Просмотр исходного текста страницы Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

__NOTOC__
<h2>Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры</h2>

<h3>14&nbsp;&nbsp; Тензорные произведения векторных пространств</h3>
<h5>14.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с тензорами</h5>
<ul><li>Тензорное произведение вект. пространств: <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\mathcal F/\mathcal F_0</math>, где <math>\mathcal F=\mathrm{FinFunc}(V_1\times\ldots\times V_k,K)</math> и <math>\mathcal F_0</math> — подпространство полилинеаризации.
<li>Разложимый тензор: <math>v_1\otimes\ldots\otimes v_k=(v_1,\ldots,v_k)+\mathcal F_0</math>. Ранг тензора <math>T</math>: <math>\mathrm{rk}(T)</math> — минимум среди всех таких <math>m</math>, что <math>T</math> равен сумме <math>m</math> разл. тензоров.
<li><u>Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда<br><math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> — полилинейный оператор.</i>
<li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — вект. простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда для любых<br><math>\omega\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существ. единств. такой <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что <math>\forall\,v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\;\bigl(a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i>
<li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> — базисы<br>пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно; тогда все тензоры <math>b_1\otimes\ldots\otimes b_k</math>, где <math>b_1\in B_1,\ldots,b_k\in B_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис<br>пространства <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k</math>, а также, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)=\dim V_1\cdot\ldots\cdot\dim V_k</math>.</i>
<li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е линейных операторов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>.
<li><u>Первая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>U,V,W</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда <math>V\otimes K\cong K\otimes V\cong V</math>,<br><math>(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes(V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W</math> и <math>V\otimes W\cong W\otimes V</math>.</i>
<li><u>Вторая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,W,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}Y\otimes V^*\!&\to\mathrm{Hom}(V,Y)\\y\otimes\lambda&\mapsto\bigl(v\mapsto\lambda(v)\,y\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный линейный оператор и, если <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;<br>(2) <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes W^*\!&\to(V\otimes W)^*\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl(v\otimes w\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъект. лин. оператор и, если <math>\dim V,\dim W<\infty</math>, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.</i></ul>

<h5>14.2&nbsp; Тензоры типа <math>(p,q)</math> и тензорная алгебра</h5>
<ul><li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math> над <math>V</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}V=V^{\otimes p}\!\otimes(V^*)^{\otimes q}</math>. Примеры: <math>\mathcal T^0_{\,\,0}V=K</math>, <math>\mathcal T^1V=V</math>, <math>\mathcal T_{\,1}V=V^*</math>, <math>\mathcal T^1_{\,\,1}V\cong\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathcal T_{\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V)</math>.
<li>Примеры: <math>\mathcal T^1_{\,\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V,V,V)</math> — простр.-во структур алгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T^2_{\,\,1}V\cong\mathrm{Hom}(V,V\otimes V)</math> — простр.-во структур коалгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T_{\,q}V=\mathcal T^qV^*</math>.
<li><u>Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа <b>(p,q)</b>.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>p,q\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,q}V&\to\mathrm{Multi}_qV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_q)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(v_q)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V,\ldots,V}^q,V^{\otimes p})\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((w_1,\ldots,w_q)\mapsto\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_p\bigr)\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V^*,\ldots,V^*}^p,\overbrace{V,\ldots,V}^q,K)\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((\mu_1,\ldots,\mu_p,w_1,\ldots,w_q)\mapsto\mu_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\mu_p(v_p)\,\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\bigr)\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм вект. простр.-в.</i>
<li>Тензор типа <math>(p,q)</math> в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\,e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}</math>. Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\,e_i</math>, <math>\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,e^j</math>, <math>a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!a^i_j\;e_i\otimes e^j</math>.
<li>Примеры: <math>\sigma=\!\!\sum_{1\le j_1,j_2\le n}\!\!\sigma_{j_1,j_2}\,e^{j_1}\!\otimes e^{j_2}</math> — метрический тензор, <math>\mathrm{vol}^e\!=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_n}</math> — форма объема, связанная с упоряд. базисом <math>e</math>.
<li>Преобразование при замене базиса: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\!\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\;T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math>. Примеры: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>, <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>.
<li>Тензорная алгебра над <math>V</math>: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы <math>\mathcal T^kV\otimes\mathcal T^{k'}\!V\cong\mathcal T^{k+k'}\!V</math>).
<li><u>Теорема о тензорной алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда множество<br><math>\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathcal T(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!</math> выполнено<br><math>(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!</math>, а также <math>\,\mathcal T(V)\cong K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle</math> — алгебра многочленов от своб. перем.-х.</i></ul>

<h5>14.3&nbsp; Операции над тензорами типа <math>(p,q)</math></h5>
<ul><li>Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: <math>\bigl(T\otimes T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q\;\;\;\;\;\;\;j_1',\ldots,j_{q'}'}\!\!=T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\!j_1',\ldots,j_{q'}'}\!</math>. Кронекерово пр.-е матриц.
<li>Тензорное произв.-е полилин. форм как полилин. форма (<math>\omega\in\mathrm{Multi}_kV</math>, <math>\omega'\!\in\mathrm{Multi}_{k'}V</math>): <math>(\omega\otimes\omega')(v_1,\ldots,v_{k+k'})=\omega(v_1,\ldots,v_k)\,\omega'(v_{k+1},\ldots,v_{k+k'})</math>.
<li>Перестановка компонент: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pat}_u\colon\mathcal T^kV&\to\mathcal T^kV\\v_1\otimes\ldots\otimes v_k&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes v_{u^{-1}(k)}\end{align}\!\biggr)</math>. Действие <math>\mathrm{pat}</math> группы <math>\mathrm S_k</math>. Перест.-ка в коорд.-х: <math>\bigl(\mathrm{pat}_u(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}</math>.
<li>Свертка по <math>b</math>-й и <math>d</math>-й позициям: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{tr}^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\lambda_d(v_b)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>.
<li>Свертка по <math>b</math>-й и <math>d</math>-й позициям в координатах: <math>\bigl(\mathrm{tr}^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{h=1}^nT^{i_1,\ldots,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots,j_q}</math>. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
<p><u>Теорема о свертках тензоров малой валентности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\lambda(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\lambda)</math>, <math>\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}^1_1(a)</math>, <math>a(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes a)</math> и <math>\lambda\circ a=\mathrm{tr}^1_2(a\otimes\lambda)</math>;<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> и <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=\mathrm{tr}^1_1(\mathrm{tr}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))</math> и <math>\flat_\sigma v=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\sigma)</math>.</i></p>
<li><u>Теорема об обратном метрическом тензоре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)=\!\!\sum_{1\le i_1,i_2\le n}\!\!\sigma^{i_1,i_2}\,e_{i_1}\!\otimes e_{i_2}</math> (тензор <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)</math> — обратный тензор по отношению к тензору <math>\sigma</math>);<br>(2) под действием канонического изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Bi}(V^*)\\v\otimes w&\mapsto\bigl((\lambda,\mu)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> тензор <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)</math> переходит в форму <math>(\lambda,\mu)\mapsto\sigma(\sharp^\sigma\lambda,\sharp^\sigma\mu)</math>;<br>(3) для любых <math>\lambda\in V^*</math> выполнено <math>\sharp^\sigma\lambda=\mathrm{tr}^2_1((\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)\otimes\lambda)</math>.</i>
<li>Опускание индекса с <math>b</math>-й позиции: <math>(\mathrm{id}_V)^{\otimes(b-1)}\!\otimes\flat_\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_V)^{\otimes(p-b)}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes q}</math>. Подъем индекса с <math>d</math>-й поз.-и: <math>(\mathrm{id}_V)^{\otimes p}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(d-1)}\!\otimes\sharp^\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(q-d)}</math>.
<li>Опускание индекса и подъем индекса в коорд.-х: <math>T^{i_1,\ldots,i_{b-1}\,\,i_{b+1},\ldots,i_p}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,j\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q}\!=\sum_{i_b=1}^nT^{i_1,\ldots,i_b,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\sigma_{i_b,j}</math> и <math>T^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,i}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\,j_1,\ldots,j_{d-1}\,\,j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{j_d=1}^n\sigma^{i,j_d}\,T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_d,\ldots,j_q}\!</math>.</ul>

<h3>15&nbsp;&nbsp; Симметрические и внешние степени векторных пространств</h3>
<h5>15.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами</h5>
<ul><li>Симметрическая степень: <math>\mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=T\bigr)\}</math>. Внешняя степень: <math>\mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}</math>.
<li><u>Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>,<br><math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>\iota</math> канонический изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\iota\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{paf}_u\!\circ\iota\bigr)</math> (напоминание: <math>\mathrm{pat}_u(\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k)=\lambda_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_{u^{-1}(k)}</math> и <math>(\mathrm{paf}_u(\omega))(v_1,\ldots,v_k)=\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})</math>);<br>(2) <math>\iota(\mathsf S^kV^*)=\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV</math> (далее пространства <math>\,\mathsf S^kV^*</math> и <math>\,\mathrm{SMulti}_kV</math> отождествляются при помощи изоморфизма <math>\iota</math>);<br>(3) <math>\iota(\mathsf\Lambda^kV^*)=\mathrm{AMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*\!\cong\mathrm{AMulti}_kV</math> (далее пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*</math> и <math>\,\mathrm{AMulti}_kV</math> отождествляются при помощи изоморфизма <math>\iota</math>).</i>
<li>Оператор симметризации: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u</math>. Оператор альтернирования: <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u</math>. Лемма о симметризации и альтернировании.
<p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, а также <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (и, значит, <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p>
<li>Симметрич. и внешнее произв.-я векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math> и <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Пример: <math>\mathrm{vol}^e\!=e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>.
<li><u>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)</math> — симметричный полилинейный оператор;<br>(2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)</math> — антисимметричный полилинейный оператор.</i>
<li><u>Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)</math> существует единственный такой <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)</math>, что <math>\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)</math>;<br>(2) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)</math> существует единственный такой <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)</math>, что <math>\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)</math>.</i>
<li><u>Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>,<br><math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>;<br>(2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>;<br>(3) <math>\dim\mathsf S^kV=\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.</i>
<li>Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>): <math>a^{\cdot k}(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=a(v_1)\cdot\ldots\cdot a(v_k)</math> и <math>a^{\wedge k}(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=a(v_1)\wedge\ldots\wedge a(v_k)</math>.</ul>

<h5>15.2&nbsp; Симметрическая алгебра и внешняя алгебра</h5>
<ul><li>Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (<math>T\in\mathcal T^kV</math>, <math>T'\!\in\mathcal T^{k'}\!V</math>): <math>T\cdot T'=\mathrm{sym}_{k+k'}(T\otimes T')</math> и <math>T\wedge T'=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,\mathrm{alt}_{k+k'}(T\otimes T')</math>.
<li>Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: <math>T^{(i_1,\ldots,i_k)}\!=\bigl(\mathrm{sym}_k(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}</math> и <math>T^{[i_1,\ldots,i_k]}\!=\bigl(\mathrm{alt}_k(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}</math>.
<li>Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: <math>\bigl(T\cdot T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}\!=T\!\phantom'^{(i_1,\ldots,i_k}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{k'}')}</math> и <math>\bigl(T\wedge T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}\!=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,T\!\phantom'^{[i_1,\ldots,i_k}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{k'}']}</math>.
<li><u>Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное простр.-во над полем <math>K</math>,<br><math>k,k',k''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_k,v_1',\ldots,v_{k'}'\!\in V</math> и <math>T\in\mathcal T^kV</math>, <math>T'\!\in\mathcal T^{k'}\!V</math>, <math>T''\!\in\mathcal T^{k''}\!V</math>; тогда<br>(1) <math>(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\cdot(v_1'\otimes\ldots\otimes v_{k'}')=v_1\cdot\ldots\cdot v_k\cdot v_1'\cdot\ldots\cdot v_{k'}'</math> и <math>(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\wedge(v_1'\otimes\ldots\otimes v_{k'}')=\frac1{k!\,k'!}\,v_1\wedge\ldots\wedge v_k\wedge v_1'\wedge\ldots\wedge v_{k'}'</math>;<br>(2) <math>\mathrm{sym}_k(T)\cdot T'=T\cdot\mathrm{sym}_{k'}(T')=T\cdot T'</math> и <math>\mathrm{alt}_k(T)\wedge T'=T\wedge\mathrm{alt}_{k'}(T')=T\wedge T'</math>;<br>(3) <math>(T\cdot T')\cdot T''=T\cdot(T'\cdot T'')=\mathrm{sym}_{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')</math> и <math>(T\wedge T')\wedge T''=T\wedge(T'\wedge T'')=\frac{(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}\,\mathrm{alt}_{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')</math><br>(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);<br>(4) <math>T\cdot T'=T'\cdot T</math> и <math>T\wedge T'=(-1)^{kk'}T'\wedge T</math> (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно);<br>(5) <math>(\ldots(v_1\cdot v_2)\cdot\ldots\cdot v_{k-1})\cdot v_k=v_1\cdot\ldots\cdot v_k</math> и <math>(\ldots(v_1\wedge v_2)\wedge\ldots\wedge v_{k-1})\wedge v_k=v_1\wedge\ldots\wedge v_k</math>.</i>
<li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>.
<li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над <math>V</math>: <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>.
<li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по неубыванию;<br>(2) <math>\bigcup_{k=0}^n\,\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по неубыванию;<br>(3) <math>\mathsf S(V)\cong K[x_1,\ldots,x_n]</math> — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и <math>\,\mathsf\Lambda(V)\cong K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]</math> — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.</i></ul>

<h5>15.3&nbsp; Операции над внешними формами</h5>
<ul><li><u>Теорема о внешнем произведении внешних форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>,<br><math>k,k'\!\in\mathbb N_0</math>, <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> и <math>\omega'\!\in\mathrm{AMulti}_{k'}V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\omega=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}\!=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}</math>;<br>(2) для любых <math>v_1,\ldots,v_{k+k'}\!\in V</math> выполнено <math>(\omega\wedge\omega')(v_1,\ldots,v_{k+k'})=\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le k+k',\,1\le j_1'<\ldots<j_{k'}'\le k+k'}\!\!\!\!\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,j_1',\ldots,j_{k'}'}\omega(v_{j_1},\ldots,v_{j_k})\,\omega'(v_{j_1'},\ldots,v_{j_{k'}'})</math>.</i>
<li>Оператор внутреннего произв.-я с вект. <math>v</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}i_v\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{k-1}V\\\omega&\mapsto\bigl((v_2,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v,v_2,\ldots,v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Оператор <math>i_v</math> в коорд.: <math>i_v(\omega)_{j_2,\ldots,j_n}\!=\sum_{j_1=1}^nv^{j_1}\omega_{j_1,\ldots,j_n}</math>.
<li>Утверждение: <math>i_v(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=\sum_{t=1}^k(-1)^{t+1}\,v^{j_t}e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_{t-1}}\!\wedge e^{j_{t+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}</math>. Продолжение по лин.-сти опер. <math>i_v</math> до эндоморфизма пр.-ва <math>\mathsf\Lambda(V^*)</math>.
<li><u>Теорема о внутреннем произведении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>v\in V</math>; тогда <math>i_v</math> — супердифференцирование<br>алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V^*)</math> (то есть для любых <math>k,k'\!\in\mathbb N_0</math>, <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> и <math>\omega'\!\in\mathrm{AMulti}_{k'}V</math> выполнено <math>i_v(\omega\wedge\omega')=i_v(\omega)\wedge\omega'+(-1)^k\,\omega\wedge i_v(\omega')</math>) и <math>i_v^2=0</math>.</i>
<li>Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\lambda_1\wedge\ldots\wedge\lambda_k&\mapsto\bigl((v_{k+1},\ldots,v_n)\mapsto\mathrm{vol}(\sharp\,\lambda_1,\ldots,\sharp\,\lambda_k,v_{k+1},\ldots,v_n)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> (<math>\mathrm{vol}</math> — канон. форма объема).
<li>Примеры: <math>*\,1=\mathrm{vol}</math>, <math>*\,\mathrm{vol}=(-1)^q</math> (здесь <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math>), <math>*\,(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)</math>, <math>\sharp\,{*}\,(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=v_1\times\ldots\times v_{n-1}</math> (<math>n\ge1</math>).
<li><u>Лемма об операторе Ходжа в координатах.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\omega^{j_1,\ldots,j_k}</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и попарно различных чисел <math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(-1)^t\,e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_n}</math>, где<br><math>\{j_{k+1},\ldots,j_n\}=\{1,\ldots,n\}\!\setminus\!\{j_1,\ldots,j_k\}</math> и <math>j_{k+1}\!<\ldots<j_n</math>, а также <math>(-1)^t=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})</math>.</i>
<li>Теорема об операторе Ходжа. Утверждение: <i>пусть <math>n\ge1</math> и <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>; тогда <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}</math></i>.
<p><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией, <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>*\!*\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств);<br>(2) для любых <math>\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}</math>, где <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\wedge k}\omega)</math> (в координатах <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}</math>);<br>(3) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>*\,(\flat\,v\wedge*\,\flat\,w)=(-1)^q\,(v\!\mid\!w)</math>.</i></p></ul>

<h3>16&nbsp;&nbsp; Многообразия (часть 2)</h3>
<h5>16.1&nbsp; Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля</h5>
<ul><li>Касательное и кокасательное расслоения: <math>\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T_mM</math> и <math>\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T^*_mM</math>. Структура многообр.-я на <math>\mathrm TM</math> и <math>\mathrm T^*M</math>; отобр.-е проекции на <math>M</math>: <math>\mathrm{pr}_M</math>.
<li>Пр.-ва векторн. полей и ковект. полей (<math>1</math>-форм): <math>\mathrm{Vect}(M)=\{v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ v=\mathrm{id}_M\}</math> и <math>\Omega^1(M)=\{\lambda\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\lambda=\mathrm{id}_M\}</math>.
<li>Умножение вект. полей и <math>1</math>-форм на функции. Действие <math>1</math>-форм на вект. поля. Локальные вект. поля <math>\frac\partial{\partial x^i}</math> и <math>1</math>-формы <math>\mathrm dx^j</math>. Утверждение: <math>\mathrm df=\sum_{j=1}^n\partial_jf\;\mathrm dx^j</math>.
<li>Векторные поля и <math>1</math>-формы в коорд.: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\frac\partial{\partial x^i}</math> и <math>\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,\mathrm dx^j</math>. Преобраз.-я при замене коорд.: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}\!\circ\xi\Bigr)\,v^k</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\lambda_l</math>.
<li>Расслоение тензоров типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>. Пр.-во тензорн. полей типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathrm{Tens}^p_q(M)=\{T\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ T=\mathrm{id}_M\}</math>.
<li>В коорд.: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\frac\partial{\partial x^{i_1}}\!\otimes\ldots\otimes\!\frac\partial{\partial x^{i_p}}\!\otimes\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_q}</math>. Пример: <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}</math> — поле форм от <math>k</math> перем.-х.
<li>Преобр.-е координат тензорного поля при замене координат на <math>M</math>: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_1}}{\partial x^{k_1}}\!\circ\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_p}}{\partial x^{k_p}}\!\circ\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^{l_1}}{\partial x^\tilde{j_1}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^{l_q}}{\partial x^\tilde{j_q}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}\!</math>.
<li>Пр.-во дифференциальн. <math>k</math>-форм: <math>\Omega^k(M)=\{\omega\in\mathrm{Tens}_k(M)\mid\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{AMulti}_k(\mathrm T_mM)\bigr)\}</math>. Алгебра диффер. форм: <math>\Omega(M)=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)</math>.</ul>

<h5>16.2&nbsp; Дифференциальные операции на многообразиях</h5>
<ul><li>Производная Ли: <math>\mathcal L_vf=\mathrm df(v)</math>. Утверждение: <i><math>\mathcal L_v\!\in\mathrm{Der}(\mathrm C^\infty\!(M))</math> и <math>\mathcal L_v=0\,\Rightarrow\,v=0</math></i>. Коммутатор вект. полей: <math>\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\mathcal L_{[v,w]}=[\mathcal L_v,\mathcal L_w]\bigr)</math>.
<li><u>Теорема о коммутаторе.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие и <math>n=\dim M</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math>, определяя в координатах векторное поле <math>[v,w]</math> на <math>M</math> по формуле <math>[v,w]=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i-w^j\,\partial_jv^i\bigr)\frac\partial{\partial x^i}</math>, имеем<br>следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция <math>[\,,]</math> удовлетворяет определению коммутатора;<br>(2) операция коммутатора <math>[\,,]</math> на <math>M</math> определена однозначно;<br>(3) <math>\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относ.-но операции <math>[\,,]</math>, и отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm C^\infty\!(M))\\v&\mapsto\mathcal L_v\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм алгебр Ли (без док.-ва сюръективности).</i>
<li>Внешний дифференциал: <math>\mathrm d</math> — супердифференцирование алгебры <math>\Omega(M)</math>, <math>\mathrm d^2=0</math> и <math>\forall\,f\in\mathrm C^\infty\!(M)\;\bigl(\mathrm d(f)=\mathrm df\bigr)</math>. Утверждение: <i><math>\omega|_U=0\,\Rightarrow\,(\mathrm d\omega)|_U=0</math></i>.
<li><u>Теорема о внешнем дифференциале.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие и <math>n=\dim M</math>; тогда<br>(1) для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\Omega^k(M)</math>, определяя в координатах форму <math>\mathrm d\omega</math> на <math>M</math> по формуле <math>\mathrm d\omega=(k+1)\!\!\!\sum_{1\le j_0,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\partial_{[j_0}\omega_{j_1,\ldots,j_k]}\,\mathrm dx^{j_0}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}</math><br>(эта формула эквивалентна формуле <math>\mathrm d\omega=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\mathrm d\omega_{j_1,\ldots,j_k}\!\wedge\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math>), имеем следующие факты: это определение не зависит от<br>выбора системы координат (эскиз доказательства), и операция <math>\mathrm d</math> удовлетворяет определению внешнего дифференциала;<br>(2) операция внешнего дифференциала <math>\mathrm d</math> на <math>M</math> определена однозначно.</i>
<li>Замкнутая форма: <math>\mathrm d\omega=0</math>. Точная форма: <math>\omega=\mathrm d\psi</math>. Утверждение: <i>точные формы замкнуты</i>. Лемма Пуанкаре: в <math>\mathbb R^n</math> замкнут. формы точны (без док.-ва).
<li>Ковариантная произв. вект. полей: <math>\nabla\in\mathrm{Bi}(\mathrm{Vect}(M),\mathrm{Vect}(M))</math> и <math>\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M),\,f\in\mathrm C^\infty\!(M)\;\bigl(\nabla_{fv}w=f\,\nabla_vw\,\land\,\nabla_v(fw)=(\mathcal L_vf)\,w+f\,\nabla_vw\bigr)</math>.
<li><u>Теорема о ковариантной производной.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math> и в каждой системе координат из атласа на <math>M</math> заданы функции <math>\,\Gamma^i_{j,k}</math>,<br>где <math>i,j,k\in\{1,\ldots,n\}</math>, преобразующиеся при замене координ. по формуле <math>\Gamma^\tilde i_{\tilde j,\tilde k}=\sum_{r=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^r}\!\circ\xi\Bigr)\biggl(\sum_{1\le s,t\le n}\!\!\Bigl(\frac{\partial x^s}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^t}{\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\Gamma^r_{s,t}+\Bigr(\frac{\partial^2x^r}{\partial x^\tilde j\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\!\biggr)</math>;<br>тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math>, определяя в координ. векторное поле <math>\nabla_vw</math> на <math>M</math> по формуле <math>\nabla_vw=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i+\sum_{k=1}^n\Gamma^i_{j,k}v^jw^k\bigr)\frac\partial{\partial x^i}</math>, имеем<br>следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция <math>\nabla</math> удовлетворяет определению ковариантной произв.-й.</i>
<li>Векторное поле вдоль кривой: <math>v\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm TM)</math> и <math>\mathrm{pr}_M\!\circ v=\gamma</math>. Скорость <math>v</math> вдоль <math>\gamma</math>: <math>\dot v=\sum_{i=1}^n\Bigl((v^i)\!\dot{\phantom i}\!+\!\!\sum_{1\le j,k\le n}\!\!(\Gamma^i_{j,k}\!\circ\gamma)\,\dot\gamma^jv^k\Bigr)\Bigl(\frac\partial{\partial x^i}\!\circ\gamma\Bigr)</math>. Ускорение: <math>\ddot\gamma</math>.</ul>

<h5>16.3&nbsp; Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</h5>
<ul><li>Метрический тензор сигнатуры <math>(p,q)</math>: <math>g\in\mathrm{Tens}_2(M)</math> и для любых <math>m\in M</math> выполнено <math>g(m)</math> — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры <math>(p,q)</math> на <math>\mathrm T_mM</math>.
<li>Псевдориманово многообр. сигнат. <math>(p,q)</math> — многообр. с метр. тензором сигнат. <math>(p,q)</math>. Риманово многообр.: <math>q=0</math>. Примеры: <math>\mathbb R^n</math>, пр.-во Лобачевского <math>\mathrm H^n</math>.
<li>Бемоль: <math>(\flat\,v)(m)=\flat_{g(m)}(v(m))</math>. Диез: <math>(\sharp\,\lambda)(m)=\sharp^{g(m)}(\lambda(m))</math>. Градиент функции: <math>\mathrm{grad}\,f=\sharp\,\mathrm df</math>. Градиент в коорд.: <math>(\mathrm{grad}\,f)^i=\sum_{j=1}^ng^{i,j}\,\partial_jf=\partial^if</math>.
<li>Ориентация многообр. <math>M</math> — такой выбор ориентаций всех пр.-в <math>\mathrm T_mM</math>, где <math>m\in M</math>, что <math>\exists\,\omega\in\Omega^n(M)\;\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{VF}_{>0}(\mathrm T_mM)\bigr)</math>. Атлас <math>\mathcal A_{>0}</math>.
<li>Канонич. форма объема: <math>\mathrm{vol}</math>. Оператор Ходжа: <math>*</math>. Ротор (<math>n=3</math>): <math>\mathrm{rot}\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\,\flat\,v</math>. Дивергенция: <math>\mathrm{div}\,v=(-1)^q\,{*}\,\mathrm d\,{*}\,\flat\,v</math>. Лапласиан: <math>\Delta f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)</math>.
<li>Символы Кристоффеля: <math>\Gamma^i_{j,k}=\frac12\sum_{l=1}^ng^{i,l}\bigl(\partial_jg_{k,l}+\partial_kg_{j,l}-\partial_lg_{j,k}\bigr)</math>. Теорема о связности Леви-Чивиты. Объем многообразия <math>M</math>: <math>\int_M\!\!\mathrm{vol}</math>. Длина кривой.
<p><u>Теорема о связности Леви-Чивиты.</u> <i>Пусть <math>M</math> — псевдориманово многообразие; тогда<br>(1) символы Кристоффеля на <math>M</math> преобразуются при замене координат по формуле из теоремы о ковариантной производной и, значит, определяют<br>операцию ковариантной производной <math>\nabla</math> на <math>M</math> (она называется связностью Леви-Чивиты), причем эта операция обладает следующими свойствами:<br><math>\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\nabla_vw-\nabla_wv=[v,w]\bigr)</math> и <math>\forall\,u,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\mathcal L_u(g(v,w))=g(\nabla_uv,w)+g(v,\nabla_uw)\bigr)</math> (эскиз доказательства);<br>(2) операция ковариантной производной <math>\nabla</math> на <math>M</math>, обладающая свойствами из пункта (1), определена однозначно (без доказательства).</i></p>
<li>Геодезические — экстремали функционала длины. Условие на геодезические (ур.-е Эйлера–Лагранжа для функционала длины): <math>\ddot\gamma=0</math> (если <math>g(\dot\gamma,\dot\gamma)=1</math>).
<li>Тензор Римана (кривизны): <math>\mathrm R^i_{j,k,l}=\partial_k\Gamma^i_{l,j}-\partial_l\Gamma^i_{k,j}+\sum_{h=1}^n\bigl(\Gamma^i_{k,h}\Gamma^h_{l,j}-\Gamma^i_{l,h}\Gamma^h_{k,j}\bigr)</math>. Тензор Риччи: <math>\mathrm R_{i,j}=\sum_{h=1}^n\mathrm R^h_{i,h,j}</math>. Скалярная кривизна: <math>\mathrm R=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!g^{i,j}\,\mathrm R_{i,j}</math>.</ul>

<h5>Эпилог. Дифференциальные операции на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h5>
<ul><li>Рассмотрим топологическое пространство <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово многообразие с ориентацией, структура которого задана максимальным атласом,<br>являющимся классом согласов.-сти системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти коорд.-ты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрическим тензором («квадратом элемента длины»)<br><math>g=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и таким выбором ориентаций всех касательных пр.-в к <math>\mathbb R^3</math>, что <math>\forall\,m\in\mathbb R^3\,\bigl(\Bigl(\frac\partial{\partial x}(m),\frac\partial{\partial y}(m),\frac\partial{\partial z}(m)\Bigr)\!\in\mathrm{OB}_{>0}(\mathrm T_m\mathbb R^3)\bigr)</math>;<br>данная структура на <math>\mathbb R^3</math> определяет каноническую форму объема («элемент объема») <math>\mathrm{vol}=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math> и символы Кристоффеля, равные <math>0</math>.
<li>Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — ортогональная положительно ориентированная система координат на <math>\mathbb R^3</math> с областью определения <math>U</math> (то есть для любых <math>m\in U</math><br>выполнено <math>\Bigl(\frac\partial{\partial x^1}(m),\frac\partial{\partial x^2}(m),\frac\partial{\partial x^3}(m)\Bigr)\!\in\mathrm{OOB}_{>0}(\mathrm T_m\mathbb R^3)</math>); обозначим через <math>H_1</math>, <math>H_2</math> и <math>H_3</math> коэффициенты Ламе <math>\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^1}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x^1}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x^1}\Bigr)^{\!2}}</math>,<br><math>\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^2}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x^2}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x^2}\Bigr)^{\!2}}</math> и <math>\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^3}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x^3}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x^3}\Bigr)^{\!2}}</math> соответственно; тогда<br>(1) для любых <math>i,j\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>g_{i,j}=g\Bigl(\frac\partial{\partial x^i},\frac\partial{\partial x^j}\Bigr)=g\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^i}\frac\partial{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial x^i}\frac\partial{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial x^i}\frac\partial{\partial z},\frac{\partial x}{\partial x^j}\frac\partial{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial x^j}\frac\partial{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial x^j}\frac\partial{\partial z}\Bigr)=\delta_{i,j}\,H_i^2</math>, и,<br>значит, <math>g=H_1^2(\mathrm dx^1)^2+H_2^2(\mathrm dx^2)^2+H_3^2(\mathrm dx^3)^2</math> и <math>\mathrm{vol}=H_1H_2H_3\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>;<br>(2) для любых <math>i,j,k\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\Gamma^i_{j,k}=\frac12\sum_{l=1}^3g^{i,l}\bigl(\partial_jg_{k,l}+\partial_kg_{j,l}-\partial_lg_{j,k}\bigr)=\frac1{2H_i^2}\bigl(\delta_{i,k}\,\partial_j(H_i^2)+\delta_{i,j}\,\partial_k(H_i^2)-\delta_{j,k}\,\partial_i(H_j^2)\bigr)</math>, и, значит,<br>для любых <math>i,j\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\Gamma^i_{i,j}=\Gamma^i_{j,i}=\frac1{2H_i^2}\bigl(\delta_{i,j}\,\partial_i(H_i^2)+\partial_j(H_i^2)-\delta_{i,j}\,\partial_i(H_i^2)\bigr)=\frac{\partial_jH_i}{H_i}</math>, для любых различных <math>i,j\in\{1,2,3\}</math><br>выполнено <math>\Gamma^i_{j,j}=\frac1{2H_i^2}\bigl(\delta_{i,j}\,\partial_j(H_i^2)+\delta_{i,j}\,\partial_j(H_i^2)-\partial_i(H_j^2)\bigr)=-\frac{H_j\,\partial_iH_j}{H_i^2}</math>, и для любых попарно различных <math>i,j,k\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\Gamma^i_{j,k}=0</math>.
<li>Зафиксируем ортогон. положит. ориентир. систему координат <math>(x^1,x^2,x^3)</math> на <math>\mathbb R^3</math> с областью определения <math>U</math> и обозначим через <math>e_1</math>, <math>e_2</math> и <math>e_3</math> векторные поля<br><math>\frac1{H_1}\frac{\partial}{\partial x^1}</math>, <math>\frac1{H_2}\frac{\partial}{\partial x^2}</math> и <math>\frac1{H_3}\frac{\partial}{\partial x^3}</math> соответственно; тогда <math>e^1\!=H_1\,\mathrm dx^1</math>, <math>e^2\!=H_2\,\mathrm dx^2</math> и <math>e^3\!=H_3\,\mathrm dx^3</math>, а также <math>g=(e^1)^2+(e^2)^2+(e^3)^2</math> и <math>\mathrm{vol}=e^1\!\wedge e^2\!\wedge e^3</math>.
<li>Пусть <math>f\in\mathrm C^\infty\!(U)</math>; тогда <math>\mathrm{grad}\,f=\sharp\,\mathrm df=\sharp\,\bigl(\partial_1f\;\mathrm dx^1+\partial_2f\;\mathrm dx^2+\partial_3f\;\mathrm dx^3\bigr)=\frac{\partial_1f}{H_1}\,e_1+\frac{\partial_2f}{H_2}\,e_2+\frac{\partial_3f}{H_3}\,e_3</math>.
<li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3=\frac{v^1}{H_1}\frac{\partial}{\partial x^1}+\frac{v^2}{H_2}\frac{\partial}{\partial x^2}+\frac{v^3}{H_3}\frac{\partial}{\partial x^3}\in\mathrm{Vect}(U)</math>; тогда<br>(1) <math>\flat\,v=v^1e^1+v^2e^2+v^3e^3=H_1v^1\,\mathrm dx^1+H_2v^2\,\mathrm dx^2+H_3v^3\,\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>*\,\flat\,v=v^1e^2\!\wedge e^3-v^2e^1\!\wedge e^3+v^3e^1\!\wedge e^2\!=H_2H_3v^1\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-H_1H_3v^2\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+H_1H_2v^3\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rot}\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\,\flat\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\bigl(H_1v^1\,\mathrm dx^1+H_2v^2\,\mathrm dx^2+H_3v^3\,\mathrm dx^3\bigr)=</math><br><math>=\sharp\,{*}\,\bigl(\bigl(\partial_2(H_3v^3)-\partial_3(H_2v^2)\bigr)\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1(H_3v^3)-\partial_3(H_1v^1)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1(H_2v^2)-\partial_2(H_1v^1)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\bigr)=</math><br><math>=\frac{\partial_2(H_3v^3)-\partial_3(H_2v^2)}{H_2H_3}\,e_1-\frac{\partial_1(H_3v^3)-\partial_3(H_1v^1)}{H_1H_3}\,e_2+\frac{\partial_1(H_2v^2)-\partial_2(H_1v^1)}{H_1H_2}\,e_3</math>;<br>(4) <math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,\flat\,v=*\,\mathrm d\bigl(H_2H_3v^1\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-H_1H_3v^2\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+H_1H_2v^3\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\bigr)=</math><br><math>=*\,\bigl(\bigl(\partial_1(H_2H_3v^1)+\partial_2(H_1H_3v^2)+\partial_3(H_1H_2v^3)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3\bigr)=\frac1{H_1H_2H_3}\bigl(\partial_1(H_2H_3v^1)+\partial_2(H_1H_3v^2)+\partial_3(H_1H_2v^3)\bigr)</math>.
<li>Пусть <math>f\in\mathrm C^\infty\!(U)</math>; тогда <math>\Delta f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)=\mathrm{div}\bigl(\frac{\partial_1f}{H_1}\,e_1+\frac{\partial_2f}{H_2}\,e_2+\frac{\partial_3f}{H_3}\,e_3\!\bigr)=\frac1{H_1H_2H_3}\Bigl(\partial_1\bigl(\frac{H_2H_3}{H_1}\,\partial_1f\bigr)+\partial_2\bigl(\frac{H_1H_3}{H_2}\,\partial_2f\bigr)+\partial_3\bigl(\frac{H_1H_2}{H_3}\,\partial_3f\bigr)\!\Bigr)</math>.
<li>Пусть <math>-\infty\le\alpha<\beta\le\infty</math> и <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),U)</math>; тогда<br>(1) <math>\dot\gamma=(\gamma^1)\!\dot{\phantom i}\frac{\partial}{\partial x^1}+(\gamma^2)\!\dot{\phantom i}\frac{\partial}{\partial x^2}+(\gamma^3)\!\dot{\phantom i}\frac{\partial}{\partial x^3}=H_1(\gamma^1)\!\dot{\phantom i}e_1+H_2(\gamma^2)\!\dot{\phantom i}e_2+H_3(\gamma^3)\!\dot{\phantom i}e_3</math>;<br>(2) <math>\ddot\gamma=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+\!\!\sum_{1\le j,k\le3}\!\!\Gamma^i_{j,k}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}(\gamma^k)\!\dot{\phantom i}\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+\sum_{j=1}^3\Gamma^i_{i,j}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\!+\sum_{j=1}^3\Gamma^i_{j,i}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\!-\Gamma^i_{i,i}\bigl((\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2+\!\!\!\sum_{1\le j\le3,\,j\ne i}\!\!\!\Gamma^i_{j,j}\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=</math><br><math>=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+2\sum_{j=1}^3\frac{\partial_jH_i}{H_i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\!-\frac{\partial_iH_i}{H_i}\bigl((\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2-\!\!\!\sum_{1\le j\le3,\,j\ne i}\!\!\!\frac{H_j\,\partial_iH_j}{H_i^2}\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+\frac{2(H_i)\!\dot{\phantom i}\!}{H_i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\!-\sum_{j=1}^3\frac{H_j\,\partial_iH_j}{H_i^2}\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=</math><br><math>=\sum_{i=1}^3\frac1{H_i^2}\Bigl(H_i^2(\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+2H_i(H_i)\!\dot{\phantom i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\!-\sum_{j=1}^3H_j\,\partial_iH_j\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=\sum_{i=1}^3\frac1{H_i}\Bigl(\bigl(H_i^2(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\bigr)\!\dot{\phantom i}\!-\sum_{j=1}^3H_j\,\partial_iH_j\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\,e_i</math>.
<li>Найдем коэфф.-ты Ламе для цилиндрической и сферической систем координат (это ортогональные положительно ориентированные системы координат).<br>(1) Цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math>: <math>x=\rho\cos\varphi</math>, <math>y=\rho\sin\varphi</math> и <math>z=z</math>, и, значит, <math>H_\rho=1</math>, <math>H_\varphi=\rho</math> и <math>H_z=1</math>.<br>(2) Сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>: <math>x=r\sin\theta\cos\varphi</math>, <math>y=r\sin\theta\sin\varphi</math> и <math>z=r\cos\theta</math>, и, значит, <math>H_r=1</math>, <math>H_\theta=r</math> и <math>H_\varphi=r\sin\theta</math>.</ul>