Алгебра phys 1 февраль–март - История изменений

Goryachko в 17:00, 10 марта 2019

2019-03-10T17:00:36Z

Goryachko в 15:00, 10 марта 2019

2019-03-10T15:00:33Z

Внесённые изменения

Goryachko в 14:00, 10 марта 2019

2019-03-10T14:00:40Z

Внесённые изменения

Goryachko в 12:00, 10 марта 2019

2019-03-10T12:00:47Z

Goryachko в 12:00, 15 февраля 2019

2019-02-15T12:00:49Z

Goryachko в 15:00, 5 августа 2018

2018-08-05T15:00:13Z

Goryachko в 12:00, 5 августа 2018

2018-08-05T12:00:22Z

Goryachko в 12:00, 1 августа 2018

2018-08-01T12:00:19Z

Goryachko в 02:00, 1 августа 2018

2018-08-01T02:00:13Z

Goryachko в 00:00, 1 августа 2018

2018-08-01T00:00:29Z

@@ Строка 44: / Строка 44: @@
 <li><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k\le V</math>; обозначим через <math>\mathrm{add}</math><br>линейный оператор <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\oplus\ldots\oplus V_k&\to V\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1+\ldots+v_k\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) если <math>B_1,\ldots,B_k</math> — базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно, то <math>\{(b_1,0,\ldots,0)\mid b_1\in B_1\}\cup\ldots\cup\{(0,\ldots,0,b_k)\mid b_k\in B_k\}</math> —<br>базис пространства <math>V_1\oplus\ldots\oplus V_k</math> (и, значит, если дополнительно <math>\mathrm{add}</math> — изоморфизм, то <math>B_1\cup\ldots\cup B_k</math> — базис пространства <math>V</math>);<br>(1') если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\oplus\ldots\oplus V_k)=\dim V_1+\ldots+\dim V_k</math>;<br>(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math>, (у2) <math>\forall\,v\in V\;\exists!\,v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\;\bigl(v=v_1+\ldots+v_k\bigr)</math> и<br>(у3) <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(V_i\cap(V_1+\ldots+V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots+V_k)=\{0\}\bigr)\,\land\,V=V_1+\ldots+V_k</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>\,V=V_1+\ldots+V_k\!</math>" можно заменить на условие "<math>\,\dim V=\dim V_1+\ldots+\dim V_k\!</math>";<br>(4) если <math>U,W\le V</math> и <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math> (это формула Грассмана).</i>
 <li>Внутренняя прямая сумма: <math>V=V_1\oplus\ldots\oplus V_k\,\Leftrightarrow\,\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math>. Лемма об инвариантном подпространстве. Прямая сумма матриц.
-<p><u>Лемма об инвариантном подпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>U\le V</math> и<br><math>a(U)\subseteq U</math> (то есть <math>U</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство), а также <math>n'=\dim U</math> и <math>n''\!=n-n'</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)</math>, <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>;<br>(2) если <math>W\le V</math>, <math>V=U\oplus W</math> и <math>a(W)\subseteq W</math>, то существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)</math> и <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i></p>
+<p><u>Лемма об инвариантном подпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>U\le V</math> и<br><math>a(U)\subseteq U</math> (то есть <math>U</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство в <math>V</math>), а также <math>n'=\dim U</math> и <math>n''\!=n-n'</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)</math>, <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>;<br>(2) если <math>W\le V</math>, <math>V=U\oplus W</math> и <math>a(W)\subseteq W</math>, то существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)</math> и <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i></p>
 <li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j=e_j^*=\bigl(v\mapsto(v^e)^j\bigr)</math>. Столбец <math>e^*\!=\biggl(\begin{smallmatrix}e^1\\\vdots\\e^n\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Строка координат ковектора: <math>\lambda_e</math>.
 <li>Утверждение: <i><math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*\!</math> и <math>\lambda(v)=\lambda_e\cdot v^e</math></i>. Изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K_n\!\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}\!\biggr)</math>. Преобр.-я при замене базиса: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>, <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math> и <math>\,\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>.

@@ Строка 70: / Строка 70: @@
 <li>Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>, <math>\mathrm{rk}(a^*)=\mathrm{rk}((a_e^h)^\mathtt T)</math> и <math>\mathrm{rk}(a+b)\le\mathrm{rk}(a)+\mathrm{rk}(b)</math></i>. Тензорное произв.-е вектора <math>y</math> и ковектора <math>\lambda</math>: <math>(y\otimes\lambda)(v)=\lambda(v)\,y</math>.
 <li>Утверждение: <i><math>y\otimes\lambda\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>\mathrm{rk}(y\otimes\lambda)\le1</math> и <math>(y\otimes\lambda)_e^h=y^h\cdot\lambda_e</math></i>. Теорема о свойствах ранга. Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(b\circ a)\le\min(\mathrm{rk}(a),\mathrm{rk}(b))</math></i>.
-<p><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}(a)=\dim V-\dim\mathrm{Ker}\,a</math> и <math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{rk}(a^*)=\mathrm{rk}(a)</math> (и, значит, для любых <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\mathrm{rk}(a)</math>);<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a)=\min\,\{m\in\mathbb N_0\!\mid\exists\,y_1,\ldots,y_m\in Y,\,\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in V^*\,\bigl(a=y_1\otimes\lambda_1+\ldots+y_m\otimes\lambda_m\bigr)\}</math>;<br>(4) сущ.-т такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, что <math>a_e^h=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math> (это теорема о приведении матрицы оператора к почти единичному виду).</i></p>
+<p><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}(a)=\dim V-\dim\mathrm{Ker}\,a</math> и <math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{rk}(a)=\min\,\{m\in\mathbb N_0\!\mid\exists\,y_1,\ldots,y_m\in Y,\,\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in V^*\,\bigl(a=y_1\otimes\lambda_1+\ldots+y_m\otimes\lambda_m\bigr)\}</math>;<br>(3) сущ.-т такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, что <math>a_e^h=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math> (это теорема о приведении матрицы оператора к почти единичному виду)<br>(матричн. формулировка: для любых <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> сущ.-т такие <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\!\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g\cdot a\cdot g'=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>);<br>(4) <math>\mathrm{rk}(a^*)=\mathrm{rk}(a)</math> (матричная формулировка: для любых <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\mathrm{rk}(a)</math>).</i></p>
-<li>Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): <math>\mathrm{id}_n+c\,\mathbf e_i^j</math> (<math>c\in K</math>, <math>i\ne j</math>). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): <math>\mathrm{id}_n+(c-1)\,\mathbf e_i^i</math> (<math>c\in K^\times</math>).
+<li>Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): <math>\mathrm{id}_n+c\,\mathbf e_i^j</math> (<math>c\in K</math>, <math>i\ne j</math>). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): <math>\mathrm{id}_n-\mathbf e_i^i+c\,\mathbf e_i^i</math> (<math>c\in K^\times</math>).
-<li>Элементарные преобр.-я над строками 1-го и 2-го типов: <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathbf e_i^k)\cdot a</math> и <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\,\mathbf e_i^i)\cdot a</math>. Элементарные преобр.-я над столбцами.
+<li>Элементарные преобраз.-я над строками 1-го и 2-го типов: <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathbf e_i^k)\cdot a</math> и <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p-\mathbf e_i^i+c\,\mathbf e_i^i)\cdot a</math>. Элементарные преобр.-я над столбцами.
-<li>Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.
+<li>Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Приведение к строго ступенчатому виду.
 <p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства <math>\langle a^1_\bullet,\ldots,a^p_\bullet\rangle</math> (и, значит, их количество равно <math>\mathrm{rk}(a)</math>).</i></p>
-<li>Метод Гаусса для реш.-я системы <math>a\cdot v=y</math>: привед.-е <math>\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)</math> к ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундамент. система решений.
+<li>Метод Гаусса для реш.-я системы <math>a\cdot v=y</math>: привед.-е <math>\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)</math> к ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундамент. системы решений.
 <li><u>Теорема Кронекера–Капелли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда<br>(1) <math>\dim\,\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}=n-\mathrm{rk}(a)</math> и, если <math>n>p</math>, то <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}\ne\{0\}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{rk}(a)\le\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, а также, если <math>\mathrm{rk}(a)<\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, то <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=y\}=\varnothing</math>, и, если <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, то<br><math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=y\}</math> — аффинное подпространство в <math>K^n</math> с направляющим подпространством <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}</math>.</i></ul>

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 <li>Ядро и образ линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,a</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Ker}\,a\le V</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a\le Y</math></i>. Теорема о слоях и ядре линейного оператора.
 <p><u>Теорема о слоях и ядре линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>y\in Y</math> и <math>v_0\in a^{-1}(y)</math> выполнено <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>;<br>(2) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p>
-<li>Аффинные операторы: <math>v\mapsto a(v)+z</math>, где <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>. Аффинные подпростр.-ва: <math>v+U</math>, где <math>U\le V</math> (<math>U</math> — направляющее подпр.-во для <math>v+U</math>).
+<li>Матричная запись системы из <math>p</math> линейных уравн.-й от <math>n</math> переменных: <math>a\cdot v=y</math> (<math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>, <math>v\in K^n</math>, <math>y\in K^p</math>). Однородная система: <math>a\cdot v=0</math>.
-<li>Матричная запись системы из <math>p</math> линейных уравн.-й от <math>n</math> переменных: <math>a\cdot v=y</math> (<math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>, <math>v\in K^n</math>, <math>y\in K^p</math>). Однородная система: <math>a\cdot v=0</math>.</ul>
+<li>Аффинные операторы: <math>v\mapsto a(v)+z</math>, где <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>. Аффинные подпростр.-ва: <math>v+U</math>, где <math>U\le V</math> (<math>U</math> — направляющее подпр.-во для <math>v+U</math>).</ul>
 <h5>6.2&nbsp; Независимые множества, порождающие множества, базисы</h5>

@@ Строка 35: / Строка 35: @@
 <li>Матрица замены координат (<math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Пример: <math>\mathrm c_e^\mathbf e=e</math> (<math>V=K^n</math>, <math>\mathbf e=(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)</math>). Утверждение: <i><math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e</math> и <math>\,\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm c_e^\tilde e)^{-1}</math></i>.
 <li>Преобразование столбца координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>; то же в покомпонентной записи: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>. Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>.
-<li>Преобр.-е матрицы линейного оператора: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>; то же в покомпонентной записи (<math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>e=h{}</math>, <math>\tilde e=\tilde h{}</math>): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>
+<li>Преобраз.-е матрицы линейн. оператора: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>; то же в покомпонентной записи (<math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>e=h{}</math>, <math>\tilde e=\tilde h{}</math>): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>
 <h5>6.4&nbsp; Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство</h5>

@@ Строка 35: / Строка 35: @@
 <li>Матрица замены координат (<math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Пример: <math>\mathrm c_e^\mathbf e=e</math> (<math>V=K^n</math>, <math>\mathbf e=(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)</math>). Утверждение: <i><math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e</math> и <math>\,\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm c_e^\tilde e)^{-1}</math></i>.
 <li>Преобразование столбца координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>; то же в покомпонентной записи: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>. Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>.
-<li>Преобразование матрицы линейного оператора: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>; то же в покомпонентной записи (если <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>
+<li>Преобр.-е матрицы линейного оператора: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>; то же в покомпонентной записи (<math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>e=h{}</math>, <math>\tilde e=\tilde h{}</math>): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>
 <h5>6.4&nbsp; Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство</h5>

@@ Строка 40: / Строка 40: @@
 <ul><li>Факторпространство: <math>V/U</math> с фактороперациями (<math>U\le V</math>). Корректность опред.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: <math>\mathrm{codim}_VU=\dim V/U</math>.
 <p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></p>
-<li><u>Теорема о факторпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) если <math>A</math> — базис пространства <math>U</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>A\subseteq B</math>, то все классы смежности <math>b+U</math>, где <math>b\in B\!\setminus\!A</math>, попарно различны и<br>вместе образуют базис пространства <math>V/U</math>;<br>(1') если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\dim V/U=\dim V-\dim U</math> (и, значит, <math>\mathrm{codim}_VU=\dim V-\dim U</math>);<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math>, <math>Y</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, то <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math> (это теорема о размерностях ядра и образа).</i>
+<li><u>Теорема о факторпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) если <math>A</math> — базис пространства <math>U</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>A\subseteq B</math>, то все классы смежности <math>b+U</math>, где <math>b\in B\!\setminus\!A</math>, попарно различны и<br>вместе образуют базис пространства <math>V/U</math>;<br>(1') если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\dim V/U=\dim V-\dim U</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math>, <math>Y</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, то <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math> (это теорема о размерностях ядра и образа).</i>
 <li>Прямая сумма <math>U\oplus W</math>: <math>U\times W</math> с покомпонентными операциями. Обобщение (<math>I</math> — мн.-во): <math>\bigoplus_{i\in I}V_i=\{f\in\mathrm{FinFunc}(I,\bigcup_{i\in I}V_i)\mid\forall\,i\in I\;\bigl(f(i)\in V_i\bigr)\}</math>.
 <li><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k\le V</math>; обозначим через <math>\mathrm{add}</math><br>линейный оператор <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\oplus\ldots\oplus V_k&\to V\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1+\ldots+v_k\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) если <math>B_1,\ldots,B_k</math> — базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно, то <math>\{(b_1,0,\ldots,0)\mid b_1\in B_1\}\cup\ldots\cup\{(0,\ldots,0,b_k)\mid b_k\in B_k\}{}</math> —<br>базис пространства <math>V_1\oplus\ldots\oplus V_k{}</math> (и, значит, если дополнительно <math>\mathrm{add}</math> — изоморфизм, то <math>B_1\cup\ldots\cup B_k</math> — базис пространства <math>V</math>);<br>(1') если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\oplus\ldots\oplus V_k)=\dim V_1+\ldots+\dim V_k</math>;<br>(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math>, (у2) <math>\forall\,v\in V\;\exists!\,v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\;\bigl(v=v_1+\ldots+v_k\bigr)</math> и<br>(у3) <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(V_i\cap(V_1+\ldots+V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots+V_k)=\{0\}\bigr)\,\land\,V=V_1+\ldots+V_k</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>V=V_1+\ldots+V_k\!</math>" можно заменить на условие "<math>\dim V=\dim V_1+\ldots+\dim V_k\!</math>";<br>(4) если <math>U,W\le V</math> и <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math> (это формула Грассмана).</i>

@@ Строка 54: / Строка 54: @@
 <tr align="center"><td>вектор <math>v</math> —<br>элемент пространства <math>V</math><br>(тензор типа <math>(1,0)</math> над <math>V</math>)</td>
 <td><math>\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
-<td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>,</td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math>,</td></tr><tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td>
+<td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math></td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math></td></tr><tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td>
 <td>скорость в точке<br>гладкой кривой<br>на многообразии</td></tr>
 <tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td>
 <td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
-<td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>,</td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math>,</td></tr><tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math></td></tr></table></td>
+<td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr><tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math></td></tr></table></td>
 <td>дифференциал в точке<br>гладкой функции (скалярного поля)<br>на многообразии</td></tr>
 <tr align="center"><td>эндоморфизм <math>a</math> —<br>элемент пространства <math>\mathrm{End}(V)</math><br>(тензор типа <math>(1,1)</math> над <math>V</math>)</td>
 <td><math>\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм колец<br>и векторных пространств)</td>
-<td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>,</td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k\Bigr)\!</math></td></tr></table></td>
+<td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k\Bigr)\!</math></td></tr></table></td>
 <td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table><br>