Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь - История изменений

Goryachko в 21:00, 19 сентября 2018

2018-09-19T21:00:11Z

Goryachko в 12:00, 12 сентября 2018

2018-09-12T12:00:22Z

Goryachko в 19:00, 10 сентября 2018

2018-09-10T19:00:24Z

Goryachko в 17:00, 1 января 2018

2018-01-01T17:00:28Z

Внесённые изменения

Goryachko в 13:00, 18 декабря 2017

2017-12-18T13:00:32Z

Goryachko в 15:00, 16 декабря 2017

2017-12-16T15:00:36Z

Goryachko в 11:00, 16 декабря 2017

2017-12-16T11:00:54Z

Внесённые изменения

Goryachko в 01:00, 30 октября 2017

2017-10-30T01:00:22Z

Goryachko в 18:00, 24 октября 2017

2017-10-24T18:00:35Z

Goryachko в 17:00, 24 октября 2017

2017-10-24T17:00:48Z

@@ Строка 55: / Строка 55: @@
 <li>Симметрические группы: <math>\mathrm S_n=\mathrm{Bij}(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.
 <p><u>Лемма о циклах.</u> <i>Пусть <math>l,m,n\in\mathbb N</math>, <math>i_1,\ldots,i_l,j_1,\ldots,j_m,k\in\{1,\ldots,n\}</math>, числа <math>i_1,\ldots,i_l,j_1,\ldots,j_m,k</math> попарно различны и <math>u\in\mathrm S_n</math>; тогда<br><math>(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)=(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)</math>, а также <math>u\circ(i_1\;\ldots\;i_l)\circ u^{-1}\!=(u(i_1)\;\ldots\;u(i_l))</math>.</i></p>
-<li>Мультипликативные обозначения: <math>g\,h</math>, <math>1</math>, <math>g^{-1}</math>, <math>g^n</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>). Степени эл.-та группы. Аддитивные обозн.-я в абелевой группе: <math>a+b</math>, <math>0</math>, <math>-a</math>, <math>n\,a</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>).</ul>
+<li>Степени эл.-та группы. Мультипликативные обозначения: <math>g\,h</math>, <math>1</math>, <math>g^{-1}</math> и <math>g^n</math>. Аддитивные обозн.-я в абелевой (коммутативной) группе: <math>a+b</math>, <math>0</math>, <math>-a</math> и <math>n\,a</math>.</ul>
 <h5>2.3&nbsp; Подгруппы, классы смежности, циклические группы</h5>

@@ Строка 77: / Строка 77: @@
 <li>Факторгруппа: <math>G/H</math> с фактороперациями (<math>H\trianglelefteq G</math>). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: <math>\mathbb Z^+\!/n\,\mathbb Z\cong(\mathbb Z/n)^+</math>.
 <p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>G,J</math> — группы и <math>f\in\mathrm{Hom}(G,J)</math>; тогда <math>G/\,\mathrm{Ker}\,f\cong\mathrm{Im}\,f</math>.</i></p>
-<li>Задание группы образующими и соотношениями (<math>D</math> — множество, <math>T\subseteq\mathrm F(D)</math>): <math>\langle D\mid T\rangle=\mathrm F(D)/(T)</math>. Пример: <math>\langle d_1,d_2\!\mid d_1^2,d_2^2,(d_1d_2)^2\rangle\cong(\mathbb Z/8)^\times</math>.
+<li>Задание групп образующими и соотношениями (<math>D</math> — множество, <math>T\subseteq\mathrm F(D)</math>): <math>\langle D\mid T\rangle=\mathrm F(D)/(T)</math>. Пример: <math>\langle d_1,d_2\!\mid d_1^2,d_2^2,(d_1d_2)^2\rangle\cong(\mathbb Z/8)^\times</math>.
 <li>Прямое произведение групп: <math>F\times H</math> с покомпонентными операциями. Утверждение: <i><math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизмы групп</i>.
 <li><u>Теорема о прямом произведении.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>F,H\le G</math>; обозначим через <math>\mathrm{mult}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{mult}\in\mathrm{Hom}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>, <math>\mathrm{mult}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{mult}=FH</math>;<br>(2) <math>\mathrm{mult}\in\mathrm{Iso}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,F\cap H=\{1\}\,\land\,G=FH\,\land\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>;<br>(3) если <math>|G|<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>G=FH\!</math>" можно заменить на условие "<math>|G|=|F|\,|H|\!</math>".</i></ul>

@@ Строка 41: / Строка 41: @@
 <li>Изоморфизмы: <math>\mathrm{Iso}(S,V)=\mathrm{Hom}(S,V)\cap\mathrm{Bij}(S,V)</math>. Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: <math>\mathrm{End}(S)=\mathrm{Hom}(S,S)</math>. Автоморфизмы: <math>\mathrm{Aut}(S)=\mathrm{Iso}(S,S)</math>.
 <li><u>Теорема о композиции гомоморфизмов.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>S,V,Y</math> — множества с <math>n</math>-арной операцией; тогда<br>(1) для любых <math>f\in\mathrm{Hom}(S,V)</math> и <math>g\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math> выполнено <math>g\circ f\in\mathrm{Hom}(S,Y)</math>;<br>(2) для любых <math>f\in\mathrm{Iso}(S,V)</math> выполнено <math>f^{-1}\!\in\mathrm{Iso}(V,S)</math>.</i>
-<li>Обозначение по Минковскому: <math>o_S(S_1,\ldots,S_n)=\{o_S(s_1,\ldots,s_n)\mid s_1\in S_1,\ldots,s_n\in S_n\}</math>. Примеры: <math>\mathbb N+\mathbb N=\mathbb N\!\setminus\!\{1\}</math>, <math>\mathbb N\cdot\mathbb N=\mathbb N</math>, <math>\mathbb Z+\mathbb Z=\mathbb Z</math>.
+<li>Операции над подмножествами: <math>o_S(S_1,\ldots,S_n)=\{o_S(s_1,\ldots,s_n)\mid s_1\in S_1,\ldots,s_n\in S_n\}</math>. Примеры: <math>\mathbb N+\mathbb N=\mathbb N\!\setminus\!\{1\}</math>, <math>\mathbb N\cdot\mathbb N=\mathbb N</math>, <math>\mathbb Z+\mathbb Z=\mathbb Z</math>.
 <li>Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: <math>\forall\,s,t,u\in S\;\bigl((s\cdot t)\cdot u=s\cdot(t\cdot u)\bigr)</math>; коммутативность (абелевость): <math>\forall\,s,t\in S\;\bigl(s\cdot t=t\cdot s\bigr)</math>.
 <li>Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.

@@ Строка 79: / Строка 79: @@
 <li>Задание группы образующими и соотношениями (<math>D</math> — множество, <math>T\subseteq\mathrm F(D)</math>): <math>\langle D\mid T\rangle=\mathrm F(D)/(T)</math>. Пример: <math>\langle d_1,d_2\!\mid d_1^2,d_2^2,(d_1d_2)^2\rangle\cong(\mathbb Z/8)^\times</math>.
 <li>Прямое произведение групп: <math>F\times H</math> с покомпонентными операциями. Утверждение: <i><math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизмы групп</i>.
-<li><u>Теорема о прямом произведении.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>F,H\le G</math>; обозначим через <math>\mathrm{mult}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{mult}\in\mathrm{Hom}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>, <math>\mathrm{mult}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{mult}=FH</math>;<br>(2) <math>\mathrm{mult}\in\mathrm{Iso}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,F\cap H=\{1\}\,\land\,G=FH\,\land\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>;<br>(3) если <math>|G|<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>G=FH\!</math>" можно заменить на условие "<math>\,|G|=|F|\,|H|</math>".</i></ul>
+<li><u>Теорема о прямом произведении.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>F,H\le G</math>; обозначим через <math>\mathrm{mult}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{mult}\in\mathrm{Hom}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>, <math>\mathrm{mult}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{mult}=FH</math>;<br>(2) <math>\mathrm{mult}\in\mathrm{Iso}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,F\cap H=\{1\}\,\land\,G=FH\,\land\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>;<br>(3) если <math>|G|<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>G=FH\!</math>" можно заменить на условие "<math>|G|=|F|\,|H|\!</math>".</i></ul>
 <h3>1.3&nbsp; Кольца (часть 1)</h3>

@@ Строка 97: / Строка 97: @@
 <li>Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в <math>R[x]</math> (<math>R</math> — коммут. кольцо): <math>g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)</math>.
 <p><u>Лемма о степени многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо без делителей нуля и <math>f,g\in R[x]</math>; тогда <math>\deg\,(f\,g)=\deg f+\deg g</math>, а также <math>R[x]^\times\!=R^\times</math>.</i></p>
-<li>Неприводимые многочл. (<math>R</math> — обл. цел.): <math>\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\!\}</math>. Пример: если <math>K</math> — поле и <math>\deg f=1</math>, то <math>f\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>.
+<li>Неприводимые многочл. (<math>R</math> — обл. цел.): <math>\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\}</math>. Пример: если <math>K</math> — поле и <math>\deg f=1</math>, то <math>f\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>.
 <li><u>Лемма о делении многочленов с остатком.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f,g\in R[x]</math> и старший коэффициент многочлена <math>f</math> обратим; тогда<br>существуют единственные такие многочлены <math>q,t\in R[x]</math>, что <math>g=q\,f+t</math> и <math>\deg t<\deg f</math> (обозначения: <math>q=g\;\mathrm{div}\,f</math> и <math>t=g\;\mathrm{mod}\,f</math>).</i>
 <li>Кольцо остатков по модулю многочлена <math>f</math> (<math>K</math> — поле, <math>f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math>): <math>K[x]/f=\{a\in K[x]\mid\deg a<\deg f\}</math>. Утверждение: <math>K[x]/(f)\cong K[x]/f</math>.
@@ Строка 124: / Строка 124: @@
 <li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(2) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a+b}=\overline a+\overline b</math> и <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм тела <math>\,\mathbb H</math>).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i>
 <li>Группа <math>\mathrm S^3</math>: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}</math>. Утверждение: <math>\mathbb H^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^3</math>. Экспонента от кватерниона <math>a</math>: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
-<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>(1) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,b=b\,a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=1</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.<br>(2) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math> выполнено <math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;u</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!=\{\mathrm e^{\varphi\,u}\!\mid u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3,\,\varphi\in[0;\pi]\}</math>).</i></p>
+<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>(1) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,b=b\,a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=1</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.<br>(2) Для любых <math>\varphi\in\mathbb R</math> и таких <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}</math>, что <math>\|u\|=1</math>, выполнено <math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;u</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!=\{\mathrm e^{\varphi\,u}\!\mid\varphi\in[0;\pi],\,u\in\mathbb H_\mathrm{vect},\,\|u\|=1\}</math>).</i></p>
-<li><u>Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</u><br><i>(1) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\,v\end{align}\!\biggr)</math> — поворот вокруг нуля на угол <math>\varphi</math> против часовой стрелки.<br>(1') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\{\bigl(v\mapsto g\,v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).<br>(2) Пусть <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,v\,\mathrm e^{-\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот вокруг оси с направл. вектором <math>u</math> на угол <math>2\varphi</math> против часовой стрелки.<br>(2') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).</i></ul>
+<li><u>Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</u><br><i>(1) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\,v\end{align}\!\biggr)</math> — поворот на угол <math>\varphi</math> против часовой стрелки вокруг нуля.<br>(1') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\{\bigl(v\mapsto g\,v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).<br>(2) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>, <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}</math> и <math>\|u\|=1</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,v\,\mathrm e^{-\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот на угол <math>2\varphi</math> против час. стрелки вокруг оси с напр. вектором <math>u</math>.<br>(2') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).</i></ul>

@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 <h5>1.1.2&nbsp; Отображения</h5>
-<ul><li>Множество отображений, действующих из мн.-ва <math>X</math> в мн.-во <math>Y</math>: <math>\mathrm{Map}(X,Y)</math>. Область отобр.-я <math>f</math>: <math>\mathrm{Dom}\,f</math>, кообласть отобр.-я <math>f</math>: <math>\mathrm{Codom}\,f</math>. Примеры.
+<ul><li>Множество отображений, действующих из мн.-ва <math>X</math> в мн.-во <math>Y</math>: <math>\mathrm{Map}(X,Y)</math>. Область отобр.-я <math>f</math>: <math>\mathrm{Dom}\,f</math>. Кообласть отобр.-я <math>f</math>: <math>\mathrm{Codom}\,f</math>. Примеры.
 <li>Образ множества <math>A</math> относительно <math>f</math> (<math>A\subseteq X</math>): <math>f(A)</math>, прообраз множества <math>B</math> относительно <math>f</math> (<math>B\subseteq Y</math>): <math>f^{-1}(B)</math>, образ отображения <math>f</math>: <math>\mathrm{Im}\,f=f(X)</math>.
 <li>Сужения отображения <math>f</math> (<math>A\subseteq X</math> и <math>f(A)\subseteq B\subseteq Y</math>): <math>f|_A</math> и <math>f|_{A\to B}</math>. Сокращенная запись образа: <math>\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid\exists\,x\in X\;\bigl(f(x)=y\bigr)\}</math>.
@@ Строка 26: / Строка 26: @@
 <h5>1.1.3&nbsp; Отношения</h5>
-<ul><li>Множество отношений между множествами <math>X</math> и <math>Y</math>: <math>\mathrm{Rel}(X,Y)</math>. Область отношения <math>\Delta</math>: <math>\mathrm{Dom}\,\Delta</math>, кообласть отношения <math>\Delta</math>: <math>\mathrm{Codom}\,\Delta</math>. Примеры.
+<ul><li>Множество отношений между множествами <math>X</math> и <math>Y</math>: <math>\mathrm{Rel}(X,Y)</math>. Область отношения <math>\Delta</math>: <math>\mathrm{Dom}\,\Delta</math>. Кообласть отношения <math>\Delta</math>: <math>\mathrm{Codom}\,\Delta</math>. Примеры.
 <li>Отношения эквивалентности: <math>\mathrm{EquivRel}(X)=\{{\sim}\in\mathrm{Rel}(X,X)\mid\forall\,x,y,z\in X\;\bigl(x\sim x\,\land\,(x\sim y\,\Rightarrow\,y\sim x)\,\land\,(x\sim y\,\land\,y\sim z\,\Rightarrow\,x\sim z)\bigr)\}</math>.
 <li>Класс эквивалентности элемента <math>x</math>: <math>[x]_\sim\!=\{\breve x\in X\mid x\sim\breve x\}</math>. Утверждение: <math>x\sim\breve x\,\Leftrightarrow\,[x]_\sim\!=[\breve x]_\sim</math>. Фактормножество: <math>X/{\sim}=\{[x]_\sim\!\mid x\in X\}</math>.
@@ Строка 57: / Строка 57: @@
 <h5>1.2.3&nbsp; Подгруппы, классы смежности, циклические группы</h5>
-<ul><li>Подгруппа: <math>H\le G\,\Leftrightarrow\,H\cdot H\subseteq H\,\land\,1\in H\,\land\,H^{-1}\!\subseteq H</math>. Подгруппа, порожденная мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math> — наименьшая подгруппа, содержащая <math>D</math>.
+<ul><li>Подгруппа: <math>H\le G\,\Leftrightarrow\,H\,H\subseteq H\,\land\,1\in H\,\land\,H^{-1}\!\subseteq H</math>. Подгруппа, порожденная множеством <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math> — наименьшая подгруппа, содержащая <math>D</math>.
 <li>Утверждение: <i><math>\langle D\rangle=\{d_1^{\varepsilon_1}\!\cdot\ldots\cdot d_n^{\varepsilon_n}\!\mid n\in\mathbb N_0,\,d_1,\ldots,d_n\in D,\,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\in\{1,-1\}\}</math> (в частности, <math>\langle g\rangle=\{g^a\!\mid a\in\mathbb Z\}</math>)</i>. Пример: <math>(\mathbb Z/n)^+\!=\langle1\rangle</math>.
 <li>Отношения <math>\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim</math> и <math>\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim</math> (<math>H\le G</math>): <math>g\,\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\;\breve g\,\Leftrightarrow\,g^{-1}\breve g\in H</math> (<math>\Leftrightarrow\,gH=\breve gH</math>) и <math>g\;\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\,\breve g\,\Leftrightarrow\,\breve g\,g^{-1}\!\in H</math> (<math>\Leftrightarrow\,Hg=H\breve g</math>). Утверждение: <i><math>[g]\!_\underset{\;\,\scriptscriptstyle H}\sim\!=gH</math> и <math>[g]_\underset{\scriptscriptstyle H\;\,}\sim\!\!=Hg</math></i>.
@@ Строка 83: / Строка 83: @@
 <h5>1.3.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с кольцами</h5>
 <ul><li>Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
-<li>Примеры: числовые кольца, кольца остатков <math>\mathbb Z/n</math>, кольца функций <math>\mathrm{Func}(X,R)</math>. Аддитивная и мультипликативная группы кольца <math>R</math>: <math>R^+</math> и <math>R^\times</math>.
+<li>Примеры: числовые кольца, кольца остатков <math>\mathbb Z/n</math>, кольца функций <math>\mathrm{Func}(X,R)</math>. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца <math>R</math>: <math>R^+</math> и <math>R^\times</math>.
-<li>Подкольцо: <math>S\le R\,\Leftrightarrow\,S+S\subseteq S\,\land\,0\in S\,\land\,-S\subseteq S\,\land\,S\cdot S\subseteq S\,\land\,1\in S</math>. Подкольцо, порожденное мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math>. Подкольца вида <math>S[r]</math>.
+<li>Подкольцо: <math>S\le R\,\Leftrightarrow\,S+S\subseteq S\,\land\,0\in S\,\land\,-S\subseteq S\,\land\,S\,S\subseteq S\,\land\,1\in S</math>. Подкольцо, порожд. мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math> (в частности, <math>S[r]=\langle S\cup\{r\}\rangle</math>).
-<li>Идеал: <math>I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow\,I+I\subseteq I\,\land\,0\in I\,\land\,R\cdot I\cdot R\subseteq I</math>. Идеал, порожд. мн.-вом <math>T</math>: <math>(T)</math>. Пример: если <math>R</math> — коммут. кольцо и <math>r\in R</math>, то <math>(r)=rR</math>.
+<li>Идеал: <math>I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow\,I+I\subseteq I\,\land\,0\in I\,\land\,R\;I\,R\subseteq I</math>. Идеал, порожденный мн.-вом <math>T</math>: <math>(T)</math>. Пример: если <math>R</math> — коммут. кольцо и <math>r\in R</math>, то <math>(r)=rR</math>.
 <li>Ядро и образ гомоморфизма <math>f</math>: <math>\mathrm{Ker}\,f=f^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,f</math>. Факторкольцо: <math>R/I</math> с фактороперациями (<math>I\trianglelefteq R</math>). Корректность. Теорема о гомоморфизме.
 <p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>R,U</math> — кольца и <math>f\in\mathrm{Hom}(R,U)</math>; тогда <math>R/\,\mathrm{Ker}\,f\cong\mathrm{Im}\,f</math>.</i></p>

@@ Строка 102: / Строка 102: @@
 <li>Сокращенная запись: <math>f(a)=\bigl(\mathrm{pf}_A(f)\bigr)(a)</math>. Корень <math>a</math> многочлена <math>f</math> в кольце <math>A</math>: <math>f(a)=0</math>. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.
 <p><u>Теорема Безу.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f\in R[x]</math> и <math>r\in R</math>; тогда <math>f\;\mathrm{mod}\;(x-r)=f(r)</math> (и, значит, <math>(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0</math>).</i></p>
-<p><u>Теорема о количестве корней многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности и <math>f\in R[x]\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда <math>|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\le\deg f</math>, а также,<br>если <math>|R|=\infty</math>, то существует такой <math>r\in R</math>, что <math>f(r)\ne0</math> (и, значит, <math>\mathrm{pf}_R</math> — инъекция).</i></p>
+<p><u>Теорема о количестве корней многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности и <math>f\in R[x]\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда <math>|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\le\deg f</math>, а также,<br>если <math>|R|=\infty</math>, то существует такой элемент <math>r\in R</math>, что <math>f(r)\ne0</math> (и, значит, <math>\mathrm{pf}_R</math> — инъекция).</i></p>
 <li><u>Теорема Виета.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо, <math>n\in\mathbb N</math>, <math>f_0,\ldots,f_{n-1},r_1,\ldots,r_n\in R</math> и <math>x^n+f_{n-1}x^{n-1}+\ldots+f_0=(x-r_1)\cdot\ldots\cdot(x-r_n)</math>; тогда для<br>любых <math>k\in\{0,\ldots,n-1\}</math> выполнено <math>f_k=(-1)^{n-k}\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_{n-k}\le n}\!\!\!\!\!r_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot r_{i_{n-k}}</math> (в частности, <math>f_0=(-1)^n\,r_1\cdot\ldots\cdot r_n</math> и <math>f_{n-1}=-(r_1+\ldots+r_n)</math>).</i></ul>
@@ Строка 119: / Строка 119: @@
 <ul><li>Кольцо кватернионов: <math>\mathbb H=\{\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k\mid\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb R\}</math>, где <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math>, а также <math>\mathrm i\,\mathrm j=-\mathrm j\,\mathrm i=\mathrm k</math>, <math>\mathrm j\,\mathrm k=-\mathrm k\,\mathrm j=\mathrm i</math>, <math>\mathrm k\,\mathrm i=-\mathrm i\,\mathrm k=\mathrm j</math>.
 <li>Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: <math>\mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\alpha</math> и <math>\mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k</math>.
-<li>Чистые кватернионы: <math>\mathbb H_\mathrm{vect}=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{Re}(v)=0\}</math>. Скалярное произвед.-е, норма, векторное произвед.-е в <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math>: <math>(v\!\mid\!v')</math>, <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>, <math>v\times v'</math>.
+<li>Чистые кватернионы: <math>\mathbb H_\mathrm{vect}\!=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{Re}(v)=0\}</math>. Скалярное произвед.-е, векторное произвед.-е, норма в <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math>: <math>(v\!\mid\!w)</math>, <math>v\times w</math>, <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>.
-<li>Сопряж.-е: <math>\overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)</math>. Модуль: <math>|a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\|\mathrm{Im}(a)\|^2}</math>. Утверждение: <math>(\alpha+v)(\alpha'+v')=(\alpha\alpha'-(v\!\mid\!v'))+(\alpha v'+\alpha'v+v\times v')</math>.
+<li>Утверждение: <i>пусть <math>v,w\in\mathbb H_\mathrm{vect}</math>; тогда <math>\,v\,w=-(v\!\mid\!w)+v\times w</math></i>. Сопряжение: <math>\overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)</math>. Модуль: <math>|a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\|\mathrm{Im}(a)\|^2}</math>.
 <li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(2) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a+b}=\overline a+\overline b</math> и <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм тела <math>\,\mathbb H</math>).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i>
 <li>Группа <math>\mathrm S^3</math>: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}</math>. Утверждение: <math>\mathbb H^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^3</math>. Экспонента от кватерниона <math>a</math>: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
 <p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>(1) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,b=b\,a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=1</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.<br>(2) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math> выполнено <math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;u</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!=\{\mathrm e^{\varphi\,u}\!\mid u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3,\,\varphi\in[0;\pi]\}</math>).</i></p>
 <li><u>Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</u><br><i>(1) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\,v\end{align}\!\biggr)</math> — поворот вокруг нуля на угол <math>\varphi</math> против часовой стрелки.<br>(1') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\{\bigl(v\mapsto g\,v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).<br>(2) Пусть <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,v\,\mathrm e^{-\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот вокруг оси с направл. вектором <math>u</math> на угол <math>2\varphi</math> против часовой стрелки.<br>(2') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).</i></ul>