Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Версия 04:40, 23 марта 2017

2  Линейная алгебра

2.3  Линейные операторы (часть 2)

2.3.1  Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора

• Эвалюация ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)}$.
• Минимальный многочлен лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mu _{a}(a)=0}$, ${\displaystyle \mu _{a}}$ нормирован, ${\displaystyle \deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}}$; ${\displaystyle (\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]}$.
• Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle f\in K[x]}$, то ${\displaystyle a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)}$ (то есть ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,f(a)}$ — ${\displaystyle a}$-инвариантное подпространство);
  (3) если ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ и ${\displaystyle f}$ делит ${\displaystyle g}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)}$;
  (2) если ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle f_1,\ldots,f_k\in K[x]}$ и многочлены ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ попарно взаимно просты, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$
  (и, значит, ${\displaystyle (f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$).
• Проектор (идемпотент): ${\displaystyle a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a}$. Отражение: ${\displaystyle a^2=\mathrm{id}_V\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)}$ (здесь ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$).
• Собственные число и вектор лин. операт. ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle a(v)=c\,v\,\land\,v\ne0}$. Спектр лин. операт. ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}}$. Лемма о спектре.

  Лемма о спектре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное простр.-во над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \{c\in K\mid\exists\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(a(v)=c\,v\bigr)\}\subseteq\mathrm{Spec}(a)}$
  и, если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то "${\displaystyle \,\subseteq }$" можно заменить на "${\displaystyle \,=}$".

• Характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)}$. Характеристический многочлен лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}}$. Корректность опред.-я.
• След линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}\,a_e^e}$. Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли.

  Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}}$ (и, значит, ${\displaystyle |\mathrm{Spec}(a)|\le\deg\chi_a=n}$);
  (2) ${\displaystyle \chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a}$;
  (3) если ${\displaystyle \exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)}$ (то есть ${\displaystyle a}$ — нильпотентный линейный оператор), то ${\displaystyle \chi_a=x^n}$.

  Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \chi _{a}(a)=0}$.

• Кратности: ${\displaystyle \alpha(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\chi_a\}}$ (алгебраич. кратность), ${\displaystyle \beta(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\mu_a\}}$. Теорема о минимальном многочлене.

  Теорема о минимальном многочлене. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mu _{a}}$ делит ${\displaystyle \chi _{a}}$ (и, значит, для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \beta (a,c)\leq \alpha (a,c)}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}}$.

2.3.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

• Собственные подпространства: ${\displaystyle V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)}$; геометрическая кратность: ${\displaystyle \gamma (a,c)=\dim V_{1}(a,c)}$. Лемма о собственных подпространствах.

  Лемма о собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle c_1,\ldots,c_k\in K}$ и
  ${\displaystyle c_1,\ldots,c_k}$ попарно различны; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)}$;
  (2) если ${\displaystyle C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_k(a,c_k)}$ и ${\displaystyle C_1,\ldots,C_k}$ — независимые множества, то ${\displaystyle C_1\cup\ldots\cup C_k}$ — независимое множество;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)}$.

• Теорема о диагонализуемых линейных операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица;
  (у2) ${\displaystyle \mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)}$ (то есть многочлен ${\displaystyle \mu _{a}}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$);
  (у3) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)}$ (то есть пространство ${\displaystyle V}$ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора ${\displaystyle a}$);
  (у4) ${\displaystyle \dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)}$.
• Обобщенные собственные подпр.-ва: ${\displaystyle V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j}$ — ${\displaystyle a}$-инвариантные подпр.-ва. Лемма об обобщенных собственных подпространствах.

  Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle c\in K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)}$ и, если ${\displaystyle V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)}$, то ${\displaystyle V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)}$;
  (2) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle \beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)}$;
  (3) ${\displaystyle \{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots}$.

• Жордановы клетки: ${\displaystyle \mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\underline e_1^2+\ldots+\underline e_{n-1}^n}$ (если ${\displaystyle a=\mathrm{jc}_n(c)}$, то ${\displaystyle \mu_a=\chi_a=(x-c)^n}$ и ${\displaystyle \forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\underline e_1,\ldots,\underline e_j\rangle\bigr)}$).
• Корневые подпространства: ${\displaystyle V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)}$. Относительные геометрические кратности: ${\displaystyle \gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)}$.
• Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ раскладывается в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то это условие выполнено
  для любого линейного оператора ${\displaystyle a}$ в силу алгебраической замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$); тогда
  (1) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)}$ (то есть пространство ${\displaystyle V}$ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора ${\displaystyle a}$);
  (2) для любых ${\displaystyle c\in \mathrm {Spec} (a)}$, обозначая через ${\displaystyle \mathrm {nil} (a,c)}$ оператор ${\displaystyle (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})|_{V(a,c)\to V(a,c)}}$, имеем следующие факты: для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено
  ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,\mathrm{nil}(a,c)^j=V_j(a,c)}$, а также ${\displaystyle \mathrm {nil} (a,c)}$ — нильпотентный линейный оператор и ${\displaystyle \dim V(a,c)=\alpha (a,c)}$.