Просмотр исходного текста страницы Алгебраические структуры 5 2015

<b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.

<b>Преподаватель практики у подгруппы №1:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.

<b>Список подгруппы №1 на практике:</b> Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,<br>Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,<br>Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

<b>Преподаватель практики у подгруппы №2:</b> Софья Сергеевна Афанасьева.

<b>Список подгруппы №2 на практике:</b> Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,<br>Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,<br>Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

[[Медиа:Problems_11.11.pdf|<b>Файл с домашним заданием на 11-е ноября.</b>]]

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1FFLPZXZwBFdEmG7NFQC856NN9ZCfcAthoX53pVq-Du8/htmlembed<b>Таблица успеваемости студентов.</b>]

<b>Все основные материалы курса имеются на следующих страницах:</b> http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и<br>http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).

<h2>Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности</h2>
<table cellpadding="6" cellspacing="0">
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться<br>неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции.</td></tr><tr align="right"><td><i>Ю.И. Манин. Математика как метафора</i></td></tr></table></td></tr></table>

Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных<br>(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.

<ul><li><i>Глобальная <math>4</math>-мерная система координат</i> на множестве <math>M</math> — биекция между множествами <math>M</math> и <math>\mathbb R^4</math>.
<li>Глобальные <math>4</math>-мерные системы координат <math>\alpha</math> и <math>\tilde\alpha</math> на множестве <math>M</math> <i>инерциально согласованы в смысле СТО</i>, если замена координат <math>\tilde\alpha\circ\alpha^{-1}</math> —<br>преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие <math>\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\in\mathrm{SO}^+(1,3)</math><br>и <math>\xi_\alpha^\tilde\alpha\in\mathbb R^4</math>, что для любых <math>x\in\mathbb R^4</math> выполнено <math>\tilde\alpha(\alpha^{-1}(x))=\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\!\cdot x+\xi_\alpha^\tilde\alpha</math>.
<li><u>Лемма 1.</u> Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности.
<li><i>Пространство событий в СТО</i> — множество <math>M</math>, на котором зафиксирован класс <math>\mathcal A_M</math> инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных<br><math>4</math>-мерных систем координат.
<li><i>Инерциальная система координат</i> на пространстве событий <math>M</math> в СТО — глобальная <math>4</math>-мерная система координат, принадлежащая классу <math>\mathcal A_M</math>.</ul>

Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура <math>4</math>-мерного многообразия: на <math>4</math>-мерном<br>многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,<br>разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные<br>конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,<br>тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких<br>замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для<br>пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом<br>пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.

Всюду далее <math>M</math> — пространство событий в СТО.

<ul><li><u>Лемма 2.</u> Для любых <math>m\in M</math>, <math>v\in\mathrm T_mM</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>v^\tilde\alpha\!=\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\!\cdot v^\alpha</math> (здесь <math>v^\alpha</math> — столбец координат вектора <math>v</math> относительно базиса<br><math>\Bigl\{\frac\partial{\partial x^0}(m),\frac\partial{\partial x^1}(m),\frac\partial{\partial x^2}(m),\frac\partial{\partial x^3}(m)\Bigr\}</math> пространства <math>\mathrm T_mM</math>, определяемого инерциальной системой координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>).
<li>Пусть <math>m,n\in M</math> и <math>v\in\mathrm T_mM</math>; <i>сумма</i> <math>n+v</math> события <math>n</math> и касательного вектора <math>v</math> — событие <math>\alpha^{-1}(\alpha(n)+v^\alpha)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
<li><u>Лемма 3.</u> Определение суммы события и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
<li>Пусть <math>m\in M</math>; <i>скалярное произведение</i> <math>g(m)</math> на касательном пространстве <math>\mathrm T_mM</math> — невырожденная симметричная билинейная форма<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM\times\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\(v,w)&\mapsto(v^\alpha)^\mathtt T\!\cdot\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)\cdot w^\alpha\!\end{align}\!\biggr)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
<li><u>Лемма 4.</u> Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
<li>Пусть <math>k\in\mathbb N</math>, <math>m_1,\ldots,m_k\in M</math>, <math>\tau_1,\ldots,\tau_k\in\mathbb R</math> и <math>\tau_1+\ldots+\tau_k=1</math>; <i>барицентрическая комбинация</i> <math>\tau_1m_1+\ldots+\tau_km_k</math> событий <math>m_1,\ldots,m_k</math><br>с коэффициентами <math>\tau_1,\ldots,\tau_k</math> — событие <math>\alpha^{-1}(\tau_1\alpha(m_1)+\ldots+\tau_k\alpha(m_k))</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
<li><u>Лемма 5.</u> Определение барицентрической комбинации событий не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
<li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>прямая</i>, проходящая через события <math>m</math> и <math>n</math>, — множество <math>\{(1-\tau)m+\tau\,n\mid\tau\in\mathbb R\}</math>.
<li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>разность</i> <math>n-m</math> событий <math>m</math> и <math>n</math> — скорость в нуле пути <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to M\\\tau&\mapsto(1-\tau)m+\tau\,n\end{align}\!\biggr)</math> (это элемент касательного простр.-ва <math>\mathrm T_mM</math>).
<li><u>Лемма 6.</u> Для любых <math>m,n\in M</math> и <math>\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>(n-m)^\alpha\!=\alpha(n)-\alpha(m)</math>.
<li><u>Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах.</u> Пусть <math>m,n\in M</math>; тогда<br>(1) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to M\\v&\mapsto m+v\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}M&\to\mathrm T_mM\\n&\mapsto n-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные биекции;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathrm T_nM\\v&\mapsto(n+v)-n\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_nM&\to\mathrm T_mM\\v&\mapsto(m+v)-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.</ul>

Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и<br>структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math> (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,<br>определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.

<h2>Дифференциальные операторы на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2>

Рассмотрим множество <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом<br>согласованности системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти координаты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом<br>элемента длины») <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и формой объема («элементом объема») <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math> (в записи с тензорным произведением<br><math>\sigma=\mathrm dx\otimes\mathrm dx+\mathrm dy\otimes\mathrm dy+\mathrm dz\otimes\mathrm dz</math> и <math>vol=\mathrm dx\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dz+\mathrm dy\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dx+\mathrm dz\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dy-\mathrm dx\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dy-\mathrm dz\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dx-\mathrm dy\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dz</math>).

Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — система координат на <math>\mathbb R^3</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm dx=\frac{\partial x}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial x}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial x}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>, <math>\mathrm dy=\frac{\partial y}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial y}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial y}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math> и <math>\mathrm dz=\frac{\partial z}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial z}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial z}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2+2\,\sigma_{1,2}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^2+2\,\sigma_{1,3}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^3+2\,\sigma_{2,3}\,\mathrm dx^2\,\mathrm dx^3</math>, где для любых<br><math>j_1,j_2\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\sigma_{j_1,j_2}\!=\frac{\partial x}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial x}{\partial x^{j_2}}+\frac{\partial y}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial y}{\partial x^{j_2}}+\frac{\partial z}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial z}{\partial x^{j_2}}</math>;<br>(3) <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}</math> есть якобиан замены координат при переходе от коорд. <math>(x^1,x^2,x^3)</math> к коорд. <math>(x,y,z)</math>.

Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — ортогональная положительно ориентированная система координат на <math>\mathbb R^3</math> (то есть <math>\sigma_{1,2}=\sigma_{1,3}=\sigma_{2,3}=0</math> и <math>vol_{1,2,3}\!>0</math>); тогда<br><math>\sigma=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2</math> и <math>vol=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}</math>.

<ul><li>Зафиксируем ортогональную положительно ориентированную систему координат <math>(x^1,x^2,x^3)</math> на <math>\mathbb R^3</math> и обозначим через <math>e_1</math>, <math>e_2</math> и <math>e_3</math> векторные<br>поля <math>\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\frac{\partial}{\partial x^1}</math>, <math>\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\frac{\partial}{\partial x^2}</math> и <math>\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\frac{\partial}{\partial x^3}</math> соответственно (они образуют ортонормированный базис в каждом касательном пространстве); тогда<br><math>e^1\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}}\,\mathrm dx^1</math>, <math>e^2\!=\!\sqrt{\sigma_{2,2}}\,\mathrm dx^2</math> и <math>e^3\!=\!\sqrt{\sigma_{3,3}}\,\mathrm dx^3</math>, а также <math>\sigma=(e^1)^2+(e^2)^2+(e^3)^2</math> и <math>vol=e^1\!\wedge e^2\!\wedge e^3</math>.
<li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3\in\mathrm{Vect}(\mathbb R^3)</math>; тогда<br>(1) <math>{\downarrow}\,v=v^1e^1+v^2e^2+v^3e^3\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\mathrm dx^1+\!\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\mathrm dx^2+\!\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>*\,({\downarrow}\,v)=v^1e^2\!\wedge e^3-v^2e^1\!\wedge e^3+v^3e^1\!\wedge e^2\!=\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2</math>.
<li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем градиент функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\nabla f={\uparrow}\,(\mathrm df)={\uparrow}\,(\partial_1f\;\mathrm dx^1+\partial_2f\;\mathrm dx^2+\partial_3f\;\mathrm dx^3)=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3</math>.
<li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3\in\mathrm{Vect}(\mathbb R^3)</math>; найдем дивергенцию векторного поля <math>v</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,({\downarrow}\,v)=*\,\mathrm d\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\bigr)=</math><br><math>=*\Bigl(\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\bigr)+\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\bigr)+\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\bigr)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3\Bigr)=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\bigr)+\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\bigr)+\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\bigr)\bigr)</math>.
<li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3\in\mathrm{Vect}(\mathbb R^3)</math>; найдем ротор векторного поля <math>v</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\mathrm{rot}\,v={\uparrow}\,(*\,\mathrm d({\downarrow}\,v))={\uparrow}\,\bigl({*}\,\mathrm d\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\mathrm dx^1+\!\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\mathrm dx^2+\!\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\mathrm dx^3\bigr)\bigr)=</math><br><math>={\uparrow}\Bigl({*}\Bigl(\!\bigl(\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)\!\bigr)\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)\!\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)-\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)\!\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\Bigr)\!\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac{\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)}{\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\,e_1-\frac{\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)}{\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}\,e_2+\frac{\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)-\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)}{\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}\,e_3</math>.
<li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем лапласиан функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\Delta f=\mathrm{div}(\nabla f)=\mathrm{div}\Bigl(\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\Bigl(\partial_1\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\Bigr)+\partial_2\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\Bigr)+\partial_3\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}{\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\Bigr)\!\Bigr)</math>.</ul>

Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры нуль)<br>являются цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>. Ниже найдены функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для этих<br>систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операторов, можно найти формулы<br>для рассматриваемых дифференциальных операторов в цилиндрической и сферической системах координат.

<ul><li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для цилиндрической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=\rho^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>.
<li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для сферической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!=r^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=r^2\sin^2\theta</math>.</ul>