Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
 
<h2>2&nbsp; Линейная алгебра</h2>
 
<h2>2&nbsp; Линейная алгебра</h2>
<table cellpadding="6" cellspacing="0">
 
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-<br>научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-<br>щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического<br>анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-<br>нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство<br>приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.<br>Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности<br>малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы<br>является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной<br>алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной<br>двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-<br>лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.</td></tr><tr align="right"><td><i>А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия</i></td></tr></table></td></tr>
 
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса,<br>особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики.<br>Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и<br>до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести<br>квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли<br>правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться<br>игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения)<br>также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной.<br>То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за<br>листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб-<br>разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю-<br>щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго<br>пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст-<br>венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело-<br>век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-)</td></tr><tr align="right"><td><i>По мотивам комментария в Живом Журнале ([http://avva.livejournal.com/2932837.html avva.livejournal.com/2932837.html])</i></td></tr></table></td></tr></table><br>
 
  
[[Алгебра_phys_1_февраль–март_2016|<font size="3"><b><u>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</u></b></font>]]
+
<h3>2.1&nbsp; Матрицы, базисы, координаты</h3>
 +
<h5>2.1.1&nbsp; Пространства матриц, столбцов, строк</h5>
 +
<ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>K_n=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.
 +
<li>Матричные единицы: <math>(\mathrm{se}_i^j)^k_l=\delta_i^k\delta^j_l</math>. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{\mathrm{se}_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
 +
<li>Стандартный базис пространства <math>K^p</math>: <math>\{\mathrm{se}_i\mid i\in\{1,\ldots,p\}\}</math>. Стандартный базис пространства <math>K_n</math>: <math>\{\mathrm{se}^j\mid j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
 +
<li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>.
 +
<li>Строки матрицы: <math>a^i=\mathrm{se}^i\cdot a</math>. Столбцы матрицы: <math>a_j=a\cdot\mathrm{se}_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i=b^i\cdot a=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j</math> и <math>(b\cdot a)_k=b\cdot a_k=\sum_{j=1}^pa^j_k\,b_j</math></i>.
 +
<li>След матрицы: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n,p,K)</math>; тогда <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math></i>.
 +
<li>Транспонирование матрицы: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,K)</math>; тогда <math>(b\cdot a)^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot b^\mathtt T</math></i>.</ul>
  
<font size="3"><b>Содержание первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>
+
<h5>2.1.2&nbsp; Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</h5>
<h5>2.1&nbsp; Матрицы, базисы, координаты</h5>
+
<ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}\!\biggr)</math>.
<ul><li>2.1.1&nbsp; Пространства матриц, столбцов, строк
+
<li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <i><math>a(e)=h\cdot a_e^h</math> и <math>\forall\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math></i>. Утверждение: <math>(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>.
<li>2.1.2&nbsp; Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
+
<li>Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Mat}(p,n,K)\\a&\mapsto a_e^h\end{align}\!\biggr)</math>. Изоморфизм колец и векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}\!\biggr)</math>.</ul>
<li>2.1.3&nbsp; Преобразования координат при замене базиса
+
<li>2.1.4&nbsp; Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</ul>
+
<h5>2.2&nbsp; Линейные операторы (часть 1)</h5>
+
<ul><li>2.2.1&nbsp; Ядро и образ линейного оператора
+
<li>2.2.2&nbsp; Ранг линейного оператора
+
<li>2.2.3&nbsp; Системы линейных уравнений</ul>
+
<h5>2.3&nbsp; Конструкции над векторными пространствами</h5>
+
<ul><li>2.3.1&nbsp; Факторпространства и прямая сумма векторных пространств
+
<li>2.3.2&nbsp; Двойственное пространство</ul>
+
<h5>2.4&nbsp; Полилинейные отображения, формы объема, определитель</h5>
+
<ul><li>2.4.1&nbsp; Отступление о симметрических группах
+
<li>2.4.2&nbsp; Полилинейные отображения и формы объема
+
<li>2.4.3&nbsp; Определитель линейного оператора
+
<li>2.4.4&nbsp; Миноры матрицы и присоединенная матрица</ul><br>
+
  
<font size="3"><b><u>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</u></b></font>
+
<h5>2.1.3&nbsp; Преобразования координат при замене базиса</h5>
 +
<ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <math>\forall\,e,\tilde e,\tilde{\tilde e}\in\mathrm{OB}(V)\;\bigl(\mathrm c_\tilde e^\tilde{\tilde e}\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde{\tilde e}\,\land\,\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm c_\tilde e^e)^{-1}\bigr)</math>.
 +
<li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>.
 +
<li>Преобразование координат гомоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись (если <math>a</math> — эндоморфизм): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>
 +
 
 +
<h5>2.1.4&nbsp; Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</h5>
 +
<ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
 +
<li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathrm{se}_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\mathrm{se}_i^i)\cdot a</math>.
 +
<li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_j^j)</math>.
 +
<li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
 +
<p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p>
 +
<li>Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul>
 +
 
 +
<h3>2.2&nbsp; Линейные операторы (часть 1)</h3>
 +
<h5>2.2.1&nbsp; Ядро и образ линейного оператора</h5>
 +
<ul><li>Отступление о свойствах базиса. Утверждение: <math>V\cong Y\,\Leftrightarrow\,\dim V=\dim Y</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U=\dim V<\infty</math>; тогда <math>U=V</math></i>.
 +
<li>Ядро линейного оператора: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)\le V</math>. Образ линейного оператора: <math>\mathrm{Im}\,a\le Y</math>. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
 +
<p><u>Лемма о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math>, <math>v_0\in a^{-1}(y)</math>; тогда <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>.</i></p>
 +
<p><u>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p>
 +
<li><u>Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда выполнено <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i>
 +
<li><u>Принцип Дирихле для линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>;<br>тогда выполнено <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Iso}(V,Y)</math>.</i></ul>
 +
 
 +
<h5>2.2.2&nbsp; Ранг линейного оператора</h5>
 +
<ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>.
 +
<li>Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)\le\min\{\dim V,\dim Y\}</math>. Утверждение: <i><math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math> и <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>.
 +
<li><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g\cdot a\cdot g')=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g\cdot a\cdot g'=\mathrm{se}_1^1+\mathrm{se}_2^2+\ldots+\mathrm{se}_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> и <math>\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).</i></ul>
 +
 
 +
<h5>2.2.3&nbsp; Системы линейных уравнений</h5>
 +
<ul><li>Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: <i>пусть <math>a\cdot v_0=y</math>; тогда <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=y\}=v_0+\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math></i>.
 +
<li><u>Теорема Кронекера–Капелли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда <math>\exists\,v\in K^n\;\bigl(a\cdot v=y\bigr)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}((a\;\,y))</math>.</i>
 +
<li>Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math>.</ul>
 +
 
 +
<h3>2.3&nbsp; Конструкции над векторными пространствами</h3>
 +
<h5>2.3.1&nbsp; Факторпространства и прямая сумма векторных пространств</h5>
 +
<ul><li>Факторпространство: <math>V/U</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>A</math> — базис в <math>U</math>, <math>B</math> — базис в <math>V</math>, <math>A\subseteq B</math>; тогда <math>\{b+U\mid b\in B\setminus A\}</math> — базис в <math>V/U</math></i>.
 +
<li><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i>
 +
<li>Прямая сумма векторных пространств: <math>U\oplus W</math>. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
 +
<p><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U,W\le V</math>;<br>обозначим через <math>\mathrm{add}_{U,W}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Hom}(U\oplus W,V)</math>, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{add}_{U,W}\cong U\cap W</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{add}_{U,W}=U+W</math>;<br>(2) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Iso}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,v\in V\;\exists!\,u\in U,\,w\in W\;\bigl(v=u+w\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;U+W=V</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Iso}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;\dim U+\dim W=\dim V</math>;<br>(4) если <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math> (это формула Грассмана).</i></p>
 +
<li>Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: <math>a(U)\le U</math>. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
 +
<li>Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.</ul>
 +
 
 +
<h5>2.3.2&nbsp; Двойственное пространство</h5>
 +
<ul><li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j(v)=(v^e)^j</math>. Утверждение: <math>\lambda=\!\sum_{j=1}^{\dim V}\!\lambda(e_j)e^j</math>. Столбец <math>e^*</math>.
 +
<li>Строка координат ковектора. Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>, <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>.
 +
<li>Отождествление пространств <math>V</math> и <math>V^{**}</math> в случае конечномерного пространства <math>V</math> при помощи изоморфизма <math>\,v\mapsto\!\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K\\\lambda&\mapsto\lambda(v)\end{align}\!\biggr)</math>.
 +
<li>Сводная таблица о координатах. (В таблице <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>.)</ul>
 +
<p><table border cellpadding="3" cellspacing="0">
 +
<tr><th>Инвариантный объект</th><th>Координаты<br>относительно базиса</th><th>Преобразование координат<br>при замене базиса</th><th>Пример использования<br>в геометрии и физике</th></tr>
 +
<tr align="center"><td>вектор <math>v</math> —<br>элемент пространства <math>V</math><br>(тензор типа <math>(1,0)</math> над <math>V</math>)</td>
 +
<td><math>\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
 +
<td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math></td></tr>
 +
<tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math></td></tr>
 +
<tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td>
 +
<td>скорость в точке<br>гладкого пути<br>на многообразии</td></tr>
 +
<tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td>
 +
<td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
 +
<td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
 +
<tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr>
 +
<tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math></td></tr></table></td>
 +
<td>дифференциал в точке<br>гладкой функции (скалярного поля)<br>на многообразии</td></tr>
 +
<tr align="center"><td>эндоморфизм <math>a</math> —<br>элемент пространства <math>\mathrm{End}(V)</math><br>(тензор типа <math>(1,1)</math> над <math>V</math>)</td>
 +
<td><math>\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм колец<br>и векторных пространств)</td>
 +
<td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
 +
<tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k\Bigr)</math></td></tr></table></td>
 +
<td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table></p>
 +
 
 +
<h3>2.4&nbsp; Полилинейные отображения, формы объема, определитель</h3>
 +
<h5>2.4.1&nbsp; Отступление о симметрических группах</h5>
 +
<ul><li>Симметрическая группа: <math>\mathrm S_n=\mathrm S(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
 +
<li>Утверждение: <math>(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)=(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)</math>. Утверждение: <math>u\circ(i_1\;\ldots\;i_l)\circ u^{-1}=(u(i_1)\;\ldots\;u(i_l))</math>.
 +
<li>Транспозиции <math>\{(i\;\,j)\mid i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i<j\}</math> и фундаментальные транспозиции <math>\{(i\;\,i+1)\mid i\in\{1,\ldots,n-1\}\}</math>. Число циклов <math>\kappa(u)</math>.
 +
<li><u>Лемма об умножении на транспозицию.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N\!\setminus\!\{1\}</math>, <math>u\in\mathrm S_n</math>, <math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i<j</math>; тогда<br>(1) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат одному циклу в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)+1</math>;<br>(2) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат разным циклам в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)-1</math>.</i>
 +
<li><u>Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>u\in\mathrm S_n</math>; обозначим через <math>l</math> число <math>n-\kappa(u)</math>; тогда<br>(1) существуют такие транспозиции <math>u_1,\ldots,u_l\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_l</math>;<br>(2) для любых <math>t\in\mathbb N_0</math> из существования таких транспозиций <math>u_1,\ldots,u_t\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_t</math>, следует, что <math>t\ge l</math> и <math>t\equiv l\;(\mathrm{mod}\;2)</math>.</i>
 +
<li>Знак перестановки: <math>\mathrm{sgn}(u)=(-1)^{n-\kappa(u)}</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{sgn}</math> — гомоморфизм групп</i>. Знакопеременная группа: <math>\mathrm A_n=\{u\in\mathrm S_n\!\mid\mathrm{sgn}(u)=1\}\trianglelefteq\mathrm S_n</math>.</ul>
 +
 
 +
<h5>2.4.2&nbsp; Полилинейные отображения и формы объема</h5>
 +
<ul><li>Пространства полилинейных отображений <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math>, <math>\mathrm{Multi}_k(V,Y)</math> и полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,K)</math>, <math>\mathrm{Multi}_kV</math>.
 +
<li>Пространства билинейных отображений <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,Y)</math>, <math>\mathrm{Bi}(V,Y)</math> и билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,K)</math>, <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры полилинейных форм.
 +
<li>Пространство симметричных полилинейных форм <math>\mathrm{SMulti}_kV</math>. Пространство антисимметричных полилинейных форм <math>\mathrm{AMulti}_kV</math>.
 +
<li><u>Лемма об антисимметричных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\mathrm{Multi}_kV</math>; тогда<br>следующие условия эквивалентны (если <math>\mathrm{char}\,K=2</math>, то исключаются импликации (2)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1) и (3)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1)):<br>(1) <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>;<br>(2) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и таких <math>u\in\mathrm S_k</math>, что <math>u</math> — транспозиция, выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=-\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=\mathrm{sgn}(u)\,\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>.</i>
 +
<li>Пространство форм объема <math>\mathrm{AMulti}_nV</math> (<math>n=\dim V</math>). Форма объема, связанная с базисом: <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,(v_1^e)^{u(1)}\!\ldots(v_n^e)^{u(n)}</math>.
 +
<li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{AMulti}_nV</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul>
 +
 
 +
<h5>2.4.3&nbsp; Определитель линейного оператора</h5>
 +
<ul><li>Определитель линейного оператора: <math>\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))=\det a\cdot\omega(v_1,\ldots,v_n)</math>, где <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV\!\setminus\!\{0\}</math>. Корректность определения.
 +
<li><u>Теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math> (напоминание: <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\det(a\circ b)=\det a\cdot\det b</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{GL}(V)&\to K^\times\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является гомоморфизмом групп).</i>
 +
<li>Определитель матрицы: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\ldots a^{u(n)}_n</math>. Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)</math></i>.
 +
<li><u>Лемма об определителе оператора и определителе матрицы.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>.</i>
 +
<li>Утверждение: <i><math>\det a=\det a^\mathtt T</math> и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков</i>.
 +
<li>Специальные линейные группы: <math>\mathrm{SL}(V)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(V)</math> и <math>\mathrm{SL}(n,K)=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,K)</math>.</ul>
 +
 
 +
<h5>2.4.4&nbsp; Миноры матрицы и присоединенная матрица</h5>
 +
<ul><li>Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^i_j=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнительный минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(j,i)</math><math>\bigr)</math>.
 +
<li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,i,k\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k\Bigr)</math> и <math>\forall\,j,l\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j\Bigr)</math> (в частности,<br>при <math>i=k</math> имеем <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_i=\det a\Bigr)</math> и при <math>j=l</math> имеем <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^j_i\,a^i_j=\det a\Bigr)</math>;<br>это формулы разложения определителя матрицы <math>a</math> по <math>i</math>-й строке матрицы <math>a</math> и по <math>j</math>-му столбцу матрицы <math>a</math> соответственно);<br>(2) <math>a\cdot\mathrm{adj}(a)=\mathrm{adj}(a)\cdot a=\det a\cdot\mathrm{id_n}</math> и, если <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, то <math>a^{-1}=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)</math>.</i>
 +
<li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac{\det\!\bigl(a_1\;\ldots\;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots\;a_n\bigr)}{\det a}</math>.</i>
 +
<li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел<br><math>m\in\mathbb N_0</math>, что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>m\times m</math>, что <math>\det a'\ne0</math> (то есть <math>a'\in\mathrm{GL}(m,K)</math>).</i></ul>
  
 
<h3>2.5&nbsp; Линейные операторы (часть 2)</h3>
 
<h3>2.5&nbsp; Линейные операторы (часть 2)</h3>
Строка 73: Строка 159:
 
<h5>2.6.3&nbsp; Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике</h5>
 
<h5>2.6.3&nbsp; Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике</h5>
 
<ul><li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>f(a)=\mathrm c_e^{\mathrm{se}}\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_{\mathrm{se}}^e</math></i>. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
 
<ul><li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>f(a)=\mathrm c_e^{\mathrm{se}}\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_{\mathrm{se}}^e</math></i>. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
<li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Пример вычисления экспоненты: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&\varphi\\-\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
+
<li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Пример вычисления экспоненты: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\varphi\\\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
 
<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых таких <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math>, что <math>a\circ b=b\circ a</math>, выполнено <math>\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math>;<br>(2) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>, а также <math>\det\mathrm e^a\!=\mathrm e^{\mathrm{tr}\,a}</math>.</i></p>
 
<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых таких <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math>, что <math>a\circ b=b\circ a</math>, выполнено <math>\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math>;<br>(2) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>, а также <math>\det\mathrm e^a\!=\mathrm e^{\mathrm{tr}\,a}</math>.</i></p>
 
<li>Однородная система линейных дифференциальных уравнений: <math>y'=a\cdot y</math> (<math>y\in\mathrm C^1\!(\mathbb R,\mathbb C^n)</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>). Решение: <math>y(x)=\mathrm e^{xa}\!\cdot v</math> (<math>v\in\mathbb C^n</math>).
 
<li>Однородная система линейных дифференциальных уравнений: <math>y'=a\cdot y</math> (<math>y\in\mathrm C^1\!(\mathbb R,\mathbb C^n)</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>). Решение: <math>y(x)=\mathrm e^{xa}\!\cdot v</math> (<math>v\in\mathbb C^n</math>).
Строка 95: Строка 181:
 
<li>Моном (слово) от свободных переменных <math>x_1,\ldots,x_n</math> степени <math>k</math>: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math> (<math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math>). Моноид слов <math>\mathrm W_\otimes(x_1,\ldots,x_n)</math>.
 
<li>Моном (слово) от свободных переменных <math>x_1,\ldots,x_n</math> степени <math>k</math>: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math> (<math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math>). Моноид слов <math>\mathrm W_\otimes(x_1,\ldots,x_n)</math>.
 
<li>Пространство однородных многочленов степени <math>k</math>: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>. Алгебра многочленов: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=\bigoplus_{k=0}^\infty K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>.
 
<li>Пространство однородных многочленов степени <math>k</math>: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>. Алгебра многочленов: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=\bigoplus_{k=0}^\infty K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>.
<li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}&\mapsto e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i>
+
<li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}&\mapsto e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i></ul>
<li>Идеалы <math>I_\mathrm S</math> и <math>I_\mathrm A</math>: <math>I_\mathrm S=\bigl(\{x_i\otimes x_j-x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\bigr)</math>, <math>I_\mathrm A=\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_i\otimes x_i\mid i\in\{1,\ldots,n\}\}\bigr)</math>.
+
<li>Алгебры многочл. от коммутирующих и антикоммутирующих перем.: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/I_\mathrm S</math>, <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/I_\mathrm A</math>.</ul>
+
  
 
<h5>2.7.3&nbsp; Тело кватернионов</h5>
 
<h5>2.7.3&nbsp; Тело кватернионов</h5>
 
<ul><li><math>\mathbb R</math>-Алгебра кватернионов: <math>\mathbb H=\{\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k\mid\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb R\}</math>, где <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math> и <math>\mathrm i\,\mathrm j=-\mathrm j\,\mathrm i=\mathrm k</math>, <math>\mathrm j\,\mathrm k=-\mathrm k\,\mathrm j=\mathrm i</math>, <math>\mathrm k\,\mathrm i=-\mathrm i\,\mathrm k=\mathrm j</math>.
 
<ul><li><math>\mathbb R</math>-Алгебра кватернионов: <math>\mathbb H=\{\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k\mid\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb R\}</math>, где <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math> и <math>\mathrm i\,\mathrm j=-\mathrm j\,\mathrm i=\mathrm k</math>, <math>\mathrm j\,\mathrm k=-\mathrm k\,\mathrm j=\mathrm i</math>, <math>\mathrm k\,\mathrm i=-\mathrm i\,\mathrm k=\mathrm j</math>.
<li>Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: <math>\mathrm{re}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\alpha</math> и <math>\mathrm{im}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k</math>.
+
<li>Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: <math>\mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\alpha</math> и <math>\mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k</math>.
<li>Сопряжение: <math>\overline a=\mathrm{re}(a)-\mathrm{im}(a)</math>. Модуль: <math>|a|=\!\sqrt{\mathrm{re}(a)^2+\|\mathrm{im}(a)\|^2}</math>. Чистые кватернионы: <math>\mathbb H_\mathrm{vect}=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{re}(v)=0\}=\{v\in\mathbb H\mid\overline v=-v\}</math>.
+
<li>Сопряжение: <math>\overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)</math>. Модуль: <math>|a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\|\mathrm{Im}(a)\|^2}</math>. Чистые кватерн.-ы: <math>\mathbb H_\mathrm{vect}=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{Re}(v)=0\}=\{v\in\mathbb H\mid\overline v=-v\}</math>.
 
<li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>\alpha,\alpha'\in\mathbb R</math> и <math>v,v'\in\mathbb H_\mathrm{vect}</math> выполнено <math>(\alpha+v)(\alpha'+v')=(\alpha\alpha'-(v,v'))+(\alpha v'+\alpha'v+v\times v')</math>.<br>(2) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм алгебры <math>\,\mathbb H</math>).<br>(4) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i>
 
<li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>\alpha,\alpha'\in\mathbb R</math> и <math>v,v'\in\mathbb H_\mathrm{vect}</math> выполнено <math>(\alpha+v)(\alpha'+v')=(\alpha\alpha'-(v,v'))+(\alpha v'+\alpha'v+v\times v')</math>.<br>(2) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм алгебры <math>\,\mathbb H</math>).<br>(4) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i>
<li>Трехмерная сфера: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}\triangleleft\mathbb H^\times</math>. Утверждение: <i>пусть <math>g,g'\in\mathrm S^3</math>; тогда <math>\forall\,a\in\mathbb H\;\bigl(|g\,a\,g'|=|a|\bigr)</math> и <math>\forall\,v\in\mathbb H_\mathrm{vect}\,\bigl(g\,v\,g^{-1}\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr)</math></i>.
+
<li>Трехмерная сфера: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}\triangleleft\mathbb H^\times</math>. Утверждение: <i>пусть <math>g,g'\in\mathrm S^3</math>; тогда <math>\forall\,a\in\mathbb H\;\bigl(|g\,a\,g'|=|a|\bigr)</math> и <math>\forall\,v\in\mathbb H_\mathrm{vect}\,\bigl(g\,v\,g^{-1}\!\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr)</math></i>.
 
<li><u>Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами.</u> <i>Отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный<br>гомоморфизм алгебр с <math>1</math>, и его образ есть <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C\bigr\}</math> (и, значит, <math>\mathbb H\cong\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C\bigr\}</math>).</i></ul>
 
<li><u>Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами.</u> <i>Отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный<br>гомоморфизм алгебр с <math>1</math>, и его образ есть <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C\bigr\}</math> (и, значит, <math>\mathbb H\cong\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C\bigr\}</math>).</i></ul>
  
 
<h5>2.7.4&nbsp; Алгебры Ли (основные определения и примеры)</h5>
 
<h5>2.7.4&nbsp; Алгебры Ли (основные определения и примеры)</h5>
 
<ul><li>Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность (<math>[a,a]=0</math>), тождество Якоби (<math>[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0</math>).
 
<ul><li>Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность (<math>[a,a]=0</math>), тождество Якоби (<math>[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0</math>).
<li>Коммутатор в ассоциативной алгебре <math>A</math>: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^-</math>: пространство <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,\,]</math>. Утверждение: <i><math>A^-</math> — алгебра Ли</i>.
+
<li>Коммутатор в ассоциативной алгебре <math>A</math>: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^-</math>: пространство <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,]</math>. Утверждение: <i><math>A^-</math> — алгебра Ли</i>.
 
<li>Примеры алгебр Ли: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^-</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, <math>\mathbb R^3</math> с векторным умножением (<math>v\times w=\frac12[v,w]</math> в алгебре Ли <math>\mathbb H^-</math>).
 
<li>Примеры алгебр Ли: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^-</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, <math>\mathbb R^3</math> с векторным умножением (<math>v\times w=\frac12[v,w]</math> в алгебре Ли <math>\mathbb H^-</math>).
 
<li><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор на векторном<br>пространстве <math>{}_K\mathfrak g</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{ad}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i>
 
<li><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор на векторном<br>пространстве <math>{}_K\mathfrak g</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{ad}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i>
 
<li>Алгебра дифференцирований алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
 
<li>Алгебра дифференцирований алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
<li><u>Теорема об алгебре Ли векторных полей.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>M</math> — открытое подмножество в <math>\,\mathbb R^n</math>; обозначим через <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math><br>алгебру <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math> и векторное пространство <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math> соответственно; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm{Vect}(M)</math>, обозначая через <math>\mathrm{der}_v</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Func}(M)&\to\mathrm{Func}(M)\\f&\mapsto\mathrm df\cdot v\end{align}\!\biggr)</math> (здесь <math>\mathrm df\in\mathrm C^\infty\!(M,{}^n\mathbb R)</math>), имеем следующий<br>факт: <math>\mathrm{der}_v</math> — дифференцирование алгебры <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{der}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))\\v&\mapsto\mathrm{der}_v\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{der}</math> — инъективный линейный оператор,<br>а также <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{der}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>;<br>(3) определим на векторном пространстве <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> бинарную операцию <math>[\,,\,]</math> так, что для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math> выполнено<br><math>\mathrm{der}_{[v,w]}=[\mathrm{der}_v,\mathrm{der}_w]</math> (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию <math>[\,,\,]</math>); тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math><br>выполнено <math>[v,w]=\mathrm dw\cdot v-\mathrm dv\cdot w</math> (здесь <math>\mathrm dv,\mathrm dw\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm{Mat}(n,\mathbb R))</math>), а также <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относительно операции <math>[\,,\,]</math>.</i></ul><br>
+
<li><u>Теорема об алгебре Ли векторных полей.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>M</math> — открытое подмножество в <math>\,\mathbb R^n</math>; обозначим через <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math><br>алгебру <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math> и векторное пространство <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math> соответственно; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm{Vect}(M)</math>, обозначая через <math>\mathrm{der}_v</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Func}(M)&\to\mathrm{Func}(M)\\f&\mapsto\mathrm df\cdot v\end{align}\!\biggr)</math> (здесь <math>\mathrm df\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R_n)</math>), имеем следующий<br>факт: <math>\mathrm{der}_v</math> — дифференцирование алгебры <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{der}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))\\v&\mapsto\mathrm{der}_v\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{der}</math> — инъективный линейный оператор,<br>а также <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{der}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>;<br>(3) определим на векторном пространстве <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> бинарную операцию <math>[\,,]</math> так, что для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math> выполнено<br><math>\mathrm{der}_{[v,w]}=[\mathrm{der}_v,\mathrm{der}_w]</math> (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию <math>[\,,]</math>); тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math><br>выполнено <math>[v,w]=\mathrm dw\cdot v-\mathrm dv\cdot w</math> (здесь <math>\mathrm dv,\mathrm dw\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm{Mat}(n,\mathbb R))</math>), а также <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относительно операции <math>[\,,]</math>.</i></ul>
 
+
<font size="3"><b>Вопросы к экзамену по второй половине второго семестра курса алгебры</b></font>
+
<ol><li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.5.1 «Многочлены от операторов».
+
<li>Строки 5, 6, 7 пункта 2.5.1 «Многочлены от операторов».
+
<li>Строки 1, 2, 3 пункта 2.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
+
<li>Строки 1, 2, 4 пункта 2.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
+
<li>Строки 2, 5, 6 пункта 2.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
+
<li>Строки 1, 2, 3 пункта 2.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
+
<li>Строки 1, 4 пункта 2.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
+
<li>Строки 1, 5 пункта 2.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
+
<li>Строки 1, 6 пункта 2.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
+
<li>Строки 1, 2 пункта 2.6.1 «Относительные базисы».
+
<li>Строки 3, 4 пункта 2.6.1 «Относительные базисы».
+
<li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
+
<li>Строки 1, 2, 3, 5 пункта 2.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
+
<li>Строки 1, 2 пункта 2.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
+
<li>Строки 3, 4 пункта 2.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
+
<li>Строки 5, 6 пункта 2.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
+
<li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
+
<li>Строки 2, 5, 6 пункта 2.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
+
<li>Строки 1, 2, 3 пункта 2.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
+
<li>Строки 4, 5, 6 пункта 2.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
+
<li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.7.3 «Тело кватернионов».
+
<li>Строки 5, 6 пункта 2.7.3 «Тело кватернионов».
+
<li>Строки 1, 2, 3 пункта 2.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
+
<li>Строки 1, 4 пункта 2.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
+
<li>Строки 5, 6 пункта 2.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».</ol><br>
+
 
+
<font size="3"><b>Правила проведения экзамена</b></font>
+
<ul><li>На экзамене можно использовать только написанные выше подробный план курса и список вопросов (желательно иметь распечатки).
+
<li>«Строки» в списке вопросов нужно понимать либо как «настоящие строки» в подробном плане курса (например, строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.5.1),<br>либо в естественном обобщенном смысле (например, строки 5, 6, 7 пункта 2.5.1 суть «настоящие строки» 5, 6, 7, 8, 9).
+
<li>При ответе на вопрос должен быть подробно рассказан материал строк, указанных в вопросе (например, если строка содержит определения,<br>то к ним должны быть приведены примеры; если строка содержит утверждения или теоремы, то они должны быть полностью доказаны).
+
<li>На экзамене нужно ответить на два вопроса: один с номером от 1 до 16 (то есть по пунктам о линейных операторах), один с номером от 17 до 25<br>(то есть по пунктам об алгебрах). Кроме того, будут заданы дополнительные вопросы и упражнения на знание определений и формулировок по<br>всем пунктам второй половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично», будет дана задача.
+
<li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность использовать<br>на экзамене подробный план курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).</ul>
+

Текущая версия на 22:00, 22 июня 2017

2  Линейная алгебра

2.1  Матрицы, базисы, координаты

2.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк
  • Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
  • Матричные единицы: . Стандартный базис пространства : .
  • Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
  • Строки матрицы: . Столбцы матрицы: . Утверждение: и .
  • След матрицы: . Утверждение: пусть и ; тогда .
  • Транспонирование матрицы: . Утверждение: пусть и ; тогда .
2.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
  • Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств .
  • Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
  • Изоморфизм векторных пространств . Изоморфизм колец и векторных пространств .
2.1.3  Преобразования координат при замене базиса
  • Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: .
  • Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
  • Преобразование координат гомоморфизма: . Покомпонентная запись (если — эндоморфизм): .
2.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
  • Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
  • Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
  • Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
  • Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

    Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
    (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ).

  • Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

2.2  Линейные операторы (часть 1)

2.2.1  Ядро и образ линейного оператора
  • Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
  • Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

    Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .

    Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .

  • Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
    и ; тогда выполнено .
  • Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
    тогда выполнено .
2.2.2  Ранг линейного оператора
  • Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
  • Утверждение: . Утверждение: и .
  • Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) для любых матриц и выполнено ;
    (2) существуют такие матрицы и , что ;
    (3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
2.2.3  Системы линейных уравнений
  • Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ; тогда .
  • Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
  • Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .

2.3  Конструкции над векторными пространствами

2.3.1  Факторпространства и прямая сумма векторных пространств
  • Факторпространство: . Утверждение: пусть , — базис в , — базис в , ; тогда — базис в .
  • Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
  • Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

    Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ;
    обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то ;
    (4) если , то (это формула Грассмана).

  • Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: . Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
  • Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
2.3.2  Двойственное пространство
  • Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Утверждение: . Столбец .
  • Строка координат ковектора. Утверждение: . Преобразования при замене базиса: , и .
  • Отождествление пространств и в случае конечномерного пространства при помощи изоморфизма .
  • Сводная таблица о координатах. (В таблице — поле, — векторное пространство над полем , и .)

Инвариантный объектКоординаты
относительно базиса
Преобразование координат
при замене базиса
Пример использования
в геометрии и физике
вектор
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм
векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
преобразование базиса:
скорость в точке
гладкого пути
на многообразии
ковектор
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм
векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
преобразование базиса:
дифференциал в точке
гладкой функции (скалярного поля)
на многообразии
эндоморфизм
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм колец
и векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
дифференциал в неподвижной точке
гладкого отображения,
действующего из многообразия в себя

2.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

2.4.1  Отступление о симметрических группах
  • Симметрическая группа: . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
  • Утверждение: . Утверждение: .
  • Транспозиции и фундаментальные транспозиции . Число циклов .
  • Лемма об умножении на транспозицию. Пусть , , и ; тогда
    (1) если числа и принадлежат одному циклу в перестановке , то ;
    (2) если числа и принадлежат разным циклам в перестановке , то .
  • Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть и ; обозначим через число ; тогда
    (1) существуют такие транспозиции , что ;
    (2) для любых из существования таких транспозиций , что , следует, что и .
  • Знак перестановки: . Утверждение: — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: .
2.4.2  Полилинейные отображения и формы объема
  • Пространства полилинейных отображений , и полилинейных форм , .
  • Пространства билинейных отображений , и билинейных форм , . Примеры полилинейных форм.
  • Пространство симметричных полилинейных форм . Пространство антисимметричных полилинейных форм .
  • Лемма об антисимметричных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    следующие условия эквивалентны (если , то исключаются импликации (2)(1) и (3)(1)):
    (1) ;
    (2) для любых и таких , что — транспозиция, выполнено ;
    (3) для любых и выполнено .
  • Пространство форм объема (). Форма объема, связанная с базисом: .
  • Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над , ; обозначим через число ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) для любых множество — базис пространства ;
    (3) для любых и выполнено .
2.4.3  Определитель линейного оператора
  • Определитель линейного оператора: , где . Корректность определения.
  • Теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) (напоминание: );
    (2) для любых выполнено
    (и, значит, отображение определено корректно и является гомоморфизмом групп).
  • Определитель матрицы: . Утверждение: пусть ; тогда .
  • Лемма об определителе оператора и определителе матрицы. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и ; обозначим через число ; тогда .
  • Утверждение: и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
  • Специальные линейные группы: и .
2.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица
  • Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: дополнительный минор матрицы в позиции .
  • Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) и (в частности,
    при имеем и при имеем ;
    это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
    (2) и, если , то .
  • Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
  • Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел
    , что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ).

2.5  Линейные операторы (часть 2)

2.5.1  Многочлены от операторов
  • Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
  • Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
  • Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
  • Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
  • Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и ; тогда .
  • Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    , и , где , и попарно взаимно просты; тогда .
  • Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
2.5.2  Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
  • Спектр оператора: ; если , то .
  • Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
  • Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
  • Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
  • Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
  • Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
    (1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
    (2) ;
    (3) если — нильпотентный оператор, то .
2.5.3  Собственные и корневые подпространства оператора
  • Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
  • Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
  • Относительные геометрические кратности: и . Утверждение: .
  • Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
    тогда следующие условия эквивалентны:
    (1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
    (2) (то есть раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в кольце );
    (3) (это разложение пространства в прямую сумму собственных подпространств оператора );
    (3') .
  • Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) и .
  • Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
    , и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то
    это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
    (1) (это разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора );
    (2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующий факт: для любых
    выполнено , а также — нильпотентный оператор и .

2.6  Линейные операторы (часть 3)

2.6.1  Относительные базисы
  • Независимое подмножество в относительно : . Порождающее подмножество в относительно : .
  • Базис в относительно : одновременно независимое и порождающее подмножество в относительно . Три леммы-упражнения.

    Лемма 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда следующие условия эквивалентны:
    (1) — базис в относительно ;
    (1') — независимое подмножество в и ;
    (2) — максимальное независимое подмножество в относительно ;
    (3) — минимальное порождающее подмножество в относительно .

    Лемма 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
    (1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
    (2) из любого конечного порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .

    Лемма 3 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — базис в относительно , — базис в
    относительно ; тогда — базис в относительно .

  • Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
    обозначим через , , пространства , , соответственно; пусть — независимое подмножество в
    относительно ; тогда — биекция и — независимое подмножество в относительно .
  • Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
    , и ; тогда .
2.6.2  Жорданова нормальная форма оператора
  • Жордановы клетки: и . Прямая сумма матриц: .
  • Диаграммы Юнга. Жорданов блок: , где числа суть длины строк диаграммы Юнга .
  • Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы суть относительные геометрические кратности .
  • Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над , ,
    , — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис , что .
  • Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для
    любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что
    (то есть матрица раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).
2.6.3  Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике
  • Утверждение: пусть и ; тогда . Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
  • Экспонента от оператора: . Пример вычисления экспоненты: . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты. Пусть — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) для любых таких , что , выполнено ;
    (2) для любых выполнено , а также .

  • Однородная система линейных дифференциальных уравнений: (, ). Решение: ().
  • Сведе́ние уравнения к системе уравнений . Фундаментальная система решений.
  • Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: и .
  • Выводы из ур.-я Шрёдингера для частицы в потенциальной яме: — плотность вероятности, — энергия.

2.7  Алгебры

2.7.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  • -Алгебра — векторное пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из .
  • Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
  • Примеры алгебр: -алгебры , , , , , ; -алгебры , с векторным умножением, .
  • Структурные константы алгебры: . Утверждение: массив определяет умножение в -алгебре .
  • Теорема Кэли для алгебр. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство над
    полем , получающееся из -алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор на векторном
    пространстве (то есть элемент -алгебры );
    (2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный гомоморфизм алгебр с .
  • Алгебра с делением: . Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.
2.7.2  Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных
  • Тензорное произведение полилинейных форм: . Свойства операции .
  • Утверждение: пусть и ; тогда множество — базис пространства .
  • Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): . Утверждение: — ассоциативная -алгебра с .
  • Моном (слово) от свободных переменных степени : (). Моноид слов .
  • Пространство однородных многочленов степени : . Алгебра многочленов: .
  • Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; обозначим через число ;
    тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение , — изоморфизм алгебр с .
2.7.3  Тело кватернионов
  • -Алгебра кватернионов: , где и , , .
  • Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: и .
  • Сопряжение: . Модуль: . Чистые кватерн.-ы: .
  • Теорема о свойствах кватернионов.
    (1) Для любых и выполнено .
    (2) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — тело).
    (3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — антиавтоморфизм алгебры ).
    (4) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп).
  • Трехмерная сфера: . Утверждение: пусть ; тогда и .
  • Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами. Отображение — инъективный
    гомоморфизм алгебр с , и его образ есть (и, значит, ).
2.7.4  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
  • Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность (), тождество Якоби ().
  • Коммутатор в ассоциативной алгебре : . Алгебра : пространство с операцией . Утверждение: — алгебра Ли.
  • Примеры алгебр Ли: , , с векторным умножением ( в алгебре Ли ).
  • Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и -алгебра Ли; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор на векторном
    пространстве (то есть элемент алгебры Ли );
    (2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — гомоморфизм алгебр Ли.
  • Алгебра дифференцирований алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
  • Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть и — открытое подмножество в ; обозначим через и
    алгебру и векторное пространство соответственно; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение (здесь ), имеем следующий
    факт: — дифференцирование алгебры (то есть элемент алгебры Ли );
    (2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный линейный оператор,
    а также — подалгебра алгебры Ли ;
    (3) определим на векторном пространстве бинарную операцию так, что для любых выполнено
    (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию ); тогда для любых
    выполнено (здесь ), а также — алгебра Ли относительно операции .