Просмотр исходного текста страницы Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь

__NOTOC__
<h2>Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры</h2>

<h3>4&nbsp;&nbsp; Кольца (часть 2)</h3>
<h5>4.1&nbsp; Делимость в коммутативных кольцах</h5>
<ul><li>Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммутат. кольце <math>R</math>: <math>s\,|\,r\;\Leftrightarrow\;\exists\,t\in R\;\bigl(r=s\,t\bigr)</math>; <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\;\Leftrightarrow\;s\,|\,r\,\land\,\lnot(r\,|\,s)</math>; <math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\;\Leftrightarrow\;r\,|\,s\,\land\,s\,|\,r</math>.
<li>Утверждение: <i>пусть <math>R</math> — обл. цел.-сти, <math>r,s,y,z\in R</math> и <math>s\ne0</math>; тогда <math>s\,y=s\,z\,\Rightarrow\,y=z\,</math> и <math>\,r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\,\Leftrightarrow\,\exists\,t\in R^\times\bigl(r=s\,t\bigr)</math></i>. Обозн.-е <math>\frac rs</math> в обл. цел.-сти.
<li>Наибольший относ.-но <math>|</math> общий делитель <math>r</math> и <math>s</math>: <math>\mathrm{gcd}(r,s)</math>; наименьшее относ.-но <math>|</math> общее кратное <math>r</math> и <math>s</math>: <math>\mathrm{lcm}(r,s)</math>; <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> опред.-ны с точностью до <math>\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim</math>.
<li>Нормировка <math>\mathrm{gcd}</math> и <math>\mathrm{lcm}</math> (если они не <math>0</math>) в <math>\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>: <math>\mathrm{gcd}(a,b)\in\mathbb N</math> и <math>\mathrm{lcm}(a,b)\in\mathbb N</math> — в <math>\mathbb Z</math>, многочлены <math>\mathrm{gcd}(f,g)</math> и <math>\mathrm{lcm}(f,g)</math> нормированы — в <math>K[x]</math>.
<li>Главный идеал — идеал вида <math>(r)</math>. Пример неглавн. идеала: <math>(2)+(x)</math> в <math>\mathbb Z[x]</math>. Область главных идеалов — обл. цел.-сти, в которой все идеалы главные.
<li><u>Теорема о делимости и главных идеалах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>r,s\in R</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subseteq(s)</math>; <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow\,(r)\subset(s)</math>; <math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\,\Leftrightarrow\,(r)=(s)</math>; <math>r\in R^\times\Leftrightarrow\,r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim1\,\Leftrightarrow\,(r)=R</math>;<br>(2) если идеал <math>(r)+(s)</math> главный, то <math>(r)+(s)=(\mathrm{gcd}(r,s))</math>, и, если идеал <math>(r)\cap(s)</math> главный, то <math>(r)\cap(s)=(\mathrm{lcm}(r,s))</math>;<br>(3) если в кольце <math>R</math> все идеалы главные, то <math>\mathrm{gcd}(r,s)</math> и <math>\mathrm{lcm}(r,s)</math> существуют, а также <math>(R/(r))^\times\!=\{s+(r)\in R/(r)\mid\mathrm{gcd}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim1\}</math>.</i>
<li>Неприводимые и простые эл.-ты: <math>\mathrm{Irr}(R)=(R\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{s\,t\mid s,t\in R\!\setminus\!R^\times\}</math> и <math>\mathrm{Prime}(R)=\{r\in R\!\setminus\!(R^\times\!\cup\{0\})\mid\forall\,s,t\in R\;\bigl(r\,|\,s\,t\,\Rightarrow\,r\,|\,s\,\lor\,r\,|\,t\bigr)\}</math>.
<li><u>Теорема о неприводимых и простых элементах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо; тогда<br>(1) если <math>R</math> — область целостности, то <math>\,\mathrm{Prime}(R)\subseteq\mathrm{Irr}(R)</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область главных идеалов, то <math>\,\mathrm{Irr}(R)=\mathrm{Prime}(R)</math>;<br>(3) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>r\in\mathrm{Prime}(R)</math> и (у2) <math>R/(r)</math> — область целостности;<br>(4) если <math>R</math> — область главных идеалов, то для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>r\in\mathrm{Irr}(R)</math>, (у2) <math>r\in\mathrm{Prime}(R)</math>,<br>(у3) <math>R/(r)</math> — область целостности и (у4) <math>R/(r)</math> — поле.</i></ul>

<h5>4.2&nbsp; Евклидовы кольца и факториальные кольца</h5>
<ul><li>Евклидова норма — такая функция <math>\nu\,\colon R\to\mathbb N_0\cup\{-\infty\}</math>, что относ.-но <math>\nu</math> можно делить с остатком на ненул. эл.-ты и <math>\nu</math> не убывает относ.-но <math>|</math> на <math>R\!\setminus\!\{0\}</math>.
<li>Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: <math>\mathbb Z</math> (<math>\nu(a)=|a|</math>); <math>K[x]</math> (<math>\nu(f)=\deg f</math>); <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\sqrt2\,\mathrm i]</math>, <math>\mathbb Z[\mathrm e^{\frac{2\pi}3\mathrm i}]</math> (<math>\nu(a)=|a|^2</math>).
<li><u>Теорема о евклидовых кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — евклидово кольцо с евклидовой нормой <math>\nu</math>; тогда<br>(1) для любых <math>r\in R\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>s\in R</math> выполнено <math>s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow\,\nu(s)<\nu(r)</math>;<br>(2) в <math>R</math> невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в <math>R</math> не существует такой бесконечной послед.-сти <math>r_1,r_2,\ldots</math>, что <math>\forall\,i\in\mathbb N\;\bigl(r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_i\bigr)</math>);<br>(3) если <math>I\trianglelefteq R</math>, то для любых <math>r\in I\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>I=(r)\,\Leftrightarrow\,\nu(r)=\min\{\nu(s)\mid s\in I\!\setminus\!\{0\}\}</math>;<br>(4) <math>R</math> — область главных идеалов (в частности, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, являются областями главных идеалов).</i>
<li>Факториальное кольцо — обл. цел.-сти с единств. (с точн.-ю до <math>\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim</math> и перестановок) разложением любого ненул. эл.-та в произвед.-е неприводимых эл.-тов.
<li>Примеры: <math>\mathbb Z</math> — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо <math>R</math> факториально, то и <math>R[x]</math> факториально (без доказательства).
<li><u>Теорема о факториальности евклидовых колец.</u><br><i>(1) Пусть <math>R</math> — область целостности, в <math>R</math> невозможна бесконечная строгая делимость и <math>\,\mathrm{Irr}(R)=\mathrm{Prime}(R)</math>; тогда <math>R</math> — факториальное кольцо.<br>(2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (в частности, кольца <math>\,\mathbb Z</math> и <math>K[x]</math>, где <math>K</math> — поле, являются факториальными кольцами).</i>
<li><u>Теорема о факториальных кольцах.</u> <i>Пусть <math>R</math> — факториальное кольцо и <math>r,s\in R\!\setminus\!\{0\}</math>; разложим <math>r</math> и <math>s</math> в произведение неприводимых элементов:<br><math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}</math> и <math>s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{e_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{e_k}</math>, где <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>p_1,\ldots,p_k\in\mathrm{Irr}(R)</math>, <math>p_1,\ldots,p_k</math> попарно неассоциированы и <math>d_1,\ldots,d_k,e_1,\ldots,e_k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>s\,|\,r\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(e_i\le d_i\bigr)</math> и <math>r\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim s\;\Leftrightarrow\;\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(d_i=e_i\bigr)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{gcd}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\min(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\min(d_k,e_k)}</math> и <math>\,\mathrm{lcm}(r,s)\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim p_1^{\max(d_1,e_1)}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}</math>.</i></ul>

<h5>4.3&nbsp; Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера</h5>
<ul><li>Соотношение Безу для эл.-тов <math>r</math> и <math>s</math> евклидова кольца: <math>u\,r+v\,s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>, где <math>u</math> и <math>v</math> — коэффициенты Безу. Нахождение <math>(s+(r))^{-1}</math> в кольце <math>R/(r)</math>.
<li>Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: <math>r_0=s</math> и <math>r_1=r</math>; на <math>i</math>-м шаге <math>r_{i-1}=q_ir_i+r_{i+1}</math> и <math>\nu(r_{i+1})<\nu(r_i)</math>; тогда, если <math>r_{n+1}=0</math>, то <math>r_n\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>.
<li>Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: <math>r_n=-q_{n-1}r_{n-1}+r_{n-2}</math>; на <math>i</math>-м шаге <math>r_n=u_ir_i+v_ir_{i-1}</math>; тогда <math>r_n=u_1r+v_1s\overset{\scriptscriptstyle\mid}\sim\mathrm{gcd}(r,s)</math>.
<li><u>Китайская теорема об остатках для целых чисел.</u> <i>Пусть <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>n_1,\ldots,n_k\in\mathbb N</math> и <math>n_1,\ldots,n_k</math> попарно взаимно просты (то есть <math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}</math><br><math>\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(n_i,n_j)=1\bigr)</math>); тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb Z/(n_1\cdot\ldots\cdot n_k)&\to\mathbb Z/n_1\times\ldots\times\mathbb Z/n_k\\a&\mapsto(a\;\mathrm{mod}\;n_1,\ldots,a\;\mathrm{mod}\;n_k)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм колец.</i>
<li><u>Китайская теорема об остатках для многочленов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты (то есть<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{gcd}(f_i,f_j)=1\bigr)</math>); тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K[x]/(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)&\to K[x]/f_1\times\ldots\times K[x]/f_k\\a&\mapsto(a\;\mathrm{mod}\,f_1,\ldots,a\;\mathrm{mod}\,f_k)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм колец.</i>
<li>Функция Эйлера от <math>n</math>: <math>\phi(n)=|\{a\in\mathbb Z/n\mid\mathrm{gcd}(a,n)=1\}|</math>. Пример: если <math>p\in\mathbb P</math> и <math>d\in\mathbb N</math>, то <math>\phi(p^d)=p^{d-1}(p-1)</math>. Утверждение: <math>\phi(n)=|(\mathbb Z/n)^\times\!|</math>.
<li><u>Теорема о свойствах функции Эйлера.</u><br><i>(1) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>, <math>a\in\mathbb Z</math> и <math>\mathrm{gcd}(a,n)=1</math>; тогда <math>a^{\phi(n)}\!\equiv1\;(\mathrm{mod}\;n)</math> (это теорема Эйлера).<br>(2) Пусть <math>m,n\in\mathbb N</math> и <math>\mathrm{gcd}(m,n)=1</math>; тогда <math>\phi(mn)=\phi(m)\,\phi(n)</math>.<br>(3) Пусть <math>n\in\mathbb N</math>; разложим <math>n</math> в произведение простых чисел: <math>n=p_1^{d_1}\!\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k}</math>, где <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>p_1,\ldots,p_k\in\mathbb P</math>, <math>p_1,\ldots,p_k</math> попарно различны и<br><math>d_1,\ldots,d_k\in\mathbb N</math>; тогда <math>\phi(n)=p_1^{d_1-1}(p_1-1)\cdot\ldots\cdot p_k^{d_k-1}(p_k-1)=n\,\Bigl(1-\frac1{p_1}\Bigr)\cdot\ldots\cdot\Bigl(1-\frac1{p_k}\Bigr)</math>.</i></ul>

<h5>4.4&nbsp; Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби</h5>
<ul><li>Производная многочлена: <math>(f_nx^n+\ldots+f_0)'\!=nf_nx^{n-1}+\ldots+f_1</math>. <u>Правило Лейбница.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо и <math>f,g\in R[x]</math>; тогда <math>(fg)'\!=f'g+f\,g'</math>.</i>
<li>Корень <math>r</math> кратности <math>k</math> многочлена <math>f</math>: <math>(x-r)^k\,|\,f\,\land\,\lnot\bigl((x-r)^{k+1}\,|\,f\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\;\exists\,g\in R[x]\;\bigl(f=(x-r)^kg\,\land\,g(r)\ne0\bigr)</math>). Теорема о кратных корнях.
<p><u>Теорема о кратных корнях.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f\in R[x]</math>, <math>r\in R</math> и <math>k\in\mathbb N</math>; тогда<br>(1) если <math>r</math> — корень кратности не меньше <math>k</math> многочлена <math>f</math>, то <math>r</math> — корень кратности не меньше <math>k-1</math> многочлена <math>f'</math>;<br>(2) если <math>R</math> — область целостности, <math>\mathrm{char}\,R</math> не делит <math>k</math> и <math>r</math> — корень кратности <math>k</math> многочлена <math>f</math>, то <math>r</math> — корень кратности <math>k-1</math> многочлена <math>f'</math>;<br>(3) <math>r</math> — кратный корень многочлена <math>f</math> (то есть корень кратности не меньше <math>2</math>), если и только если <math>r</math> — корень многочленов <math>f</math> и <math>f'</math>.</i></p>
<li><u>Теорема об интерполяции.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>c_1,\ldots,c_n,e_1,\ldots,e_n\in K</math> и <math>c_1,\ldots,c_n</math> попарно различны; тогда существует единственный<br>такой многочлен <math>f\in K[x]</math>, что <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(f(c_i)=e_i\bigr)</math> и <math>\deg f<n</math>, и этот многочлен можно найти по следующим формулам:<br>(1) <math>f=\sum_{i=1}^ne_il_i</math>, где <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\biggl(l_i=\frac{(x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_{i-1})\cdot(x-c_{i+1})\cdot\ldots\cdot(x-c_n)}{(c_i-c_1)\cdot\ldots\cdot(c_i-c_{i-1})\cdot(c_i-c_{i+1})\cdot\ldots\cdot(c_i-c_n)}\biggr)</math> (это интерполяционная формула Лагранжа);<br>(2) <math>f=f_n</math>, где <math>f_0=0</math> и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\biggl(f_i=f_{i-1}+\bigl(e_i-f_{i-1}(c_i)\bigr)\frac{(x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_{i-1})}{(c_i-c_1)\cdot\ldots\cdot(c_i-c_{i-1})}\biggr)</math> (это интерполяционная формула Ньютона).</i>
<li>Поле частных: <math>\mathrm Q(R)=\bigl(R\times(R\!\setminus\!\{0\})\bigr)/{\sim}</math>, где <math>(r,s)\sim(\breve r,\breve s)\,\Leftrightarrow\,r\breve s=\breve rs</math> и <math>[(r,s)]_\sim\!+[(t,u)]_\sim\!=[(ru+st,su)]_\sim</math>, <math>[(r,s)]_\sim[(t,u)]_\sim\!=[(rt,su)]_\sim</math>.
<li>Теорема о поле частных. Отождествл.-е <math>r</math> и <math>[(r,1)]_\sim</math>. Примеры: <math>\mathrm Q(\mathbb Z)\cong\mathbb Q</math>, <math>K(x)=\mathrm Q(K[x])=\Bigl\{\frac fg\!\mid f,g\in K[x],\,g\ne0\Bigr\}</math> — поле рационал. дробей.
<p><u>Теорема о поле частных.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}R&\to\mathrm Q(R)\\r&\mapsto[(r,1)]_\sim\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм колец, а также<br>для любых <math>r\in R</math> и <math>s\in R\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>[(r,s)]_\sim\!=\frac{[(r,1)]_\sim}{[(s,1)]_\sim}</math> (и, значит, <math>\mathrm Q(R)=\Bigl\{\frac{[(r,1)]_\sim}{[(s,1)]_\sim}\!\mid r,s\in R,\,s\ne0\Bigr\}</math>).</i></p>
<li>Несократимая запись: <math>\frac fg</math> (<math>\mathrm{gcd}(f,g)=1</math>, <math>g</math> нормир.). Приведение к несократ. записи. Правильная дробь: <math>\frac fg</math> (<math>\deg f<\deg g</math>). Выделение правил. дроби.
<li>Примарная дробь: <math>\frac f{h^d}</math> (<math>h\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>, <math>h</math> нормир., <math>d\in\mathbb N</math>, <math>\deg f<\deg h^d</math>). Простейшая дробь: <math>\frac f{h^d}</math> (<math>h\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>, <math>h</math> нормир., <math>d\in\mathbb N</math>, <math>\deg f<\deg h</math>).
<li>Метод неопределенных коэффиц.-тов для разложения правильной дроби в сумму простейших дробей (док.-во корректности см. в п. 3 в § 4 главы 5 в [3]).</ul>

<h5>4.5&nbsp; Матрицы, столбцы, строки</h5>
<ul><li>Множества матриц, столбцов и строк: <math>\mathrm{Mat}(p,n,R)</math>, <math>R^n\!=\mathrm{Mat}(n,1,R)</math> и <math>R_n\!=\mathrm{Mat}(1,n,R)</math>. Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
<li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,R)=\mathrm{Mat}(n,n,R)</math>, группа <math>\mathrm{GL}(n,R)=\mathrm{Mat}(n,R)^\times</math>.
<li>Матрицы специального вида: диагональные, скалярные, верхнетреугольные, нижнетреугольные, треугольные. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
<li>Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями: <math>(\mathbf e_i)^k=\delta_i^k</math>, <math>(\mathbf e^j)_l=\delta^j_l</math>, <math>(\mathbf e_i^j)^k_l=\delta_i^k\,\delta^j_l</math>. Утверждение: <i><math>\mathbf e_i\cdot\mathbf e^j=\mathbf e_i^j</math>, <math>\mathbf e^j\cdot\mathbf e_i=\delta_i^j</math>, <math>\mathbf e_i^j\cdot\mathbf e_k^l=\delta^j_k\,\mathbf e_i^l</math></i>.
<li>Строки матрицы <math>a</math>: <math>a^i_\bullet=\mathbf e^i\cdot a</math>. Столбцы матрицы <math>a</math>: <math>a^\bullet_j=a\cdot\mathbf e_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i_\bullet=b^i_\bullet\cdot a=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_\bullet</math>, а также <math>(b\cdot a)^\bullet_k=b\cdot a^\bullet_k=\sum_{j=1}^pb^\bullet_j\,a^j_k</math></i>.
<li>Операторы умн.-я на матрицу между <math>R^n</math> и <math>R^p</math>: <math>\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}</math> — группа по сложению. Теорема об операторах умножения на матрицу.
<p><u>Теорема об операторах умножения на матрицу.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо и <math>n,p\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(p,n,R)&\to\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}\\a&\mapsto\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм групп по сложению и, если <math>n=p</math>, то это отобр.-е — изоморфизм колец;<br>(2) если <math>R</math> — комм. кольцо, то <math>\{\bigl(v\mapsto a\cdot v\bigr)\!\mid a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)\}=\{a\in\mathrm{Map}(R^n,R^p)\mid\forall\,v,v'\!\in R^n,\,c,c'\!\in R\;\bigl(a(c\,v+c'v')=c\,a(v)+c'a(v')\bigr)\}</math><br>(то есть множество операторов умножения на матрицу между <math>R^n</math> и <math>R^p</math> совпадает с множеством линейных операторов между <math>R^n</math> и <math>R^p</math>).</i></p>
<li>Транспонирование матрицы <math>a</math>: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. След квадратн. матрицы <math>a</math>: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Линейность <math>{}^\mathtt T</math> и <math>\mathrm{tr}</math>. Теорема о свойствах транспонирования и следа.
<p><u>Теорема о свойствах транспонирования и следа.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n,p,r\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,R)</math> выполнено <math>(b\cdot a)^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot b^\mathtt T</math> и, если <math>n=r</math>, то <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math>;<br>(2) для любых <math>a\in\mathrm{GL}(n,R)</math> выполнено <math>(a^{-1})^\mathtt T\!=(a^\mathtt T)^{-1}</math>, а также для любых <math>v,w\in R^n</math> выполнено <math>v^\mathtt T\!\cdot w=v^1\,w^1+\ldots+v^n\,w^n</math>.</i></p>
<li>Симметричные и антисимм. матрицы: <math>\mathrm{SMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=a\}</math>, <math>\mathrm{AMat}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!=-a\,\land\,a^1_1=\ldots=a^n_n=0\}</math>.</ul>

<h3>5&nbsp;&nbsp; Группы (часть 2)</h3>
<h5>5.1&nbsp; Символ Леви-Чивиты и симметрические группы</h5>
<ul><li>Транспозиции: <math>(i\;\,j)</math> (<math>i\ne j</math>). Фундаментальные транспозиции: <math>(i\;\,i+1)</math>. Мн.-во инверсий: <math>\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)=\{(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\!\mid i<j\;\land\,f_i>f_j\}</math>.
<li><u>Лемма о количестве инверсий.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_n\in\mathbb Z</math>, <math>l=|\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)|</math> и <math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math>; тогда<br>(1) <math>(f_1,\ldots,f_n)\circ(i\;\,i+1)=(f_1,\ldots,f_{i-1},f_{i+1},f_i,f_{i+2},\ldots,f_n)</math>;<br>(2) если <math>f_i>f_{i+1}</math>, то <math>|\mathrm{inv}((f_1,\ldots,f_n)\circ(i\;\,i+1))|=l-1</math>, и, если <math>f_i<f_{i+1}</math>, то <math>|\mathrm{inv}((f_1,\ldots,f_n)\circ(i\;\,i+1))|=l+1</math>.</i>
<li><u>Теорема о сортировке пузырьком.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_n\in\mathbb Z</math> и <math>l=|\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)|</math>; обозначим через <math>\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n}</math> числа <math>f_1,\ldots,f_n</math>, упорядоченные<br>по неубыванию (то есть <math>\exists\,u\in\mathrm S_n\,\bigl((f_{u(1)},\ldots,f_{u(n)})=(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})\bigr)\!</math> и <math>\hat{f_1}\le\ldots\le\hat{f_n}</math>); тогда<br>(1) существуют такие фундаментальные транспозиции <math>u_1,\ldots,u_l\in\mathrm S_n</math>, что <math>(f_1,\ldots,f_n)\circ u_1\circ\ldots\circ u_l=(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})</math>;<br>(2) для любых <math>l'\!\in\mathbb N_0</math> из существования таких фундаментальных транспозиций <math>u_1,\ldots,u_{l'}\!\in\mathrm S_n</math>, что <math>(f_1,\ldots,f_n)\circ u_1\circ\ldots\circ u_{l'}\!=(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})</math>,<br>следует, что <math>l\le l'</math>, а также в том случае, когда числа <math>f_1,\ldots,f_n</math> попарно различны, что <math>l\equiv l'\,(\mathrm{mod}\;2)</math>.</i>
<li>Символ Леви-Чивиты: <math>\varepsilon_{f_1,\ldots,f_n}\!=(-1)^{|\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)|}</math>, если числа <math>f_1,\ldots,f_n</math> попарно различны; иначе <math>\varepsilon_{f_1,\ldots,f_n}\!=0</math>. Пример: <math>(v\times w)^i=\!\!\!\sum_{1\le j,k\le3}\!\!\!\varepsilon_{i,j,k}\,v^jw^k</math>.
<li>Знак перестановки <math>u</math>: <math>\mathrm{sgn}(u)=\varepsilon_{u(1),\ldots,u(n)}</math>. Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: <math>\mathrm A_n=\{u\in\mathrm S_n\!\mid\mathrm{sgn}(u)=1\}</math>; <math>|\mathrm A_n|=n!/2</math> (<math>n\ge2</math>).
<p><u>Теорема о свойствах знака.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S_n\!&\to\{1,-1\}\\u&\mapsto\mathrm{sgn}(u)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп и, если <math>n\ge2</math>, то это сюръективный гомоморфизм групп;<br>(2) для любых <math>m\in\{1,\ldots,n\}</math> и попарно различных чисел <math>i_1,\ldots,i_m\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\mathrm{sgn}((i_1\;\ldots\;i_m))=(-1)^{m-1}</math>;<br>(3) для любых <math>u\in\mathrm S_n</math> выполнено <math>\mathrm{sgn}(u)=(-1)^k</math>, где <math>k</math> — количество циклов четной длины в цикловой записи перестановки <math>u</math>;<br>(4) для любых <math>f_1,\ldots,f_n\in\mathbb Z</math> и <math>u\in\mathrm S_n</math> выполнено <math>\varepsilon_{f_{u(1)},\ldots,f_{u(n)}}\!\!=\mathrm{sgn}(u)\,\varepsilon_{f_1,\ldots,f_n}</math>.</i></p>
<li><u>Теорема о классах сопряженности в симметрических группах.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s,\breve s\in\mathrm S_n</math>; тогда перестановки <math>s</math> и <math>\breve s</math> сопряжены, если и только если<br>неупорядоченные наборы длин циклов в цикловой записи перестановок <math>s</math> и <math>\breve s</math> (то есть цикловые типы перестановок <math>s</math> и <math>\breve s</math>) равны.</i>
<li>Задание группы <math>\mathrm S_n</math> образующими и соотношениями: <math>\mathrm S_n</math> порождена образ.-ми <math>d_1,\ldots,d_{n-1}</math> с соотн.-ми инволютивности, локальности и кос (без док.-ва).</ul>

<h5>5.2&nbsp; Определитель матрицы и группы матриц</h5>
<ul><li>Определитель квадр. матрицы <math>a</math> над коммут. кольцом: <math>\det a=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}a^{j_1}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{j_n}_n=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{u(n)}_n\!</math>. Расстановки ладей и <math>\det</math>.
<li>Примеры: <math>\det\bigl(v_1\;v_2\bigr)</math> — ориентированная площадь, <math>\det\bigl(v_1\;v_2\;v_3\bigr)\!=(v_1\times v_2\!\mid\!v_3)</math> — ориентиров. объем. Лемма об определителе набора столбцов.
<p><u>Лемма об определителе набора столбцов.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_n,v,v'\!\in R^n</math> и <math>c,c'\!\in R</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,c\,v+c'v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\!=c\,\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v\;\;v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\!+c'\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_{i-1}\;\,v'\;\,v_{i+1}\;\ldots\;v_n\bigr)\bigr)</math>;<br>(2) если среди столбцов <math>v_1,\ldots,v_n</math> есть равные, то <math>\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)\!=0</math>;<br>(3) для любых <math>j_1,\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\det\bigl(v_{j_1}\;\ldots\;v_{j_n}\bigr)\!=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\!\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)</math>.</i></p>
<li><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,R)&\to R\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению, а также <math>\,\mathrm{GL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a\in R^\times\}</math> (доказ.-во только <math>\,\subseteq</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in R^n</math> выполнено <math>\det\bigl(a\cdot v_1\;\ldots\;a\cdot v_n\bigr)\!=\det a\cdot\det\bigl(v_1\;\ldots\;v_n\bigr)</math>, а также <math>\,b\cdot a=\mathrm{id}_n\Rightarrow\,b=a^{-1}</math>;<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math> выполнено <math>\det a^\mathtt T\!=\det a</math>;<br>(4) для любых <math>n',n''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',R)</math>, <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',R)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',R)</math> выполнено <math>\det\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\det a'\!\cdot\det a''</math>.</i>
<li>Специальная линейная группа: <math>\mathrm{SL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,R)</math>. Геом. смысл: <math>a\in\mathrm{SL}(n,R)</math><math>\,\,\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>a</math> сохраняет ориент. объем<math>\bigr)</math>.
<li>Аффинная линейная группа: <math>\mathrm{AGL}(n,R)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a\in\mathrm{GL}(n,R),\,z\in R^n\bigr\}\le\mathrm{GL}(n+1,R)</math>. Геометрический смысл: <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}a&z\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)=\Bigl(\begin{smallmatrix}\!a\,\cdot\,v\,+\,z\!\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.
<li>Ортогональная группа: <math>\mathrm O(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb R)</math>. Специальная ортогонал. группа: <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb R)\cap\mathrm O(n)\trianglelefteq\mathrm O(n)</math>.
<li>Унитарная группа: <math>\mathrm U(n)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\overline a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,\mathbb C)</math>. Специальная унитарная группа: <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb C)\cap\mathrm U(n)\trianglelefteq\mathrm U(n)</math>.
<li>Изометрии в <math>\mathbb R^n</math>: <math>\mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\{\bigl(v\mapsto a\cdot v+z\bigr)\!\mid a\in\mathrm O(n),\,z\in\mathbb R^n\}</math> (доказ.-во только <math>\supseteq</math>). Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
<p><u>Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.</u> <i>Отображение <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\bigr\}\\\alpha+\beta\,\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм колец, <math>\mathrm S^1\!=\mathrm U(1)</math> и<br><math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math>, а также отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S^1\!=\mathrm U(1)&\to\mathrm{SO}(2)\\\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм групп.</i></p></ul>

<h5>5.3&nbsp; Действия групп на множествах</h5>
<ul><li>Действие <math>\pi</math> группы <math>G</math> на множ.-ве <math>X</math> — гомоморфизм моноидов <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to\mathrm{Map}(X)\\g&\mapsto\pi_g\end{align}\!\biggr)</math>. Утверждение: <math>\forall\,g\in G\;\bigl(\pi_g\!\in\mathrm{Bij}(X)\bigr)</math>. Обозначение: <math>g\,x=\pi_g(x)</math>.
<li>Примеры: <math>\mathrm{Bij}(X)</math> действует на <math>X</math>, группы матриц действуют на <math>\mathbb R^n</math>, группа <math>G</math> действует на <math>G/H</math> (где <math>H\le G</math>) умножением слева и на <math>G</math> сопряжением.
<li>Теорема Кэли. Точное действие: <math>\pi</math> — инъекция. Динамическая система с дискретным<math>\,/\,</math>непрерывным временем — мн.-во с действием группы <math>\mathbb Z^+</math><math>/\;</math><math>\mathbb R^+</math>.
<p><u>Теорема Кэли.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа; тогда<br>(1) для любых <math>g\in G</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_g</math> — биекция (то есть <math>\mathrm{lm}_g\!\in\mathrm{Bij}(G)</math>);<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to\mathrm{Bij}(G)\\g&\mapsto\mathrm{lm}_g\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм групп.</i></p>
<li><math>G</math>-Множество — множество с действием группы <math>G</math>. Гомоморфизмы <math>G</math>-множеств: <math>\mathrm{Hom}_G(X,Y)=\{f\in\mathrm{Map}(X,Y)\mid\forall\,g\in G\;\bigl(f(g\,x)=g\,f(x)\bigr)\}</math>.
<li>Орбита точки <math>x</math>: <math>Gx</math> (<math>Gx=[x]_\sim</math>, где <math>\,\forall\,x,\breve x\in X\;\bigl(x\sim\breve x\,\Leftrightarrow\,\exists\,g\in G\;\bigl(\breve x=g\,x\bigr)\!\bigr)</math>). Множество орбит: <math>X/G=\{Gx\mid x\in X\}</math> — разбиение мн.-ва <math>X</math>.
<li>Транзитивное действие (<math>X</math> — однородное <math>G</math>-мн.-во): <math>|X/G|=1</math>. Стабилизатор: <math>\mathrm{St}_G(x)=\{g\in G\mid g\,x=x\}</math>. Стабилизаторы платоновых тел в <math>\mathrm{SO}(3)</math>.
<li>Свободное действие (<math>X</math> — свободное <math>G</math>-мн.-во): <math>\forall\,x\in X\;\bigl(\mathrm{St}_G(x)=\{1\}\bigr)</math>. Торсор — однородное свободное <math>G</math>-мн.-во: <math>\forall\,x,y\in X\;\,\exists!\,g\in G\;\bigl(y=g\,x\bigr)</math>.
<li>Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: <math>\mathrm{Fix}_X(g)=\{x\in X\mid g\,x=x\}</math>. Лемма Бернсайда. Пример: <math>\frac1{n!}\!\sum_{u\in\mathrm S_n}|\mathrm{Fix}(u)|=1</math>.
<p><u>Теорема о классах смежности по стабилизатору.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>X</math> — <math>G</math>-множество и <math>x\in X</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G/\,\mathrm{St}_G(x)&\to X\\g\,\mathrm{St}_G(x)&\mapsto g\,x\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно, является инъективным гомоморфизмом <math>G</math>-множеств и его образ есть <math>Gx</math>;<br>(2) если <math>|G|<\infty</math>, то <math>|G|=|Gx|\,|\mathrm{St}_G(x)|</math> (и, значит, <math>|Gx|</math> делит <math>|G|</math>).</i></p>
<p><u>Лемма Бернсайда.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа, <math>X</math> — <math>G</math>-множество и <math>|G|<\infty</math>; тогда <math>|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\mathrm{Fix}_X(g)|</math>.</i></p></ul>

<h5>5.4&nbsp; Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп</h5>
<ul><li>Группа автоморфизмов: <math>\mathrm{Aut}(G)</math>. Пример: <math>\mathrm{Aut}((\mathbb Z/n)^+)\cong(\mathbb Z/n)^\times</math>. Группа внутренних автоморф.-в: <math>\mathrm{Inn}(G)=\{\bigl(x\mapsto g\,x\,g^{-1}\bigr)\!\mid g\in G\}\le\mathrm{Aut}(G)</math>.
<li>Центр группы <math>G</math>: <math>\mathrm Z(G)=\{g\in G\mid\forall\,x\in G\;\bigl(g\,x=x\,g\bigr)\}</math>. Пример: если <math>n\ne2</math>, то <math>\mathrm Z(\mathrm S_n)=\{\mathrm{id}_n\}</math>. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.
<p><u>Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}G&\to\mathrm{Aut}(G)\\g&\mapsto\bigl(x\mapsto g\,x\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп, его ядро<br>есть <math>\,\mathrm Z(G)</math>, его образ есть <math>\,\mathrm{Inn}(G)</math> (и, значит, <math>G/\,\mathrm Z(G)\cong\mathrm{Inn}(G)</math>), и, кроме того, <math>\mathrm{Inn}(G)\trianglelefteq\mathrm{Aut}(G)</math>.</i></p>
<li>Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): <math>[g_1,g_2]=g_1\,g_2\,g_1^{-1}g_2^{-1}</math>. Коммутант группы <math>G</math>: <math>[G,G]=\bigl\langle\{[g_1,g_2]\mid g_1,g_2\in G\}\bigr\rangle</math>.
<li>Утверждение: <math>[G,G]\trianglelefteq G</math>. Теорема о коммутанте. Пример: <math>[\mathrm S_n,\mathrm S_n]=\mathrm A_n</math> (доказ.-во только включения <math>\subseteq</math>). Абелианизация группы <math>G</math>: <math>G^\mathtt{ab}\!=G/[G,G]</math>.
<p><u>Теорема о коммутанте.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>H\trianglelefteq G</math>; тогда группа <math>G/H</math> абелева, если и только если <math>[G,G]\subseteq H</math> (и, значит, <math>G/[G,G]</math> абелева).</i></p>
<li>Простая группа: <math>|\{H\subseteq G\mid H\trianglelefteq G\}|=2</math>. Примеры: группы <math>\mathrm A_n</math> (<math>n\ge5</math>), <math>\mathrm{SL}(2,K)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}</math> (<math>K</math> — поле, <math>|K|\ge4</math>), <math>\mathrm{SO}(3)</math> простые (без доказ.-ва).
<li>Полупрямое произв.-е <math>F\underset\pi\leftthreetimes H</math> относ.-но действия <math>\pi</math>, где <math>\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))</math>: <math>F\times H</math> с бинарной операцией <math>(f_1,h_1)\,(f_2,h_2)=(f_1\,\pi_{h_1}\!(f_2),h_1\,h_2)</math>.
<li>Утверждение: <i><math>\biggl(\!\begin{align}F\underset\pi\leftthreetimes H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп</i>. Пример: <math>\mathrm{AGL}(n,K)\cong(K^n)^+\underset\pi\leftthreetimes\mathrm{GL}(n,K)</math>, где <math>\,\forall\,a\in\mathrm{GL}(n,K),\,z\in K^n\,\bigl(\pi_a(z)=a\cdot z\bigr)</math>.
<li><u>Теорема о полупрямом произведении.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>F,H\le G</math>; обозначим через <math>\mathrm{mult}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\exists\,\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))\;\bigl(\mathrm{mult}\in\mathrm{Hom}(F\underset\pi\leftthreetimes H,G)\bigr)\Leftrightarrow\,\forall\,h\in H\;\bigl(h\,F\,h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math>, <math>\mathrm{mult}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{mult}=FH</math>;<br>(2) <math>\exists\,\pi\in\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Aut}(F))\;\bigl(\mathrm{mult}\in\mathrm{Iso}(F\underset\pi\leftthreetimes H,G)\bigr)\Leftrightarrow\,F\cap H=\{1\}\,\land\,G=FH\,\land\,\forall\,h\in H\;\bigl(h\,F\,h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math>;<br>(3) если <math>|G|<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>\,G=FH</math>" можно заменить на условие "<math>\,|G|=|F|\,|H|</math>".</i></ul>