Алгебра phys 1 апрель–май - История изменений

Goryachko в 20:00, 20 мая 2020

2020-05-20T20:00:30Z

Goryachko в 19:00, 10 мая 2020

2020-05-10T19:00:30Z

Goryachko в 20:00, 7 мая 2020

2020-05-07T20:00:38Z

Goryachko в 19:00, 7 мая 2020

2020-05-07T19:00:45Z

Goryachko в 17:00, 7 мая 2020

2020-05-07T17:00:34Z

Внесённые изменения

Goryachko в 21:00, 9 апреля 2019

2019-04-09T21:00:31Z

Goryachko в 17:00, 25 января 2019

2019-01-25T17:00:34Z

Goryachko в 21:00, 24 января 2019

2019-01-24T21:00:50Z

Goryachko в 09:00, 7 января 2019

2019-01-07T09:00:33Z

Goryachko в 18:00, 5 января 2019

2019-01-05T18:00:31Z

@@ Строка 51: / Строка 51: @@
 <li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(cm_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,cm_i>0\bigr)</math>.</i>
 <li>Индексы инерции формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}</math>.
-<li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i>
+<li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid\sigma(e_i,e_i)>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid\sigma(e_i,e_i)>0\}|</math> не зависит от <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid\sigma(e_i,e_i)<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid\sigma(e_i,e_i)<0\}|</math> не зависит от <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i>
 <li><u>Теорема о классификации пространств с формой.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>\varphi\in\overline\mathrm{SBi}(Y)</math>; тогда <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)</math>, если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>, <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)</math>.</i>
 <li>Сигнатура формы <math>\sigma</math>: <math>(\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)</math>). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul>

@@ Строка 72: / Строка 72: @@
 <li>Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>.
 <li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама.
-<p><u>Лемма об объеме и матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово простр.-во с ориентацией, <math>n=\dim V</math>, <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}</math>;<br>(2) для любых <math>w_1,\ldots,w_n\in V</math> выполнено <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\cdot\mathrm{vol}(w_1,\ldots,w_n)=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(w_1,\ldots,w_n)}</math>.</i></p>
+<p><u>Лемма об объеме и матрице Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> с ориентацией, <math>n=p+q</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}</math>;<br>(2) для любых <math>w_1,\ldots,w_n\in V</math> выполнено <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\cdot\mathrm{vol}(w_1,\ldots,w_n)=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(w_1,\ldots,w_n)}</math>.</i></p>
 <li>Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>.
 <li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда<br>(1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}}</math>;<br>(2) если <math>m\ge1</math> и <math>\hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|\hat v_m\|</math>.</i>
 <li>Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>).
 <li>Векторное произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\sigma^{i,j_n}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении.
-<p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пр.-во с ориентацией, <math>n=\dim V\ge1</math>, <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>, а также векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, если и только если <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math>;<br>(2) если <math>q=0</math>, то <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math> и, если <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, то <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(3) для любых <math>w_1,\ldots,w_{n-1}\in V</math> выполнено <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}</math>;<br>(4) если <math>n=3</math> и <math>q=0</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p></ul>
+<p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пр.-во сигнатуры <math>(p,q)</math> с ориентацией, <math>n=p+q\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>, а также <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math>, если и только если векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы;<br>(2) если <math>q=0</math>, то <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math> и, если <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, то <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(3) для любых <math>w_1,\ldots,w_{n-1}\in V</math> выполнено <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}</math>;<br>(4) если <math>n=3</math> и <math>q=0</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p></ul>
 <h3>10&nbsp;&nbsp; Алгебры</h3>

@@ Строка 57: / Строка 57: @@
 <h5>9.2&nbsp; Предгильбертовы пространства</h5>
 <ul><li>Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: <math>(\,\mid\,)</math>. Примеры: <math>(v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w</math>, <math>(f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g</math>.
-<li>Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb C</math>.
+<li>Евклидово<math>\,/\,</math>унитарное пр.-во — конечномерн. вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math><math>\,/\,</math><math>\mathbb C</math> с полож. опред. формой, то есть конечномерн. предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math><math>\,/\,</math><math>\mathbb C</math>.
 <li>Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: <math>\ell^2</math>.
 <li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i>

@@ Строка 62: / Строка 62: @@
 <li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расстояние между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстояниях и проекциях.
 <p><u>Теорема о расстояниях и проекциях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\!\le V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,v'\!\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>;<br>(2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{proj}_U\!+\mathrm{proj}_{U^\perp}\!\!=\mathrm{id}_V</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\|\mathrm{proj}_{U^\perp}\!(v)\|</math>;<br>(4) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{i=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{i=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это неравенство Бесселя).</i></p>
-<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>.
+<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math> и <math>\mathrm{rk}(a)=n</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>, где <math>X=\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}</math>.
 <li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\arccos\frac{\|\mathrm{proj}_U(v)\|}{\|v\|}</math>.
 <li>Псевдоевклидово<math>\,/\,</math>псевдоунитарное пр.-во сигнатуры <math>(p,q)</math> — кон.-мерн. вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math><math>\,/\,</math><math>\mathbb C</math> с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры <math>(p,q)</math>.</ul>
@@ Строка 77: / Строка 77: @@
 <li>Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>).
 <li>Векторное произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\sigma^{i,j_n}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении.
-<p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пр.-во с ориентацией, <math>n=\dim V\ge1</math>, <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>, а также векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, если и только если <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math>;<br>(2) если <math>q=0</math>, то <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math> и, если <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math>, то <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(3) для любых <math>w_1,\ldots,w_{n-1}\in V</math> выполнено <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}</math>;<br>(4) если <math>n=3</math> и <math>q=0</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p></ul>
+<p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пр.-во с ориентацией, <math>n=\dim V\ge1</math>, <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>, а также векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, если и только если <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math>;<br>(2) если <math>q=0</math>, то <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math> и, если <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, то <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(3) для любых <math>w_1,\ldots,w_{n-1}\in V</math> выполнено <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}</math>;<br>(4) если <math>n=3</math> и <math>q=0</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p></ul>
 <h3>10&nbsp;&nbsp; Алгебры</h3>

@@ Строка 30: / Строка 30: @@
 <li><u>Теорема о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math> и<br><math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>(v_1,\ldots,v_m)\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i>
 <li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополнение: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>.
-<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+w&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</i></ul>
+<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U^\perp\!=\dim V-\dim U</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+w&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</i></ul>
 <h5>8.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>

@@ Строка 30: / Строка 30: @@
 <li><u>Теорема о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math> и<br><math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>(v_1,\ldots,v_m)\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i>
 <li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополнение: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>.
-<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</i></ul>
+<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+w&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</i></ul>
 <h5>8.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>
@@ Строка 60: / Строка 60: @@
 <li>Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: <math>\ell^2</math>.
 <li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i>
-<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расстояние между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстоянии и проекциях.
+<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расстояние между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстояниях и проекциях.
-<p><u>Теорема о расстоянии и проекциях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\!\le V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,v'\!\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>;<br>(2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{proj}_U\!+\mathrm{proj}_{U^\perp}\!\!=\mathrm{id}_V</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\|\mathrm{proj}_{U^\perp}\!(v)\|</math>;<br>(4) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это нерав.-во Бесселя).</i></p>
+<p><u>Теорема о расстояниях и проекциях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\!\le V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,v'\!\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>;<br>(2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{proj}_U\!+\mathrm{proj}_{U^\perp}\!\!=\mathrm{id}_V</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\|\mathrm{proj}_{U^\perp}\!(v)\|</math>;<br>(4) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это нерав.-во Бесселя).</i></p>
 <li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>.
 <li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\arccos\frac{\|\mathrm{proj}_U(v)\|}{\|v\|}</math>.
@@ Строка 99: / Строка 99: @@
 <li>Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли: <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)</math>, <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)</math> и <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math>.
 <p><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; обозначим через <math>{}_K\mathfrak g</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся<br>из алгебры <math>\mathfrak g</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i></p>
-<li>Алгебра дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
+<li>Алгебра Ли дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
 <li>Пример: пусть <math>M</math> — открытое множество в <math>\mathbb R^n</math> и <math>v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math>; тогда <math>\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)</math> — дифференцирование алгебры <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>.</ul>

@@ Строка 94: / Строка 94: @@
 <ul><li><math>K</math>-Алгебра Ли — <math>K</math>-алгебра, умножение в которой антисимметрично (<math>[a,a]=0</math>) и удовлетв.-т тождеству Якоби (<math>[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0</math>).
 <li>Коммутатор эл.-тов ассоциативной алгебры: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^{(-)}</math>: вект. простр.-во <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,]</math>. Утверждение: <i><math>A^{(-)}</math> — алгебра Ли</i>.
-<li>Примеры: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^{(-)}</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но <math>\times</math>, <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathbb H^{(-)}</math>.
+<li>Примеры: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^{(-)}</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, трехмерное евклид. пр.-во с ориент. относ.-но <math>\times</math>, <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — подалгебра алгебры <math>\mathbb H^{(-)}</math>.
-<li>Матричные алгебры Ли: <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak{sl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}</math>, <math>\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!=-\overline a\}</math>, <math>\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)</math>.
+<li>Матричные алгебры Ли: <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak{sl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}</math>, <math>\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid\overline a^\mathtt T\!=-a\}</math>, <math>\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)</math>.
 <li><u>Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли.</u> <i>Пусть <math>\alpha\in[-\infty;0)</math>, <math>\beta\in(0;\infty]</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm{Mat}(n,\mathbb C))</math> и <math>\gamma(0)=\mathrm{id}_n</math>; тогда<br>(1) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R)</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)</math>;<br>(2) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{so}(n)</math>, а также, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak u(n)</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{su}(n)</math>.</i>
 <li>Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли: <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)</math>, <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)</math> и <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math>.

@@ Строка 88: / Строка 88: @@
 <li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умнож.-е в <math>K[M]</math>: свертка.
 <li>Алгебра многочленов от свободн. (некоммут.) перем.: <math>K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]</math>. Одночлены: <math>x_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{i_k}</math>. Степень. Однородн. многочлены.
-<li>Алгебра многочленов от комм. перем.: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]</math>. Одночлены: <math>x_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{i_k}</math> (<math>i_1\le\ldots\le i_k</math>). Степень. Однор. многочлены.
+<li>Алгебра многочленов от коммутирующих переменных: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]\cong K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle/\bigl(\{x_ix_j-x_jx_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\bigr)</math>.
 <li>Алгебра многочленов от антикоммут. (грассмановых) перем.: <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle/\bigl(\{x_ix_j+x_jx_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_1^2,\ldots,x_n^2\}\bigr)</math>.</ul>
@@ Строка 96: / Строка 96: @@
 <li>Примеры: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^{(-)}</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но <math>\times</math>, <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathbb H^{(-)}</math>.
 <li>Матричные алгебры Ли: <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak{sl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}</math>, <math>\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!=-\overline a\}</math>, <math>\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)</math>.
-<li><u>Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли.</u> <i>Пусть <math>\alpha\in[-\infty;0){}</math>, <math>\beta\in(0;\infty]{}</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)){}</math> и <math>\gamma(0)=\mathrm{id}_n{}</math>; тогда<br>(1) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R){}</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C){}</math>;<br>(2) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{so}(n){}</math>, а также, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak u(n){}</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{su}(n){}</math>.</i>
+<li><u>Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли.</u> <i>Пусть <math>\alpha\in[-\infty;0)</math>, <math>\beta\in(0;\infty]</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm{Mat}(n,\mathbb C))</math> и <math>\gamma(0)=\mathrm{id}_n</math>; тогда<br>(1) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R)</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)</math>;<br>(2) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{so}(n)</math>, а также, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak u(n)</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n)</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{su}(n)</math>.</i>
 <li>Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли: <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)</math>, <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)</math> и <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math>.
 <p><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; обозначим через <math>{}_K\mathfrak g</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся<br>из алгебры <math>\mathfrak g</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i></p>
 <li>Алгебра дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
 <li>Пример: пусть <math>M</math> — открытое множество в <math>\mathbb R^n</math> и <math>v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math>; тогда <math>\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)</math> — дифференцирование алгебры <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>.</ul>