Алгебраические структуры 5 2015 - История изменений

Goryachko в 14:00, 21 июня 2017

2017-06-21T14:00:13Z

Goryachko в 20:00, 20 июня 2017

2017-06-20T20:00:07Z

Внесённые изменения

Goryachko в 23:00, 19 декабря 2016

2016-12-19T23:00:50Z

Goryachko в 21:10, 19 декабря 2016

2016-12-19T21:10:18Z

Goryachko в 20:50, 19 декабря 2016

2016-12-19T20:50:26Z

Goryachko в 16:40, 19 декабря 2016

2016-12-19T16:40:14Z

Goryachko в 15:11, 19 декабря 2016

2016-12-19T15:11:01Z

Goryachko в 01:00, 19 декабря 2016

2016-12-19T01:00:41Z

Goryachko в 18:00, 14 декабря 2016

2016-12-14T18:00:22Z

Goryachko в 00:10, 14 декабря 2016

2016-12-14T00:10:22Z

@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 <h2>Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности</h2>
 <table cellpadding="6" cellspacing="0">
-<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться<br>неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции.</td></tr><tr align="right"><td><i>Ю.И. Манин. Математика как метафора</i></td></tr></table></td></tr></table><br>
+<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться<br>неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции.</td></tr><tr align="right"><td><i>Ю.И. Манин. Математика как метафора</i></td></tr></table></td></tr></table>
 Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных<br>(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.

@@ Строка 30: / Строка 30: @@
 Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и<br>структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math> (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,<br>определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.
-<h2>Дифференциальные операции на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2>
+<h2>Дифференциальные операторы на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2>
 Рассмотрим множество <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом<br>согласованности системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти координаты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом<br>элемента длины») <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и формой объема («элементом объема») <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math> (в записи с тензорным произведением<br><math>\sigma=\mathrm dx\otimes\mathrm dx+\mathrm dy\otimes\mathrm dy+\mathrm dz\otimes\mathrm dz</math> и <math>vol=\mathrm dx\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dz+\mathrm dy\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dx+\mathrm dz\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dy-\mathrm dx\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dy-\mathrm dz\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dx-\mathrm dy\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dz</math>).
@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 <li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем лапласиан функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\Delta f=\mathrm{div}(\nabla f)=\mathrm{div}\Bigl(\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\Bigl(\partial_1\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\Bigr)+\partial_2\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\Bigr)+\partial_3\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}{\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\Bigr)\!\Bigr)</math>.</ul>
-Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры нуль)<br>являются цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>. Ниже найдены функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для этих<br>систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операций, можно найти формулы<br>для дифференциальных операций в цилиндрической и сферической системах координат.
+Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры нуль)<br>являются цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>. Ниже найдены функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для этих<br>систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операторов, можно найти формулы<br>для рассматриваемых дифференциальных операторов в цилиндрической и сферической системах координат.
 <ul><li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для цилиндрической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=\rho^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>.

@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 <li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем лапласиан функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\Delta f=\mathrm{div}(\nabla f)=\mathrm{div}\Bigl(\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\Bigl(\partial_1\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\Bigr)+\partial_2\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\Bigr)+\partial_3\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}{\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\Bigr)\!\Bigr)</math>.</ul>
-Нетривиальные примеры ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры <math>0</math>) суть<br>цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>. Ниже найдены функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для этих систем<br>координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операций, можно написать формулы для<br>дифференциальных операций в цилиндрической и сферической системах координат.
+Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры нуль)<br>являются цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>. Ниже найдены функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для этих<br>систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операций, можно найти формулы<br>для дифференциальных операций в цилиндрической и сферической системах координат.
-<ul><li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для цилиндрической системы координат: <math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>,<br><math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=\rho^2</math> и <math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>.
+<ul><li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для цилиндрической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=\rho^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>.
-<li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для сферической системы координат: <math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>,<br><math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!=r^2</math> и<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=r^2\sin^2\theta</math>.</ul>
+<li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для сферической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!=r^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=r^2\sin^2\theta</math>.</ul>

@@ Строка 32: / Строка 32: @@
 <h2>Дифференциальные операции на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2>
-Рассмотрим множество <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом<br>согласованности системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти координаты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом<br>элемента длины») <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и формой объема («элементом объема») <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math>.
+Рассмотрим множество <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом<br>согласованности системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти координаты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом<br>элемента длины») <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и формой объема («элементом объема») <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math> (в записи с тензорным произведением<br><math>\sigma=\mathrm dx\otimes\mathrm dx+\mathrm dy\otimes\mathrm dy+\mathrm dz\otimes\mathrm dz</math> и <math>vol=\mathrm dx\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dz+\mathrm dy\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dx+\mathrm dz\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dy-\mathrm dx\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dy-\mathrm dz\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dx-\mathrm dy\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dz</math>).
-Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — система координат на <math>\mathbb R^3</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm dx=\frac{\partial x}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial x}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial x}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>, <math>\mathrm dy=\frac{\partial y}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial y}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial y}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math> и <math>\mathrm dz=\frac{\partial z}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial z}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial z}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2+2\,\sigma_{1,2}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^2+2\,\sigma_{1,3}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^3+2\,\sigma_{2,3}\,\mathrm dx^2\,\mathrm dx^3</math>, где для любых<br><math>i,j\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\sigma_{i,j}=\frac{\partial x}{\partial x^i}\frac{\partial x}{\partial x^j}+\frac{\partial y}{\partial x^i}\frac{\partial y}{\partial x^j}+\frac{\partial z}{\partial x^i}\frac{\partial z}{\partial x^j}</math>;<br>(3) <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}</math> есть якобиан замены координат при переходе от коорд. <math>(x^1,x^2,x^3)</math> к коорд. <math>(x,y,z)</math>.
+Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — система координат на <math>\mathbb R^3</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm dx=\frac{\partial x}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial x}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial x}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>, <math>\mathrm dy=\frac{\partial y}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial y}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial y}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math> и <math>\mathrm dz=\frac{\partial z}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial z}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial z}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2+2\,\sigma_{1,2}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^2+2\,\sigma_{1,3}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^3+2\,\sigma_{2,3}\,\mathrm dx^2\,\mathrm dx^3</math>, где для любых<br><math>j_1,j_2\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\sigma_{j_1,j_2}\!=\frac{\partial x}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial x}{\partial x^{j_2}}+\frac{\partial y}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial y}{\partial x^{j_2}}+\frac{\partial z}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial z}{\partial x^{j_2}}</math>;<br>(3) <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}</math> есть якобиан замены координат при переходе от коорд. <math>(x^1,x^2,x^3)</math> к коорд. <math>(x,y,z)</math>.
 Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — ортогональная положительно ориентированная система координат на <math>\mathbb R^3</math> (то есть <math>\sigma_{1,2}=\sigma_{1,3}=\sigma_{2,3}=0</math> и <math>vol_{1,2,3}\!>0</math>); тогда<br><math>\sigma=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2</math> и <math>vol=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}</math>.
@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 <li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем лапласиан функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\Delta f=\mathrm{div}(\nabla f)=\mathrm{div}\Bigl(\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\Bigl(\partial_1\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\Bigr)+\partial_2\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\Bigr)+\partial_3\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}{\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\Bigr)\!\Bigr)</math>.</ul>
-Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры <math>0</math>) являются<br>цилиндрическая система координат <math>(r,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(R,\varphi,\theta)</math> (обозначения В.И. Арнольда). Для цилиндрической системы<br>координат выполнено <math>\sigma_{1,1}=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=r^2</math> и <math>\sigma_{3,3}=1</math>. Для сферической системы координат выполнено <math>\sigma_{1,1}=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=R^2\cos^2\theta</math> и <math>\sigma_{3,3}=R^2</math>.
+Нетривиальные примеры ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры <math>0</math>) суть<br>цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>. Ниже найдены функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для этих систем<br>координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операций, можно написать формулы для<br>дифференциальных операций в цилиндрической и сферической системах координат.

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура <math>4</math>-мерного многообразия: на <math>4</math>-мерном<br>многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,<br>разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные<br>конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,<br>тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких<br>замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для<br>пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом<br>пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.
-Зафиксируем пространство событий <math>M</math> в СТО; его элементы для простоты будем называть точками (а не событиями).
+Всюду далее <math>M</math> — пространство событий в СТО.
 <ul><li><u>Лемма 2.</u> Для любых <math>m\in M</math>, <math>v\in\mathrm T_mM</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>v^\tilde\alpha\!=\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\!\cdot v^\alpha</math> (здесь <math>v^\alpha</math> — столбец координат вектора <math>v</math> относительно базиса<br><math>\Bigl\{\frac\partial{\partial x^0}(m),\frac\partial{\partial x^1}(m),\frac\partial{\partial x^2}(m),\frac\partial{\partial x^3}(m)\Bigr\}</math> пространства <math>\mathrm T_mM</math>, определяемого инерциальной системой координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>).
-<li>Пусть <math>m,n\in M</math> и <math>v\in\mathrm T_mM</math>; <i>сумма</i> <math>n+v</math> точки <math>n</math> и касательного вектора <math>v</math> — точка <math>\alpha^{-1}(\alpha(n)+v^\alpha)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
+<li>Пусть <math>m,n\in M</math> и <math>v\in\mathrm T_mM</math>; <i>сумма</i> <math>n+v</math> события <math>n</math> и касательного вектора <math>v</math> — событие <math>\alpha^{-1}(\alpha(n)+v^\alpha)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
-<li><u>Лемма 3.</u> Определение суммы точки и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
+<li><u>Лемма 3.</u> Определение суммы события и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
 <li>Пусть <math>m\in M</math>; <i>скалярное произведение</i> <math>g(m)</math> на касательном пространстве <math>\mathrm T_mM</math> — невырожденная симметричная билинейная форма<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM\times\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\(v,w)&\mapsto(v^\alpha)^\mathtt T\!\cdot\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)\cdot w^\alpha\!\end{align}\!\biggr)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
 <li><u>Лемма 4.</u> Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
-<li>Пусть <math>k\in\mathbb N</math>, <math>m_1,\ldots,m_k\in M</math>, <math>\tau_1,\ldots,\tau_k\in\mathbb R</math> и <math>\tau_1+\ldots+\tau_k=1</math>; <i>барицентрическая комбинация</i> <math>\tau_1m_1+\ldots+\tau_km_k</math> точек <math>m_1,\ldots,m_k</math> с<br>коэффициентами <math>\tau_1,\ldots,\tau_k</math> — точка <math>\alpha^{-1}(\tau_1\alpha(m_1)+\ldots+\tau_k\alpha(m_k))</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
+<li>Пусть <math>k\in\mathbb N</math>, <math>m_1,\ldots,m_k\in M</math>, <math>\tau_1,\ldots,\tau_k\in\mathbb R</math> и <math>\tau_1+\ldots+\tau_k=1</math>; <i>барицентрическая комбинация</i> <math>\tau_1m_1+\ldots+\tau_km_k</math> событий <math>m_1,\ldots,m_k</math><br>с коэффициентами <math>\tau_1,\ldots,\tau_k</math> — событие <math>\alpha^{-1}(\tau_1\alpha(m_1)+\ldots+\tau_k\alpha(m_k))</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
-<li><u>Лемма 5.</u> Определение барицентрической комбинации точек не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
+<li><u>Лемма 5.</u> Определение барицентрической комбинации событий не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
-<li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>прямая</i>, проходящая через точки <math>m</math> и <math>n</math>, — множество <math>\{(1-\tau)m+\tau\,n\mid\tau\in\mathbb R\}</math>.
+<li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>прямая</i>, проходящая через события <math>m</math> и <math>n</math>, — множество <math>\{(1-\tau)m+\tau\,n\mid\tau\in\mathbb R\}</math>.
-<li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>разность</i> <math>n-m</math> точек <math>m</math> и <math>n</math> — скорость в нуле пути <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to M\\\tau&\mapsto(1-\tau)m+\tau\,n\end{align}\!\biggr)</math> (это элемент касательного пространства <math>\mathrm T_mM</math>).
+<li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>разность</i> <math>n-m</math> событий <math>m</math> и <math>n</math> — скорость в нуле пути <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to M\\\tau&\mapsto(1-\tau)m+\tau\,n\end{align}\!\biggr)</math> (это элемент касательного простр.-ва <math>\mathrm T_mM</math>).
 <li><u>Лемма 6.</u> Для любых <math>m,n\in M</math> и <math>\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>(n-m)^\alpha\!=\alpha(n)-\alpha(m)</math>.
 <li><u>Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах.</u> Пусть <math>m,n\in M</math>; тогда<br>(1) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to M\\v&\mapsto m+v\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}M&\to\mathrm T_mM\\n&\mapsto n-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные биекции;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathrm T_nM\\v&\mapsto(n+v)-n\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_nM&\to\mathrm T_mM\\v&\mapsto(m+v)-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.</ul>
-Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math>, а также<br>на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.
+Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и<br>структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math> (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,<br>определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.
 <h2>Дифференциальные операции на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2>

← Предыдущая		Версия 01:00, 19 декабря 2016
Строка 29:		Строка 29:

	Доказанные утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math>, а также<br>на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.		Доказанные утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math>, а также<br>на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.
		+
		+	<h2>Дифференциальные формы на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2>
		+
		+	Рассмотрим множество <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом<br>согласованности системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти координаты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом<br>элемента длины») <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и формой объема («элементом объема») <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math>.
		+
		+	Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — система координат на <math>\mathbb R^3</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm dx=\frac{\partial x}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial x}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial x}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>, <math>\mathrm dy=\frac{\partial y}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial y}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial y}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math> и <math>\mathrm dz=\frac{\partial z}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial z}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial z}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2+2\,\sigma_{1,2}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^2+2\,\sigma_{1,3}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^3+2\,\sigma_{2,3}\,\mathrm dx^2\,\mathrm dx^3</math>, где для любых<br><math>i,j\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\sigma_{i,j}=\frac{\partial x}{\partial x^i}\frac{\partial x}{\partial x^j}+\frac{\partial y}{\partial x^i}\frac{\partial y}{\partial x^j}+\frac{\partial z}{\partial x^i}\frac{\partial z}{\partial x^j}</math>;<br>(3) <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\wedge\mathrm dx^2\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}</math> есть якобиан замены координат при переходе от коорд. <math>(x^1,x^2,x^3)</math> к коорд. <math>(x,y,z)</math>.
		+
		+	Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — ортогональная положительно ориентированная система координат на <math>\mathbb R^3</math> (то есть <math>\sigma_{1,2}=\sigma_{1,3}=\sigma_{2,3}=0</math> и <math>vol_{1,2,3}\!>0</math>); тогда<br>(1) <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2</math>;<br>(2) <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\wedge\mathrm dx^2\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}</math>.

	<!--<h2>Алгебраические структуры</h2>		<!--<h2>Алгебраические структуры</h2>

@@ Строка 121: / Строка 121: @@
 <td>скорость в точке<br>гладкого пути<br>на многообразии</td></tr>
 <tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td>
-<td><math>\begin{align}V^*\!&\to{}^n\!K\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
+<td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
 <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
 <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr>

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 <h2>Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности</h2>
 <table cellpadding="6" cellspacing="0">
@@ Строка 63: / Строка 64: @@
 <ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}\!\biggr)</math>.
 <li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <i><math>a(e)=h\cdot a_e^h</math> и <math>\forall\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math></i>. Утверждение: <math>(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>.
-<li>Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Mat}(p,n,K)\\a&\mapsto a_e^h\end{align}\!\biggr)</math>. Изоморфизм колец и векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}\!\biggr)</math>.</ul>
+<li>Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Mat}(p,n,K)\\a&\mapsto a_e^h\end{align}\!\biggr)</math>. Изоморфизм колец и векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}\!\biggr)</math>.</ul>-->
 <h5>2.1.3&nbsp; Преобразования координат при замене базиса</h5>
@@ Строка 70: / Строка 71: @@
 <li>Преобразование координат гомоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись (если <math>a</math> — эндоморфизм): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>
-<h5>2.1.4&nbsp; Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</h5>
+<!--<h5>2.1.4&nbsp; Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</h5>
 <ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
 <li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathrm{se}_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\mathrm{se}_i^i)\cdot a</math>.
@@ Строка 110: / Строка 111: @@
 <li>Строка координат ковектора. Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>, <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>.
 <li>Отождествление пространств <math>V</math> и <math>V^{**}</math> в случае конечномерного пространства <math>V</math> при помощи изоморфизма <math>\,v\mapsto\!\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K\\\lambda&\mapsto\lambda(v)\end{align}\!\biggr)</math>.
-<li>Сводная таблица о координатах. (В таблице <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>.)</ul>
+<li>Сводная таблица о координатах. (В таблице <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>.)</ul>-->
 <p><table border cellpadding="3" cellspacing="0">
 <tr><th>Инвариантный объект</th><th>Координаты<br>относительно базиса</th><th>Преобразование координат<br>при замене базиса</th><th>Пример использования<br>в геометрии и физике</th></tr>
@@ Строка 131: / Строка 132: @@
 <td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table></p>
-<h3>2.4&nbsp; Полилинейные отображения, формы объема, определитель</h3>
+<!--<h3>2.4&nbsp; Полилинейные отображения, формы объема, определитель</h3>
 <h5>2.4.1&nbsp; Отступление о симметрических группах</h5>
 <ul><li>Симметрическая группа: <math>\mathrm S_n=\mathrm S(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.