Просмотр исходного текста страницы Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

__NOTOC__
<h2>3&nbsp; Билинейная и полилинейная алгебра</h2>
<table cellpadding="6" cellspacing="0">
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)<br>или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-<br>менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.<br>Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-<br>ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих<br>пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.</td></tr><tr align="right"><td>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор<i>Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии</i>]</td></tr></table></td></tr>
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>In the 20th century, the subject came to be known as <i>tensor analysis</i>, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's the-<br>ory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them,<br>with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann. Tullio Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes<br>Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915–1917, and was characterized by mutual respect: "I admire<br>the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of<br>us have to make our way laboriously on foot" (from Einstein's letter to Levi-Civita).</td></tr><tr align="right"><td>[https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor<i>Статья «Tensor» в англоязычной Википедии</i>]</td></tr></table></td></tr></table>

<h3>3.4&nbsp; Тензорные произведения векторных пространств</h3>
<h5>3.4.1&nbsp; Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами</h5>
<ul><li>Тензорное произв.-е пространств: <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\mathcal F/\mathcal F_0</math>, где <math>\mathcal F=\mathrm{FinFunc}(V_1\times\ldots\times V_k,K)</math> и <math>\mathcal F_0</math> — подпространство полилинеаризации.
<li>Разложимые тензоры: <math>v_1\otimes\ldots\otimes v_k=(v_1,\ldots,v_k)+\mathcal F_0</math>. Утверждение: <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\rangle</math>.
<li>Ранг тензора <math>T</math>: <math>\mathrm{rk}(T)</math> равен минимальному среди всех таких чисел <math>m\in\mathbb N_0</math>, что <math>T=T_1+\ldots+T_m</math>, где <math>T_1,\ldots,T_m</math> — разложимые тензоры.
<li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>;<br>тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> полилинейно, и для любых <math>\omega\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существует единственный<br>такой гомоморфизм <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что для любых <math>v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k</math> выполнено <math>a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i>
<li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> —<br>базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно; тогда все тензоры <math>b_1\otimes\ldots\otimes b_k</math>, где <math>b_1\in B_1,\ldots,b_k\in B_k</math>, попарно различны и вместе<br>образуют базис пространства <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k</math>, а также, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)=\dim V_1\cdot\ldots\cdot\dim V_k</math>.</i>
<li><u>Первая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>U,V,W</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br><math>(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes(V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W</math> и <math>V\otimes K\cong K\otimes V\cong V</math>, а также <math>V\otimes W\cong W\otimes V</math>.</i>
<li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е гомоморфизмов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y),b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>.
<li><u>Вторая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,W,Y,Z</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)\otimes\mathrm{Hom}(W,Z)&\to\mathrm{Hom}(V\otimes W,Y\otimes Z)\\a\otimes b&\mapsto\bigl(v\otimes w\mapsto a(v)\otimes b(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,<br>если <math>\dim V,\dim W,\dim Y,\dim Z<\infty</math>, то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}Y\otimes V^*\!&\to\mathrm{Hom}(V,Y)\\y\otimes\lambda&\mapsto\bigl(v\mapsto\lambda(v)\,y\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, то<br>данное отображение — изоморфизм векторных пространств;<br>(3) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes W^*\!&\to(V\otimes W)^*\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl(v\otimes w\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes W^*\!&\to\mathrm{Bi}(V,W,K)\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl((v,w)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективные гомоморфизмы векторных<br>пространств, а также, если <math>\dim V,\dim W<\infty</math>, то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.</i></ul>

<h5>3.4.2&nbsp; Тензорная алгебра и тензоры в координатах</h5>
<ul><li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}V=V^{\otimes p}\!\otimes(V^*)^{\otimes q}</math>. Примеры: <math>\mathcal T^0_{\,\,0}V=K</math>, <math>\mathcal T^1V=V</math>, <math>\mathcal T_{\,1}V=V^*</math>, <math>\mathcal T^1_{\,\,1}V\cong\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathcal T_{\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V)</math>.
<li>Примеры: <math>\mathcal T^1_{\,\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V,V,V)</math> — пространство структур алгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T^2_{\,\,1}V\cong\mathrm{Hom}(V,V\otimes V)</math> — пространство структур коалгебры на <math>V</math>.
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\dim V<\infty</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,k}V=\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\ldots\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм вект. пространств</i>.
<li>Тензорная алгебра: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опред. умножения используются изоморфизмы <math>\mathcal T^kV\otimes\mathcal T^{k'}\!V\cong\mathcal T^{k+k'}\!V</math>).
<li><u>Теорема о тензорной алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через<br><math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда множество <math>\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathcal T(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}</math> (и, значит,<br>линейное отображение, заданное на базисе по правилу <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathcal T(V)\\x_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{i_k}\!&\mapsto e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>).</i>
<li>Тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}</math>. Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^n(v^e)^ie_i</math>, <math>\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_e)_j\,e^j</math>, <math>a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!(a_e^e)^i_j\,e_i\otimes e^j</math>.
<li>Примеры: <math>\sigma=\!\!\sum_{1\le j_1,j_2\le n}\!\!(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\,e^{j_1}\!\otimes e^{j_2}</math> — метрический тензор, <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{sgn}(j_1,\ldots,j_n)\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_n}</math> — форма объема.
<li>Преобразование координат: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}\!=\!\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\,T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math> (здесь <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}\!=\stackrel\tilde eT\!\,^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}</math> и <math>T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}\!=\stackrel eT\!\,^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math>).</ul>

<h5>3.4.3&nbsp; Операции над тензорами</h5>
<ul><li>Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление <math>\mathrm{lat}</math> группы <math>\mathrm S_k</math> в простр.-ве <math>\mathcal T^kV</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{lat}_u\colon\mathcal T^kV&\to\mathcal T^kV\\v_1\otimes\ldots\otimes v_k&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes v_{u^{-1}(k)}\end{align}\!\biggr)</math>.
<li>Тензорное произведение тензоров в координатах: <math>\bigl(T\otimes T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q\;\;\;\;\;\;\;j_1',\ldots,j_{q'}'}\!\!=T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{p'}'}_{j_1',\ldots,j_{q'}'}</math>. Кронекеровское произведение матриц.
<li>Свертка по паре <math>(b,d)</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{con}^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\lambda_d(v_b)\,v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>.
<li>Свертка по паре <math>(b,d)</math> в координатах: <math>\bigl(\mathrm{con}^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{h=1}^nT^{i_1,\ldots,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots,j_q}</math>. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
<p><u>Теорема о свертках тензоров малой валентности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\lambda(v)=\mathrm{con}^1_1(v\otimes\lambda)</math>, <math>\mathrm{tr}\,a=\mathrm{con}^1_1(a)</math>, <math>a(v)=\mathrm{con}^1_1(v\otimes a)</math> и <math>\lambda\circ a=\mathrm{con}^1_2(a\otimes\lambda)</math>;<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> и <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=\mathrm{con}^1_1(\mathrm{con}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))</math> и <math>{\downarrow}_\sigma v=\mathrm{con}^1_1(v\otimes\sigma)</math>.</i></p>
<li><u>Теорема об обратном метрическом тензоре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда<br>(1) прообраз гомоморфизма <math>\downarrow_\sigma</math> относительно изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes V^*\!&\to\mathrm{Hom}(V,V^*)\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl(v\mapsto\lambda(v)\,\mu\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> равен тензору <math>\sigma</math>;<br>(2) если форма <math>\sigma</math> невырождена, то, обозначая через <math>^{-1}\sigma</math> прообраз гомоморфизма <math>\uparrow^\sigma</math> относительно изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Hom}(V^*,V)\\v\otimes w&\mapsto\bigl(\lambda\mapsto\lambda(v)\,w\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math><br>(тензор <math>^{-1}\sigma</math> — тензор типа <math>(2,0)</math>, обратный к тензору <math>\sigma</math>), для любых <math>\lambda\in V^*</math> имеем следующий факт: <math>{\uparrow}^\sigma\lambda=\mathrm{con}^1_1(^{-1}\sigma\otimes\lambda)</math>.</i>
<li>Опускание индекса: <math>\biggl(\!\begin{align}(\downarrow_\sigma)^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q+1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes({\downarrow}_\sigma v_b)\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>.
<li>Подъем индекса: <math>\biggl(\!\begin{align}(\uparrow^\sigma)^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p+1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes({\uparrow}^\sigma\lambda_d)\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>.
<li>Опускание и подъем в координатах: <math>\bigl((\downarrow_\sigma)^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j,j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{i_b=1}^nT^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\,\sigma_{i_b,j}</math> и <math>\bigl((\uparrow^\sigma)^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{j_d=1}^n(^{-1}\sigma)^{j_d,i}\,T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}</math>.</ul>

<h3>3.5&nbsp; Симметрические и внешние степени векторных пространств</h3>
<h5>3.5.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами</h5>
<ul><li>Симметрическая и внешняя степени: <math>\mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{lat}_u(T)=T\bigr)\}</math> и <math>\mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{lat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}</math>.
<li><u>Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>; обозначим через <math>\iota</math> изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\ldots\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{laf}_u</math> автоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Multi}_kV&\to\mathrm{Multi}_kV\\\omega&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты:<br><math>\iota\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{laf}_u\!\circ\iota</math>, <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{laf}_u(\omega)=\omega\bigr)\}</math> и <math>\,\mathrm{AMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{laf}_u(\omega)=\mathrm{sgn}(u)\,\omega\bigr)\}</math>;<br>(2) <math>\iota(\mathsf S^kV^*)=\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\iota(\mathsf\Lambda^kV^*)=\mathrm{AMulti}_kV</math> (и, значит, <math>\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*\!\cong\mathrm{AMulti}_kV</math>).</i>
<li>Операторы симметризации и альтернирования: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{lat}_u</math> и <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{lat}_u</math>. Лемма о симметризации и альтернировании.
<p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{lat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{lat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math>, <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (то есть <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p>
<li>Симметрич. произведение векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Внешнее произведение векторов: <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>.
<li><u>Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathsf S^kV=\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\rangle</math> и для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> и <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено <math>v_{u(1)}\!\cdot\ldots\cdot v_{u(k)}\!=v_1\cdot\ldots\cdot v_k</math>;<br>(2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\rangle</math> и для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> и <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено <math>v_{u(1)}\!\wedge\ldots\wedge v_{u(k)}\!=\mathrm{sgn}(u)\,v_1\wedge\ldots\wedge v_k</math>.</i>
<li><u>Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>;<br>(2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>;<br>(3) <math>\dim\mathsf S^kV=\!\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)\!=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.</i>
<li>Симметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1\le\ldots\le i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{(i_1,\ldots,i_k)}e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>. Антисимметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1<\ldots<i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{[i_1,\ldots,i_k]}e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>.
<li>Примеры: <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math> — форма объема, <math>\dim V=3\,\Rightarrow\,v\wedge w=(v\times w)^3\,e_1\wedge e_2-(v\times w)^2\,e_1\wedge e_3+(v\times w)^1\,e_2\wedge e_3</math>.</ul>

<h5>3.5.2&nbsp; Симметрическая алгебра и внешняя алгебра</h5>
<ul><li>Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: <math>a^{\cdot k}\!=(a^{\otimes k})|_{\mathsf S^kV\to\mathsf S^kY}</math> и <math>a^{\wedge k}\!=(a^{\otimes k})|_{\mathsf\Lambda^kV\to\mathsf\Lambda^kY}</math> (корректность следует из <math>a^{\otimes k}\!\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{lat}_u\!\circ a^{\otimes k}</math>).
<li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math>; тогда <math>a^{\cdot k}(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=a(v_1)\cdot\ldots\cdot a(v_k)</math> и <math>a^{\wedge k}(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=a(v_1)\wedge\ldots\wedge a(v_k)</math></i>.
<li>Симметрическое произведение тензоров: <math>T\cdot T'=\mathrm{sym}_{k+k'}(T\otimes T')</math>. Внешнее произведение тензоров: <math>T\wedge T'=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,\mathrm{alt}_{k+k'}(T\otimes T')</math>.
<li><u>Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над<br>полем <math>K</math>, <math>k,k',k''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_k,v_1',\ldots,v_{k'}'\!\in V</math> и <math>T\in\mathcal T^kV</math>, <math>T'\!\in\mathcal T^{k'}\!V</math>, <math>T''\!\in\mathcal T^{k''}\!V</math>; тогда<br>(1) <math>(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\cdot(v_1'\otimes\ldots\otimes v_{k'}')=v_1\cdot\ldots\cdot v_k\cdot v_1'\cdot\ldots\cdot v_{k'}'</math> и <math>(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\wedge(v_1'\otimes\ldots\otimes v_{k'}')=\frac1{k!\,k'!}\,v_1\wedge\ldots\wedge v_k\wedge v_1'\wedge\ldots\wedge v_{k'}'</math>;<br>(2) <math>\mathrm{sym}_k(T)\cdot T'=T\cdot\mathrm{sym}_{k'}(T')=T\cdot T'</math> и <math>\mathrm{alt}_k(T)\wedge T'=T\wedge\mathrm{alt}_{k'}(T')=T\wedge T'</math>;<br>(3) <math>(T\cdot T')\cdot T''=T\cdot(T'\cdot T'')=\mathrm{sym}_{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')</math> и <math>(T\wedge T')\wedge T''=T\wedge(T'\wedge T'')=\frac{(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}\,\mathrm{alt}_{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')</math><br>(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);<br>(4) <math>(\ldots(v_1\cdot v_2)\cdot\ldots\cdot v_{k-1})\cdot v_k=v_1\cdot\ldots\cdot v_k</math> и <math>(\ldots(v_1\wedge v_2)\wedge\ldots\wedge v_{k-1})\wedge v_k=v_1\wedge\ldots\wedge v_k</math>;<br>(5) <math>T\cdot T'=T'\cdot T</math> и <math>T\wedge T'=(-1)^{kk'}T'\wedge T</math> (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно).</i>
<li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>.
<li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>.
<li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math><br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) множество <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>,<br>упорядоченные по неубыванию;<br>(2) множество <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\,e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где<br>числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul>

<h5>3.5.3&nbsp; Поливектор ориентации и оператор Ходжа</h5>
<ul><li>Билин. формы <math>\otimes^k\sigma</math> и <math>\wedge^k\sigma</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\otimes^k\sigma\,\colon\mathcal T^kV\times\mathcal T^kV&\to K\\(v_1\otimes\ldots\otimes v_k,w_1\otimes\ldots\otimes w_k)&\mapsto\sigma(v_1,w_1)\cdot\ldots\cdot\sigma(v_k,w_k)\end{align}\!\biggr)\!\in\mathrm{Bi}(\mathcal T^kV)</math> и <math>\wedge^k\sigma=\frac1{k!}\bigl({\otimes}^k\sigma\bigr)|_{\mathsf\Lambda^kV\times\mathsf\Lambda^kV}\!\in\mathrm{Bi}(\mathsf\Lambda^kV)</math>.
<li><u>Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пространство над <math>K</math>, <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_k\in V</math> выполнено <math>(\wedge^k\sigma)(v_1\wedge\ldots\wedge v_k,w_1\wedge\ldots\wedge w_k)=\det\!\Biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v_1,w_1)&\ldots&\sigma(v_1,w_k)\\\vdots&\ddots&\vdots\\\sigma(v_k,w_1)&\ldots&\sigma(v_k,w_k)\end{smallmatrix}\Biggr)</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,\dim V\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>{\downarrow_{\wedge^k\sigma}}(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^k\sigma(e_{i_h},e_{i_h})\,(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})^*</math> (и, значит, если форма <math>\sigma</math> невырождена, то и форма <math>\wedge^k\sigma</math> невырождена).</i>
<li>Отнош.-е одинаковой ориентированности: <math>e\;\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\;\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_\tilde e^e>0</math>. Утверждение: <math>|\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim|=2</math>. Ориентация: элемент <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> мн.-ва <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math>.
<li>Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве (<math>n=\dim V</math>): элемент <math>z_\sigma</math> мн.-ва <math>\{z\in\mathsf\Lambda^nV\mid(\wedge^n\sigma)(z,z)=\mathrm{sd}(\sigma)\}</math> (<math>\mathrm{sd}(\sigma)=(-1)^{\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)}</math>).
<li><u>Теорема о поливекторе ориентации.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена<br>(то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_n=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n</math> и <math>\tilde e_1\wedge\ldots\wedge\tilde e_n=\det\mathrm c_\tilde e^e\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n</math>;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim&\to\{z\in\mathsf\Lambda^nV\mid(\wedge^n\sigma)(z,z)=\mathrm{sd}(\sigma)\}\\\mathrm{cl}\,_\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim(e)&\mapsto|\det\sigma_{e,e}|^{-1/2}\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является биекцией;<br>(3) если множество <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> и поливектор <math>z_\sigma</math> соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math><br>выполнено <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n=|\det\sigma_{e,e}|^{1/2}z_\sigma</math> (в частности, если <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,e_1\wedge\ldots\wedge e_n=z_\sigma</math>).</i>
<li>Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: <math>\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_n)=z_\sigma^*(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)</math>; если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>, то <math>\omega_\sigma=|\det\sigma_{e,e}|^{1/2}\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>.
<li>Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto{\uparrow^{\wedge^{n-k}\sigma}}\!\bigl(y\mapsto z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>; вект. произведение: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=*(v_1\wedge\ldots\wedge v_{n-1})</math>.
<li><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и<br><math>z_\sigma</math> — поливектор ориентации в <math>V</math> (то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> поливектор <math>*x</math> однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:<br><math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)=z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)</math> и <math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)\,z_\sigma=x\wedge y\bigr)</math>;<br>(2) если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\cap\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>*(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^{n-k}\sigma(e_{\bar i_h},e_{\bar i_h})\,\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k})\,e_{\bar i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\bar i_{n-k}}</math>, где числа <math>\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k}</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{i_1,\ldots,i_k\}</math>,<br>упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*1=\mathrm{sd}(\sigma)\,z_\sigma</math> и <math>*z_\sigma=1</math>);<br>(3) оператор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto*x\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств, и для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>*{*x}=\mathrm{sd}(\sigma)\,(-1)^{k(n-k)}x</math>;<br>(4) если <math>n\ge1</math>, то для любых <math>v_1,\ldots,v_{n-1},w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},w)=\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_{n-1},w)</math> и <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>.</i></ul>

<h3>3.6&nbsp; Гладкие структуры и тензорные поля</h3>
<h5>3.6.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с гладкими структурами</h5>
<ul><li>Глобальная <math>d</math>-мерная система координат на <math>M</math> — биекция между <math>M</math> и открытым подмн.-вом в <math>\mathbb R^d</math>; соглашение: глобальность далее подразумевается.
<li>Отнош.-е согласованности: <math>\alpha\circ\tilde\alpha^{-1}</math> — диффеоморфизм; <math>d</math>-мерная гладкая структура на <math>M</math> — класс согласованности <math>d</math>-мерных систем коорд. на <math>M</math>.
<li>Множество морфизмов (гладких отображ.-й): <math>\mathrm{Mor}(M,N)=\{\varphi\in\mathrm{Map}(M,N)\mid\exists\,\alpha\in\mathcal A_M,\,\beta\in\mathcal B_N\;\bigl(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1}\!\in\mathrm C^\infty(\mathrm{Codom}\,\alpha,\mathrm{Codom}\,\beta)\bigr)\}</math>.
<li>Обозначения: <math>\alpha(m)=(x^1(m),\ldots,x^d(m))</math>, <math>\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)=\mathrm d(\alpha\circ\tilde\alpha^{-1})(\tilde\alpha(m))</math> (тогда <math>\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)_\tilde i^i=\frac{\partial x^i}{\partial\tilde x^i}(\tilde\alpha(m))</math>) и <math>\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta=\mathrm d(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))</math>.
<li><u>Лемма о замене координат.</u><br><i>(1) Пусть <math>M</math>, <math>N</math> — множества с гл. структ., <math>\varphi\in\mathrm{Mor}(M,N)</math>, <math>m\in M</math>, <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>, <math>\beta,\tilde\beta\in\mathcal B_N</math>; тогда <math>\,\mathrm d\varphi(m)_\tilde\alpha^\tilde\beta=\mathrm c_\beta^\tilde\beta(\varphi(m))\cdot\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math>.<br>(2) Пусть <math>M</math> — множество с гладкой структурой, <math>p\in\mathrm{Mor}(\mathbb R,M)</math>, <math>t\in\mathbb R</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>; тогда <math>\,p'(t)^\tilde\alpha\!=\mathrm c_\alpha^\tilde\alpha(p(t))\cdot p'(t)^\alpha</math> (здесь для любых<br><math>\alpha\in\mathcal A_M</math> введено обозначение <math>p'(t)^\alpha\!=\mathrm dp(t)_{\mathrm{id}_\mathbb R}^\alpha\!=(\alpha\circ p)'(t)</math>).<br>(3) Пусть <math>M</math> — множество с гладкой структурой, <math>f\in\mathrm{Mor}(M,\mathbb R)</math>, <math>m\in M</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>; тогда <math>\,\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha\!\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (здесь для любых<br><math>\alpha\in\mathcal A_M</math> введено обозначение <math>\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha^{\mathrm{id}_\mathbb R}\!=\mathrm d(f\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))</math>).</i></ul>