Алгебра phys 1 весна 2016 - История изменений

Goryachko в 19:00, 22 июня 2017

2017-06-22T19:00:32Z

Goryachko в 14:00, 21 июня 2017

2017-06-21T14:00:21Z

Goryachko в 20:00, 20 июня 2017

2017-06-20T20:00:22Z

Внесённые изменения

Goryachko в 14:00, 3 января 2017

2017-01-03T14:00:02Z

Goryachko в 15:00, 12 октября 2016

2016-10-12T15:00:06Z

Goryachko в 14:30, 12 октября 2016

2016-10-12T14:30:37Z

Goryachko в 09:20, 10 сентября 2016

2016-09-10T09:20:11Z

Внесённые изменения

Goryachko в 16:00, 21 августа 2016

2016-08-21T16:00:12Z

Внесённые изменения

Goryachko в 23:40, 25 июня 2016

2016-06-25T23:40:40Z

Goryachko в 13:00, 24 июня 2016

2016-06-24T13:00:47Z

@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 <h5>2.1.3&nbsp; Преобразования координат при замене базиса</h5>
-<ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e</math> и <math>\,\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm c_\tilde e^e)^{-1}</math></i>.
+<ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <math>\forall\,e,\tilde e,\tilde{\tilde e}\in\mathrm{OB}(V)\;\bigl(\mathrm c_\tilde e^\tilde{\tilde e}\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde{\tilde e}\,\land\,\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm c_\tilde e^e)^{-1}\bigr)</math>.
 <li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>.
 <li>Преобразование координат гомоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись (если <math>a</math> — эндоморфизм): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>

@@ Строка 87: / Строка 87: @@
 <ul><li>Симметрическая группа: <math>\mathrm S_n=\mathrm S(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
 <li>Утверждение: <math>(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)=(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)</math>. Утверждение: <math>u\circ(i_1\;\ldots\;i_l)\circ u^{-1}=(u(i_1)\;\ldots\;u(i_l))</math>.
 <li>Транспозиции <math>\{(i\;\,j)\mid i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i<j\}</math> и фундаментальные транспозиции <math>\{(i\;\,i+1)\mid i\in\{1,\ldots,n-1\}\}</math>. Число циклов <math>\kappa(u)</math>.
 <li><u>Лемма об умножении на транспозицию.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N\!\setminus\!\{1\}</math>, <math>u\in\mathrm S_n</math>, <math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i<j</math>; тогда<br>(1) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат одному циклу в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)+1</math>;<br>(2) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат разным циклам в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)-1</math>.</i>
@@ Строка 186: / Строка 185: @@
 <h5>2.7.3&nbsp; Тело кватернионов</h5>
 <ul><li><math>\mathbb R</math>-Алгебра кватернионов: <math>\mathbb H=\{\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k\mid\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb R\}</math>, где <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math> и <math>\mathrm i\,\mathrm j=-\mathrm j\,\mathrm i=\mathrm k</math>, <math>\mathrm j\,\mathrm k=-\mathrm k\,\mathrm j=\mathrm i</math>, <math>\mathrm k\,\mathrm i=-\mathrm i\,\mathrm k=\mathrm j</math>.
-<li>Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: <math>\mathrm{re}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\alpha</math> и <math>\mathrm{im}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k</math>.
+<li>Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: <math>\mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\alpha</math> и <math>\mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k</math>.
-<li>Сопряжение: <math>\overline a=\mathrm{re}(a)-\mathrm{im}(a)</math>. Модуль: <math>|a|=\!\sqrt{\mathrm{re}(a)^2+\|\mathrm{im}(a)\|^2}</math>. Чистые кватернионы: <math>\mathbb H_\mathrm{vect}=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{re}(v)=0\}=\{v\in\mathbb H\mid\overline v=-v\}</math>.
+<li>Сопряжение: <math>\overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)</math>. Модуль: <math>|a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\|\mathrm{Im}(a)\|^2}</math>. Чистые кватерн.-ы: <math>\mathbb H_\mathrm{vect}=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{Re}(v)=0\}=\{v\in\mathbb H\mid\overline v=-v\}</math>.
 <li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>\alpha,\alpha'\in\mathbb R</math> и <math>v,v'\in\mathbb H_\mathrm{vect}</math> выполнено <math>(\alpha+v)(\alpha'+v')=(\alpha\alpha'-(v,v'))+(\alpha v'+\alpha'v+v\times v')</math>.<br>(2) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм алгебры <math>\,\mathbb H</math>).<br>(4) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i>
-<li>Трехмерная сфера: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}\triangleleft\mathbb H^\times</math>. Утверждение: <i>пусть <math>g,g'\in\mathrm S^3</math>; тогда <math>\forall\,a\in\mathbb H\;\bigl(|g\,a\,g'|=|a|\bigr)</math> и <math>\forall\,v\in\mathbb H_\mathrm{vect}\,\bigl(g\,v\,g^{-1}\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr)</math></i>.
+<li>Трехмерная сфера: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}\triangleleft\mathbb H^\times</math>. Утверждение: <i>пусть <math>g,g'\in\mathrm S^3</math>; тогда <math>\forall\,a\in\mathbb H\;\bigl(|g\,a\,g'|=|a|\bigr)</math> и <math>\forall\,v\in\mathbb H_\mathrm{vect}\,\bigl(g\,v\,g^{-1}\!\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr)</math></i>.
 <li><u>Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами.</u> <i>Отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный<br>гомоморфизм алгебр с <math>1</math>, и его образ есть <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C\bigr\}</math> (и, значит, <math>\mathbb H\cong\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C\bigr\}</math>).</i></ul>

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса,<br>особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики.<br>Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и<br>до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести<br>квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли<br>правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться<br>игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения)<br>также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной.<br>То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за<br>листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб-<br>разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю-<br>щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго<br>пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст-<br>венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело-<br>век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-)</td></tr><tr align="right"><td><i>По мотивам комментария в Живом Журнале ([http://avva.livejournal.com/2932837.html avva.livejournal.com/2932837.html])</i></td></tr></table></td></tr></table><br>
-[[Алгебра_phys_1_февраль–март_2016|<font size="3"><b><u>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</u></b></font>]]
+[[Алгебра_phys_1_февраль–март|<font size="3"><b>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>]]
 <font size="3"><b>Содержание первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>

@@ Строка 73: / Строка 73: @@
 <h5>2.6.3&nbsp; Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике</h5>
 <ul><li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>f(a)=\mathrm c_e^{\mathrm{se}}\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_{\mathrm{se}}^e</math></i>. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
-<li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Пример вычисления экспоненты: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\varphi\\\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
+<li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Пример вычисления экспоненты: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&\varphi\\-\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
 <p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых таких <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math>, что <math>a\circ b=b\circ a</math>, выполнено <math>\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math>;<br>(2) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>, а также <math>\det\mathrm e^a\!=\mathrm e^{\mathrm{tr}\,a}</math>.</i></p>
 <li>Однородная система линейных дифференциальных уравнений: <math>y'=a\cdot y</math> (<math>y\in\mathrm C^1\!(\mathbb R,\mathbb C^n)</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>). Решение: <math>y(x)=\mathrm e^{xa}\!\cdot v</math> (<math>v\in\mathbb C^n</math>).
@@ Строка 96: / Строка 96: @@
 <li>Пространство однородных многочленов степени <math>k</math>: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>. Алгебра многочленов: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=\bigoplus_{k=0}^\infty K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>.
 <li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}&\mapsto e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i>
-<li>Идеалы <math>I_\mathrm S</math> и <math>I_\mathrm A</math>: <math>I_\mathrm S\!=\bigl(\{x_i\otimes x_j-x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\bigr)</math>, <math>I_\mathrm A\!=\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_i\otimes x_i\mid i\in\{1,\ldots,n\}\}\bigr)</math>.
+<li>Идеалы <math>I_\mathrm S</math> и <math>I_\mathrm A</math>: <math>I_\mathrm S=\bigl(\{x_i\otimes x_j-x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\bigr)</math>, <math>I_\mathrm A=\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_i\otimes x_i\mid i\in\{1,\ldots,n\}\}\bigr)</math>.
 <li>Алгебры многочл. от коммутирующих и антикоммутирующих перем.: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/I_\mathrm S</math>, <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/I_\mathrm A</math>.</ul>
@@ Строка 144: / Строка 144: @@
 <font size="3"><b>Правила проведения экзамена</b></font>
 <ul><li>На экзамене можно использовать только написанные выше подробный план курса и список вопросов (желательно иметь распечатки).
-<li>«Строки» в списке вопросов нужно понимать либо как «настоящие строки» в плане материала курса (например, строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.5.1),<br>либо в естественном обобщенном смысле (например, строки 5, 6, 7 пункта 2.5.1 суть «настоящие строки» 5, 6, 7, 8, 9).
+<li>«Строки» в списке вопросов нужно понимать либо как «настоящие строки» в подробном плане курса (например, строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.5.1),<br>либо в естественном обобщенном смысле (например, строки 5, 6, 7 пункта 2.5.1 суть «настоящие строки» 5, 6, 7, 8, 9).
 <li>При ответе на вопрос должен быть подробно рассказан материал строк, указанных в вопросе (например, если строка содержит определения,<br>то к ним должны быть приведены примеры; если строка содержит утверждения или теоремы, то они должны быть полностью доказаны).
 <li>На экзамене нужно ответить на два вопроса: один с номером от 1 до 16 (то есть по пунктам о линейных операторах), один с номером от 17 до 25<br>(то есть по пунктам об алгебрах). Кроме того, будут заданы дополнительные вопросы и упражнения на знание определений и формулировок по<br>всем пунктам второй половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично», будет дана задача.
-<li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность использовать<br>на экзамене план материала курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).</ul>
+<li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность использовать<br>на экзамене подробный план курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).</ul>

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса,<br>особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики.<br>Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и<br>до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести<br>квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли<br>правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться<br>игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения)<br>также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной.<br>То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за<br>листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб-<br>разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю-<br>щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго<br>пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст-<br>венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело-<br>век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-)</td></tr><tr align="right"><td><i>По мотивам комментария в Живом Журнале ([http://avva.livejournal.com/2932837.html avva.livejournal.com/2932837.html])</i></td></tr></table></td></tr></table><br>
-[[Алгебра_phys_1_февраль–март_2016|<font size="3"><b><u>Материал первой половины второго семестра курса алгебры</u></b></font>]]
+[[Алгебра_phys_1_февраль–март_2016|<font size="3"><b><u>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</u></b></font>]]
 <font size="3"><b>Содержание первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>
@@ Строка 26: / Строка 26: @@
 <li>2.4.4&nbsp; Миноры матрицы и присоединенная матрица</ul><br>
-<font size="3"><b><u>Материал второй половины второго семестра курса алгебры</u></b></font>
+<font size="3"><b><u>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</u></b></font>
 <h3>2.5&nbsp; Линейные операторы (часть 2)</h3>
@@ Строка 95: / Строка 95: @@
 <li>Моном (слово) от свободных переменных <math>x_1,\ldots,x_n</math> степени <math>k</math>: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math> (<math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math>). Моноид слов <math>\mathrm W_\otimes(x_1,\ldots,x_n)</math>.
 <li>Пространство однородных многочленов степени <math>k</math>: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>. Алгебра многочленов: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=\bigoplus_{k=0}^\infty K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>.
-<li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}&\mapsto e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i></ul>
+<li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}&\mapsto e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i>
 <h5>2.7.3&nbsp; Тело кватернионов</h5>
@@ Строка 141: / Строка 143: @@
 <font size="3"><b>Правила проведения экзамена</b></font>
-<ul><li>На экзамене можно использовать только написанные выше план материала курса и список вопросов (желательно иметь распечатки).
+<ul><li>На экзамене можно использовать только написанные выше подробный план курса и список вопросов (желательно иметь распечатки).
 <li>«Строки» в списке вопросов нужно понимать либо как «настоящие строки» в плане материала курса (например, строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.5.1),<br>либо в естественном обобщенном смысле (например, строки 5, 6, 7 пункта 2.5.1 суть «настоящие строки» 5, 6, 7, 8, 9).
 <li>При ответе на вопрос должен быть подробно рассказан материал строк, указанных в вопросе (например, если строка содержит определения,<br>то к ним должны быть приведены примеры; если строка содержит утверждения или теоремы, то они должны быть полностью доказаны).
 <li>На экзамене нужно ответить на два вопроса: один с номером от 1 до 16 (то есть по пунктам о линейных операторах), один с номером от 17 до 25<br>(то есть по пунктам об алгебрах). Кроме того, будут заданы дополнительные вопросы и упражнения на знание определений и формулировок по<br>всем пунктам второй половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично», будет дана задача.
-<li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность использовать<br>на экзамене план материала курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).</ul><br>
+<li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность использовать<br>на экзамене план материала курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).</ul>
-−
-<h2>3&nbsp; Билинейная и полилинейная алгебра</h2>
-−
-<table cellpadding="6" cellspacing="0">
-<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)<br>или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-<br>менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.<br>Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-<br>ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих<br>пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.</td></tr><tr align="right"><td>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор<i>Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии</i>]</td></tr></table></td></tr>
-<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров)<br>и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)</td></tr></table></td></tr></table>

@@ Строка 91: / Строка 91: @@
 <h5>1.7.2&nbsp; Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных</h5>
 <ul><li>Тензорное произведение полилинейных форм: <math>(\omega\otimes\omega')(v_1,\ldots,v_k,v_1',\ldots,v_{k'}')=\omega(v_1,\ldots,v_k)\,\omega'(v_1',\ldots,v_{k'}')</math>. Свойства операции <math>\otimes</math>.
-<li>Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>n=\dim V</math>; тогда множество <math>\{e_{j_1}^*\!\otimes\ldots\otimes e_{j_k}^*\!\mid j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{Multi}_kV</math></i>.
+<li>Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>n=\dim V</math>; тогда множество <math>\{e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\mid j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{Multi}_kV</math></i>.
 <li>Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): <math>\mathrm{Multi}(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathrm{Multi}_kV</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Multi}(V)</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math></i>.
-<li>Моном (слово) от свободных переменных <math>x_1,\ldots,x_n</math> степени <math>k</math>: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math> (<math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math>). Моноид слов <math>\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)</math>.
+<li>Моном (слово) от свободных переменных <math>x_1,\ldots,x_n</math> степени <math>k</math>: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math> (<math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math>). Моноид слов <math>\mathrm W_\otimes(x_1,\ldots,x_n)</math>.
-<li>Пространство однородных многочленов степени <math>k</math>: <math>K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle_k</math>. Алгебра многочленов: <math>K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle=\bigoplus_{k=0}^\infty K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle_k</math>.
+<li>Пространство однородных многочленов степени <math>k</math>: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>. Алгебра многочленов: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=\bigoplus_{k=0}^\infty K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>.
-<li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}&\mapsto e_{j_1}^*\!\otimes\ldots\otimes e_{j_k}^*\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i></ul>
+<li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}&\mapsto e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i></ul>
 <h5>1.7.3&nbsp; Тело кватернионов</h5>