ${\displaystyle \lnot }$ — отрицание («не»), ${\displaystyle \lor }$ — дизъюнкция («или»), ${\displaystyle \land }$ — конъюнкция («и»), ${\displaystyle \Rightarrow }$ — импликация («влечет»), ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ — эквивалентность.
• Лемма о логических связках. Пусть ${\displaystyle a,b,c}$ — высказывания; тогда
  (1) ${\displaystyle (a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)}$, ${\displaystyle a\lor b=b\lor a}$, ${\displaystyle (a\land b)\land c=a\land (b\land c)}$, ${\displaystyle a\land b=b\land a}$;
  (2) ${\displaystyle a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)}$, ${\displaystyle a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)}$;
  (3) ${\displaystyle \lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b}$, ${\displaystyle \lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b}$, ${\displaystyle (a\Rightarrow b)=\lnot a\lor b}$, ${\displaystyle (a\Rightarrow b)=(\lnot b\Rightarrow \lnot a)}$.
• Кванторы: ${\displaystyle \exists }$ — существование («существует»), ${\displaystyle \forall }$ — всеобщность («для любых»), ${\displaystyle \exists !}$ — существование и единственность («существует единственный»).
• Задание множества перечислением элементов: ${\displaystyle \{\ldots \}}$; ${\displaystyle \in }$ — принадлежность, ${\displaystyle \varnothing }$ — пустое множество, ${\displaystyle \subseteq }$ — включение, ${\displaystyle \subset }$ — строгое включение.
• Выделение подмножества: ${\displaystyle \{x\in X\mid p(x)\}}$. Операции над множествами: ${\displaystyle \cup }$ — объединение, ${\displaystyle \cap }$ — пересечение, ${\displaystyle \setminus }$ — разность, ${\displaystyle \times }$ — произведение.
• Лемма об операциях над множествами. Пусть ${\displaystyle X,Y,Z}$ — множества; тогда
  (1) ${\displaystyle (X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)}$, ${\displaystyle X\cup Y=Y\cup X}$, ${\displaystyle (X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)}$, ${\displaystyle X\cap Y=Y\cap X}$;
  (2) ${\displaystyle X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)}$, ${\displaystyle X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)}$;
  (3) если ${\displaystyle U}$ — множество и ${\displaystyle X,Y\subseteq U}$, то ${\displaystyle U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)}$ и ${\displaystyle U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)}$.
• Числовые множества: ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — натуральные, целые, рациональные, вещественные числа; ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}}$ и ${\displaystyle \mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$).
• ${\displaystyle |X|}$ — порядок (количество элементов) мн.-ва ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle |X|\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}}$), ${\displaystyle 2^{X}}$ — множество подмножеств мн.-ва ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle X^{n}}$ — ${\displaystyle n}$-я степень мн.-ва ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$).

1.1.2  Отображения

• Множество отображений, действующих из мн.-ва ${\displaystyle X}$ в мн.-во ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle \mathrm {Map} (X,Y)}$. Область отобр.-я ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Dom} \,f}$, кообласть отобр.-я ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Codom} \,f}$. Примеры.
• Образ множества ${\displaystyle A}$ относительно ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle A\subseteq X}$): ${\displaystyle f(A)}$, прообраз множества ${\displaystyle B}$ относительно ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle B\subseteq Y}$): ${\displaystyle f^{-1}(B)}$, образ отображения ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f=f(X)}$.
• Сужения отображения ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle f(A)\subseteq B\subseteq Y}$): ${\displaystyle f|_{A}}$ и ${\displaystyle f|_{A\to B}}$. Сокращенная запись образа: ${\displaystyle \{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}}$.
• Инъекции: ${\displaystyle \mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}}$. Сюръекции: ${\displaystyle \mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}}$.
• Биекции: ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)}$. Композиция отображений ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$. Тождественное отображение: ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$.
• Теорема о композиции отображений. Пусть ${\displaystyle X,Y}$ — множества и ${\displaystyle f\in \mathrm {Map} (X,Y)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{X}=f}$, ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ f=f}$ и, если ${\displaystyle Z,W}$ — множества, ${\displaystyle g\in \mathrm {Map} (Y,Z)}$ и ${\displaystyle h\in \mathrm {Map} (Z,W)}$, то ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$;
  (2) если ${\displaystyle X\neq \varnothing }$, то ${\displaystyle f}$ — инъекция, если и только если ${\displaystyle \exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}{\bigr )}}$;
  (3) ${\displaystyle f}$ — сюръекция, если и только если ${\displaystyle \exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}}$;
  (4) ${\displaystyle f}$ — биекция, если и только если ${\displaystyle \exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}\,\land \,f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}}$.
• Отображение ${\displaystyle f^{-1}}$, обратное к отображению ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle f^{-1}\!\circ f=\mathrm{id}_X}$ и ${\displaystyle f\circ f^{-1}\!=\mathrm{id}_Y}$. Пример: взаимно обратные биекции ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R_{>0}\!\\x&\mapsto\mathrm e^x\end{align}\!\biggr)}$ и ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathbb R\\x&\mapsto\ln x\end{align}\!\biggr)}$.

1.1.3  Отношения

• Множество отношений между множествами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle \mathrm {Rel} (X,Y)}$. Область отношения ${\displaystyle \Delta }$: ${\displaystyle \mathrm {Dom} \,\Delta }$, кообласть отношения ${\displaystyle \Delta }$: ${\displaystyle \mathrm {Codom} \,\Delta }$. Примеры.
• Отношения эквивалентности: ${\displaystyle \mathrm {EquivRel} (X)=\{{\sim }\in \mathrm {Rel} (X,X)\mid \forall \,x,y,z\in X\;{\bigl (}x\sim x\,\land \,(x\sim y\,\Rightarrow \,y\sim x)\,\land \,(x\sim y\,\land \,y\sim z\,\Rightarrow \,x\sim z){\bigr )}\}}$.
• Класс эквивалентности: ${\displaystyle \mathrm {cl} _{\sim }\!(x)=\{{\breve {x}}\in X\mid x\sim {\breve {x}}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle x\sim {\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)=\mathrm {cl} _{\sim }\!({\breve {x}})}$. Фактормножество: ${\displaystyle X/{\sim }=\{\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)\mid x\in X\}}$.
• Разбиения: ${\displaystyle \mathrm {Part} (X)=\{{\mathcal {P}}\subseteq 2^{X}\!\setminus \!\{\varnothing \}\mid \bigcup _{A\in {\mathcal {P}}}\!A=X\;\land \;\forall \,A,B\in {\mathcal {P}}\;{\bigl (}A\neq B\,\Rightarrow \,A\cap B=\varnothing {\bigr )}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle X/{\sim }\in \mathrm {Part} (X)}$. Трансверсали.
• Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть ${\displaystyle X}$ — множество; тогда отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {EquivRel} (X)&\to \mathrm {Part} (X)\\\sim &\mapsto X/{\sim }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — биекция.
• Отношение ${\displaystyle {\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}}$: ${\displaystyle x\;{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}\;{\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,f(x)=f({\breve {x}})}$. Слои отображения ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}}$ (${\displaystyle =X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}}$). Факторотображение ${\displaystyle {\Biggl (}\!\!{\begin{aligned}X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}&\to \mathrm {Im} \,f\\\mathrm {cl} \,_{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}(x)&\mapsto f(x)\end{aligned}}{\Biggr )}}$ — биекция.
• Утверждение: ${\displaystyle \sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!\!|f^{-1}(y)|=|X|}$. Принцип Дирихле. Пусть ${\displaystyle X,Y}$ — множества и ${\displaystyle |X|=|Y|<\infty }$; тогда ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)}$.

1.2  Группы (часть 1)

1.2.1  Множества с операцией

• Внутренняя ${\displaystyle n}$-арная операция на мн.-ве ${\displaystyle S}$ — отображение, действующее из ${\displaystyle S^{n}}$ в ${\displaystyle S}$ (нульарная операция на ${\displaystyle S}$ — выделенный элемент множества ${\displaystyle S}$).
• Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: ${\displaystyle \mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}}$.
• Изоморфизмы: ${\displaystyle \mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)}$. Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: ${\displaystyle \mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)}$. Автоморфизмы: ${\displaystyle \mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)}$.
• Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle S,V,Y}$ — множества с ${\displaystyle n}$-арной операцией; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (S,V)}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$ выполнено ${\displaystyle g\circ f\in \mathrm {Hom} (S,Y)}$;
  (2) для любых ${\displaystyle f\in \mathrm {Iso} (S,V)}$ выполнено ${\displaystyle f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)}$.
• Обозначение по Минковскому: ${\displaystyle o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}}$. Примеры: ${\displaystyle \mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}}$, ${\displaystyle \mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} }$.
• Инфиксная запись бинарн. опер.-й. Ассоциативность: ${\displaystyle \forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}}$. Коммутативность (абелевость): ${\displaystyle \forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}}$.
• Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Примеры полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.

  Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть ${\displaystyle S}$ — полугруппа, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$; тогда значение выражения ${\displaystyle s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}}$ не зависит от
  расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

1.2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)

• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
• Примеры: числовые моноиды, моноиды функций ${\displaystyle \mathrm {Func} (X,M)}$, моноиды слов ${\displaystyle \mathrm {W} (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ и ${\displaystyle \mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}}$, моноиды отображений ${\displaystyle \mathrm {Map} (X)}$.
• Обратимые элементы: ${\displaystyle M^{\times }\!=\{m\in M\mid \exists \,m'\in M\;{\bigl (}m'\,m=m\,m'=1{\bigr )}\}}$. Единственность обратного элемента. Утверждение: ${\displaystyle M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }}$.
• Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа ${\displaystyle M^{\times }}$ (${\displaystyle M}$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: ${\displaystyle G\cong J}$.
• Примеры: числовые группы, группы остатков, группы функций ${\displaystyle \mathrm {Func} (X,G)}$, свободные группы ${\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},\ldots ,x_{n})}$, группы биекций ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X)}$ (${\displaystyle =\mathrm{Map}(X)^\times\!}$).
• Мультипликативные обозначения в группе ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle g\,h}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle g^{-1}}$ и ${\displaystyle g^{n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$). Аддитивные обозначения в абелевой группе ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle a+b}$, ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle -a}$ и ${\displaystyle n\,a}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$).
• Симметрические группы: ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}=\mathrm {Bij} (\{1,\ldots ,n\})}$. Запись перестановки в виде послед.-сти значений, цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.

  Лемма о циклах. Пусть ${\displaystyle l,m,n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}}$, числа ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k}$ попарно различны и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$; тогда
  ${\displaystyle (i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})}$, а также ${\displaystyle u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))}$.

• Группа изометрий пр.-ва ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$: ${\displaystyle \mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\{f\in\mathrm{Bij}(\mathbb R^n)\mid\forall\,v,v'\in\mathbb R^n\,\bigl(\|f(v)-f(v')\|=\|v-v'\|\bigr)\}}$ (${\displaystyle \|(v^1,\ldots,v^n)\|=\!\sqrt{(v^1)^2+\ldots+(v^n)^2}}$).

1.2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы

• Подгруппа: ${\displaystyle H\leq G\,\Leftrightarrow \,H\cdot H\subseteq H\,\land \,1\in H\,\land \,H^{-1}\!\subseteq H}$. Подгруппа, порожденная мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle }$ — наименьшая подгруппа, содержащая ${\displaystyle D}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\!\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}}$, а также ${\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}}$. Пример: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}\!=\langle 1\rangle =\langle -1\rangle }$.
• Отношения ${\displaystyle {\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}}$ и ${\displaystyle {\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}}$: ${\displaystyle g\,{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H}$ (${\displaystyle \Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H}$) и ${\displaystyle g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\,{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H}$ (${\displaystyle \Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}}$). Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {cl} \!_{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\!(g)=gH}$ и ${\displaystyle \mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\!\!(g)=Hg}$.
• Множества классов смежности: ${\displaystyle G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}}$ и ${\displaystyle H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}}$. Теорема Лагранжа. Индекс: ${\displaystyle |G:H|=|G/H|}$.

  Теорема Лагранжа. Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, ${\displaystyle |G|<\infty }$ и ${\displaystyle H\leq G}$; тогда ${\displaystyle |G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|}$ (и, значит, ${\displaystyle |H|}$ делит ${\displaystyle |G|}$).

• Порядок элемента: ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}}$ (${\displaystyle \mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$). Утверждение: пусть ${\displaystyle n=\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} }$; тогда ${\displaystyle \{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z} }$.
• Лемма о порядке элемента. Пусть ${\displaystyle G}$ — группа и ${\displaystyle g\in G}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |}$ и, если ${\displaystyle |G|<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$ делит ${\displaystyle |G|}$ и ${\displaystyle g^{|G|}\!=1}$.
• Теорема об обратимых остатках.
  (1) Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle a\in(\mathbb Z/n)^+}$; тогда ${\displaystyle \mathrm{ord}(a)=\frac n{\gcd(a,n)}}$.
  (2) Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$; тогда ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n)^{\times }\!=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \gcd(a,n)=1\}}$ (в частности, если ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, то ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{\times }\!=(\mathbb {Z} /p)\!\setminus \!\{0\}}$).
  (3) Пусть ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle p}$ не делит ${\displaystyle a}$; тогда ${\displaystyle a^{p-1}\!\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)}$ (это малая теорема Ферма).
• Циклическая группа: ${\displaystyle \exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}}$. Примеры: ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n)^{+}}$ для любых ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n)^{\times }}$ для некоторых ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Теорема о циклических группах.

  Теорема о циклических группах. Пусть ${\displaystyle G}$ — циклическая группа и ${\displaystyle n=|G|}$; тогда, если ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, то ${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}}$, и, если ${\displaystyle n=\infty }$, то ${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} ^{+}}$.

1.2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

• Нормальная подгруппа: ${\displaystyle H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}}$. Пример: ${\displaystyle |G:H|=2\,\Rightarrow \,H\trianglelefteq G}$.
• Автоморфизм сопряжения при помощи элемента ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\,g^{-1}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Отношение сопряженности: ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle {\breve {x}}}$ сопряжены${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle \exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}}$.
• Нормальная подгруппа, порожденная множеством ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle (T)}$ — наименьшая нормальная подгруппа, содержащая ${\displaystyle T}$. Утверждение: ${\displaystyle (T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }}$.
• Ядро и образ гомоморфизма ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f\trianglelefteq G}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,f\leq J}$. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

  Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle G,J}$ — группы и ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (G,J)}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle j\in J}$ и ${\displaystyle g_{0}\in f^{-1}(j)}$ выполнено ${\displaystyle f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f}$;
  (2) ${\displaystyle f}$ — инъекция, если и только если ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}}$.

• Факторгруппа: ${\displaystyle G/H}$ с фактороперациями (${\displaystyle H\trianglelefteq G}$). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle G,J}$ — группы и ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (G,J)}$; тогда ${\displaystyle G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f}$.

• Прямое произведение групп: ${\displaystyle F\times H}$ с покомпонентными операциями. Утверждение: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизмы групп.
• Теорема о прямом произведении. Пусть ${\displaystyle G}$ — группа и ${\displaystyle F,H\leq G}$; обозначим через ${\displaystyle \mathrm {mult} }$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {mult} \in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}}$, ${\displaystyle \mathrm {mult} ^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} =FH}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {mult} \in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}}$;
  (3) если ${\displaystyle |G|<\infty }$, то в пункте (2) условие "${\displaystyle G=FH\!}$" можно заменить на условие "${\displaystyle \,|G|=|F|\,|H|}$".

1.3  Кольца (часть 1)

1.3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами

• Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
• Примеры: числовые кольца, кольца функций. Аддитивная и мультипликативная группы кольца ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle R^{+}}$ и ${\displaystyle R^{\times }}$. Характеристика кольца ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle \mathrm {char} \,R}$.
• Подкольцо: ${\displaystyle S\leq R\,\Leftrightarrow \,S+S\subseteq S\,\land \,0\in S\,\land \,-S\subseteq S\,\land \,S\cdot S\subseteq S\,\land \,1\in S}$. Подкольцо, порожд. мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle }$. Кольца вида ${\displaystyle S[r_{1},\ldots ,r_{n}]}$.
• Идеал: ${\displaystyle I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow \,I+I\subseteq I\,\land \,0\in I\,\land \,R\cdot I\cdot R\subseteq I}$. Идеал, порожд. мн.-вом ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle (T)}$. Идеал, порожд. элементом ${\displaystyle r}$ коммут. кольца ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle (r)=rR}$.
• Ядро и образ гомоморфизма ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(0)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f\trianglelefteq R}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,f\leq U}$. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

  Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle R,U}$ — кольца и ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (R,U)}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle u\in U}$ и ${\displaystyle r_{0}\in f^{-1}(u)}$ выполнено ${\displaystyle f^{-1}(u)=r_{0}+\mathrm {Ker} \,f}$;
  (2) ${\displaystyle f}$ — инъекция, если и только если ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,f=\{0\}}$.

• Факторкольцо: ${\displaystyle R/I}$ с фактороперациями (${\displaystyle I\trianglelefteq R}$). Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец: ${\displaystyle Q\times S}$ с покомпонентными операциями.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle R,U}$ — кольца и ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (R,U)}$; тогда ${\displaystyle R/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f}$.

• Кольцо без делителей нуля: ${\displaystyle (R\!\setminus \!\{0\})\,(R\!\setminus \!\{0\})\subseteq R\!\setminus \!\{0\}}$ и ${\displaystyle R\neq \{0\}}$. Область целостности — коммут. кольцо без делит. нуля. Тело: ${\displaystyle K^{\times }\!=K\!\setminus \!\{0\}}$.
• Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p}$, где ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$. Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.

1.3.2  Кольца многочленов

• Кольцо многочленов от переменной ${\displaystyle x}$ над кольцом ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle R[x]=\mathrm{FinFunc}(\mathrm W(x),R)}$; отождествл.-е ${\displaystyle \delta_{x^i}}$ и ${\displaystyle x^i}$; общий вид многочлена: ${\displaystyle f_nx^n+\ldots+f_0}$.
• Умножение в ${\displaystyle R[x]}$. Степень и старший коэфф.-т. Утверждение: ${\displaystyle R[x]^{\times }\!=R^{\times }}$. Делимость в ${\displaystyle R[x]}$ (${\displaystyle R}$ — комм. кольцо): ${\displaystyle g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)}$.
• Неприводимые многочлены в ${\displaystyle R[x]}$: ${\displaystyle \mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\!\}}$. Пример: ${\displaystyle \{f\in K[x]\mid\deg f=1\}\subseteq\mathrm{Irr}(K[x])}$ (${\displaystyle K}$ — поле).
• Лемма о делении с остатком. Операции ${\displaystyle \mathrm {div} }$ и ${\displaystyle \mathrm {mod} }$ (старший коэфф.-т многочл. ${\displaystyle f}$ обратим): ${\displaystyle g=(g\;\mathrm{div}\;f)\,f+(g\;\mathrm{mod}\;f)}$ и ${\displaystyle \deg\,(g\;\mathrm{mod}\;f)<\deg f}$.

  Лемма о делении с остатком. Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо, ${\displaystyle f,g\in R[x]}$ и старший коэффициент многочлена ${\displaystyle f}$ обратим; тогда
  существуют единственные такие многочлены ${\displaystyle q,t\in R[x]}$, что ${\displaystyle g=q\,f+t}$ и ${\displaystyle \deg t<\deg f}$.

• Кольцо остатков по модулю многочлена ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}}$): ${\displaystyle K[x]/f=\{a\in K[x]\mid \deg a<\deg f\}}$. Утверждение: ${\displaystyle K[x]/(f)\cong K[x]/f}$.
• Сопоставление многочлену полиномиальной функции ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {pf} _{A}\colon R[x]&\to \mathrm {Func} (A,A)\\f_{n}x^{n}+\ldots +f_{0}&\mapsto {\bigl (}a\mapsto f_{n}a^{n}+\ldots +f_{0}{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм (${\displaystyle A}$ — комм. кольцо, ${\displaystyle R\leq A}$).
• Обозначение: ${\displaystyle f(a)={\bigl (}\mathrm {pf} _{A}(f){\bigr )}(a)}$. Корни многочлена ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \{r\in R\mid f(r)=0\}}$. Теорема Безу. Теорема о корнях многочлена и следствие из нее.

  Теорема Безу. Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо, ${\displaystyle f\in R[x]}$ и ${\displaystyle r\in R}$; тогда ${\displaystyle f\;\mathrm {mod} \;(x-r)=f(r)}$ (и, значит, ${\displaystyle (x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0}$).

  Теорема о корнях многочлена. Пусть ${\displaystyle R}$ — область целостности и ${\displaystyle f\in R[x]\!\setminus \!\{0\}}$; тогда ${\displaystyle |\{r\in R\mid f(r)=0\}|\leq \deg f}$.

  Следствие из теоремы о корнях многочлена. Пусть ${\displaystyle R}$ — область целостности, ${\displaystyle |R|=\infty }$, ${\displaystyle f\in R[x]}$ и ${\displaystyle \forall \,r\in R\;{\bigl (}f(r)=0{\bigr )}}$; тогда ${\displaystyle f=0}$.