Просмотр исходного текста страницы Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь

__NOTOC__
<h2>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</h2>

<h3>11&nbsp;&nbsp; Линейные операторы (часть 2)</h3>
<h5>11.1&nbsp; Многочлены и ряды от линейных операторов</h5>
<ul><li>Эвалюация <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{eval}_a\colon K[x]&\to\mathrm{End}(V)\\f&\mapsto f(a)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором <math>a</math>: <math>K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)</math>.
<li>Минимальный многочлен лин. оператора <math>a</math>: <math>\mu_a(a)=0</math>, <math>\mu_a</math> нормирован, <math>\deg\mu_a=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}\,\land\,f(a)=0\}</math>; <math>(\mu_a)=\mathrm{Ker}\,\mathrm{eval}_a\trianglelefteq K[x]</math>.
<li>Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: <math>\exists\,m\in\mathbb N_0\,\bigl(a^m=0\bigr)</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a</math> — нильпот. лин. оператор; тогда <math>\chi_a=x^{\dim V}\!{}</math></i>.
<p><u>Теорема Гамильтона–Кэли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\chi_a(a)=0</math>.</i></p>
<li>Кратности: <math>\alpha(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\chi_a\}</math> (алгебраич. кратность), <math>\beta(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\mu_a\}</math>. Теорема о минимальном многочлене.
<p><u>Теорема о минимальном многочлене.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\mu_a</math> делит <math>\chi_a</math><br>(и, значит, для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le\alpha(a,c)</math>), а также <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mu_a(c)=0\}</math>.</i></p>
<li><u>Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) если <math>f\in K[x]</math>, то <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)</math> (то есть <math>\mathrm{Ker}\,f(a)</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство);<br>(2) если <math>f,g\in K[x]</math> и <math>f</math> делит <math>g</math>, то <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)</math>;<br>(3) если <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]</math> и многочлены <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты, то <math>\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math><br>(и, значит, <math>(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math>).</i>
<li>Проектор (идемпотент): <math>a^2=a{}</math> (<math>\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,a{}</math>). Отражение: <math>a^2=\mathrm{id}_V{}</math> (<math>\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V){}</math>, если <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>).
<li>Ряд от лин. оператора <math>a</math> (<math>V</math> — нормир. пр.-во): <math>\sum_{k=0}^\infty f_ka^k{}</math>. Достат. условие сходимости (<math>V</math> — банах. пр.-во, <math>a\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V){}</math>): <math>\sum_{k=0}^\infty|f_k|\|a\|^k<\infty{}</math>.
<li>Экспонента от непрерывного линейн. оператора <math>a</math> в банах. пр.-ве: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Пример: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\varphi\\\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — банахово пр.-во; тогда для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)</math> выполнено <math>a\circ b=b\circ a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V\!</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.</i></p></ul>

<h5>11.2&nbsp; Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора</h5>
<ul><li>Собственные подпространства: <math>V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)</math>; геометрическая кратность: <math>\gamma(a,c)=\dim V_1(a,c)</math>. Лемма о собственных подпространствах.
<p><u>Лемма о собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>c_1,\ldots,c_k\in K</math> и<br><math>c_1,\ldots,c_k</math> попарно различны; тогда<br>(1) <math>\mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)</math>;<br>(2) если <math>C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_1(a,c_k)</math> и <math>C_1,\ldots,C_k</math> — независимые множества, то <math>C_1\cup\ldots\cup C_k</math> — независимое множество;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\gamma(a,c)\le\alpha(a,c)</math>.</i></p>
<li><u>Теорема о диагонализации линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(у2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть многочлен <math>\mu_a</math> раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени <math>1</math> в <math>K[x]</math>);<br>(у3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (то есть пространство <math>V</math> раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора <math>a</math>);<br>(у4) <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i>
<li>Обобщенные собственные подпростр.-ва: <math>V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j</math>; относительные геометрич. кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math>.
<li>Жорданова клетка: <math>\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\mathbf e_1^2+\ldots+\mathbf e_{n-1}^n{}</math>. Пример: если <math>a=\mathrm{jc}_n(c)</math>, то <math>\chi_a=\mu_a=(x-c)^n{}</math> и <math>\forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_j\rangle\bigr){}</math>.
<li><u>Теорема об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)</math> и, если <math>V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)</math>, то <math>V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)</math>;<br>(2) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(3) <math>\{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)</math> и <math>V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots</math>.</i>
<li>Корневые подпространства: <math>V(a,c)=V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>. Нильпотентные части линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{nil}(a,c)=a|_{V(a,c)\to V(a,c)}\!-c\cdot\mathrm{id}_{V(a,c)}</math>.
<li><u>Теорема о прямой сумме корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> расклад.-ся в<br>произв.-е многочленов степени <math>1</math> в <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> в силу алгебр. замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (то есть пространство <math>V</math> раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора <math>a</math>);<br>(2) для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\mathrm{nil}(a,c)^{\beta(a,c)}\!=0</math> (и, значит, <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> — нильпотентный линейный оператор) и <math>\dim V(a,c)=\alpha(a,c)</math>.</i></ul>

<h5>11.3&nbsp; Жорданова нормальная форма линейного оператора</h5>
<ul><li><math>C</math> — независимое мн.-во относит.-но <math>U</math>: <math>\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)</math>. <math>D</math> — порождающее мн.-во относит.-но <math>U</math>: <math>V=U+\langle D\rangle</math>.
<li>Базис в <math>V</math> относительно <math>U</math> — независ. и порожд. подмн.-во в <math>V</math> относительно <math>U</math>. Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).
<p><u>Теорема 1 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>U\le V</math> и <math>E\subseteq V</math>; тогда следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) <math>E</math> — базис пространства <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(у2) <math>E</math> — независимое множество и <math>V=U\oplus\langle E\rangle</math> (и, значит, если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>|E|=\dim V-\dim U</math>);<br>(у3) для любого вектора <math>v\in V</math> существуют единственные такие <math>u\in U</math> и <math>f\in\mathrm{FinFunc}(E,K)</math>, что <math>v=u+\sum_{e\in E}f(e)\,e</math>;<br>(у4) <math>E</math> — максимальное независимое множество относительно <math>U</math>;<br>(у5) <math>E</math> — минимальное порождающее множество относительно <math>U</math>.</i></p>
<p><u>Теорема 2 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) любое независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math> можно дополнить до базиса в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(2) из любого порождающего подмножества в <math>V</math> относительно <math>U</math> можно выделить базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>.</i></p>
<li><u>Теорема об относительно независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math> и<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, а также <math>j\in\mathbb N</math>, <math>V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}</math>, <math>V_j=\mathrm{Ker}\,a^j</math> и <math>V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}</math>; тогда<br>(1) если <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V_{j+1}</math> относительно <math>V_j</math>, то <math>a|_C</math> — инъекция и <math>a(C)</math> — независимое подмножество в <math>V_j</math> относительно <math>V_{j-1}</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j</math>.</i>
<li>Диаграммы Юнга. Жорданов блок: <math>\mathrm{jb}_\Delta(c)</math> — прямая сумма жордановых клеток <math>\mathrm{jc}_{n_1}\!(c),\ldots,\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)</math>, где <math>n_1,\ldots,n_r</math> — длины строк диаграммы Юнга <math>\Delta</math>.
<li>Диаграмма Юнга <math>\Delta(a,c)</math>: высоты столбцов диаграммы <math>\Delta(a,c)</math> — относительные геометрич. кратности <math>\gamma_1(a,c),\ldots,\gamma_{\beta(a,c)}(a,c)</math>. Корректность опред.-я.
<li><u>Теорема о жордановой нормальной форме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в<br>произведение многочленов степени <math>1</math> в <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> в силу алгебр. замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>);<br>тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — прямая сумма жордановых блоков <math>\,\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)</math> по всем <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>.</i>
<li>Вычисление рядов от лин. операторов при помощи жордановой нормальной формы. Утверждение: <math>\sum_{k=0}^\infty f_k\,\mathrm{jc}_n(c)^k=\sum_{l=0}^{n-1}\frac1{l!}\Bigl(\sum_{k=l}^\infty\frac{k!}{(k-l)!}f_kc^{k-l}\Bigr)\,\mathrm{jc}_n(0)^l{}</math>.
<li>Утверждение: <i><math>\det\mathrm e^a\!=\mathrm e^{\mathrm{tr}\,a}</math>, <math>\mathrm e^{a^\mathtt T}\!\!=(\mathrm e^a)^\mathtt T</math> и <math>\,\mathrm e^{\overline a^\mathtt T}\!\!=\bigl(\overline{\mathrm e^a}\bigr)^\mathtt T{}</math>, а также <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(\mathrm e^{\tau a})=a\cdot\mathrm e^{\tau a}{}</math></i>. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
<p><u>Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; обозначим через <math>\gamma</math> кривую <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathrm{GL}(n,\mathbb C)\!\\\tau&\mapsto\mathrm e^{\tau a}\end{align}\!\biggr){}</math>; тогда<br>(1) если <math>a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R){}</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R){}</math>, и, если <math>a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C){}</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C){}</math>;<br>(2) если <math>a\in\mathfrak{so}(n){}</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n){}</math>, а также, если <math>a\in\mathfrak u(n){}</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n){}</math>, и, если <math>a\in\mathfrak{su}(n){}</math>, то <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n){}</math>.</i></p></ul>

<h3>12&nbsp;&nbsp; Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3>
<h5>12.1&nbsp; Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы</h5>
<ul><li>Группа автоморфизмов простр.-ва с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}</math>.
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, или <math>K=\mathbb C</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\,\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(v))=\sigma(v,v)\bigr)\}</math></i>.
<li>Ортогональная группа (<math>V</math> — вект. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>; унитарная группа (<math>V</math> — вект. пр. над <math>\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>.
<li><u>Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.</u><br><i>(1) Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}</math> и, если форма <math>\sigma</math> невырождена, то условие "<math>\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)</math>" можно убрать.<br>(2) Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>; тогда <math>(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.<br>(3) Пусть <math>V</math> — псевдоунитарное пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>; тогда <math>(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i>
<li>Матричные ортогонал. группы: <math>\mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)</math>, <math>\mathrm O(n)</math> и <math>\mathrm{SO}(n)</math>.
<li>Матричные унитарные группы: <math>\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)</math>, <math>\mathrm U(n)</math> и <math>\mathrm{SU}(n)</math>.
<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math>, <math>\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math> и <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}</math>.
<li>Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: <math>\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}</math>. Теорема об описании изометрий.
<p><u>Теорема об описании изометрий.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>; тогда <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)</math>, а также,<br>обозначая через <math>G</math>, <math>F</math> и <math>H</math> группу <math>\,\mathrm{Isom}(V)</math> и ее подгруппы <math>\{\bigl(v\mapsto v+z\bigr)\!\mid z\in V\}</math> и <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}</math> соответственно, имеем следующие<br>факты: <math>F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}</math>, <math>G=F\circ H</math>, <math>\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math> и <math>F\cong V^+\!</math> (и, значит, <math>\mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)</math>).</i></p></ul>

<h5>12.2&nbsp; Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы</h5>
<ul><li>Простр.-во симметричных операторов: <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)\}</math>; условие в коорд.: <math>(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}</math>.
<li>Простр.-во антисимм. операторов: <math>\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=-\sigma(v,a(w))\bigr)\}</math>; условие в коорд.: <math>(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=-\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}</math>.
<li>Множество положит. определ. операторов (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{SEnd}(V,\sigma)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(a(v),v)>0\bigr)\}</math>.
<li>Пример: <math>V=\{f\in\mathrm C^\infty\!([\alpha;\beta],\mathbb C)\mid\forall\,k\in\mathbb N_0\,\bigl(f^{(2k)}\!(\alpha)=f^{(2k)}\!(\beta)=0\bigr)\}</math>, <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g\,</math> и <math>a\,\colon f\mapsto-f''</math>; тогда <math>a</math> — полож. определенный оператор.
<li>Линейный оператор, сопряженный к линейному оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>).
<li>Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.
<p><u>Теорема о свойствах сопряжения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math> (и, значит, отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> —<br>¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>), а также <math>a^{**}\!=a</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}</math>, <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}</math> и <math>\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}</math>.</i></p>
<p><u>Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp</math>, а также <math>\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}</math>.</i></p>
<li>Форма, связанная с линейным оператором <math>a</math>: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math>. Форма <math>\sigma_a</math> в коорд.: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>. Лемма о форме, связанной с оператором.
<p><u>Лемма о форме, связанной с оператором.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) если форма <math>\sigma</math> невырождена, то отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}</math>;<br>(3) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}</math>.</i></p>
<li>Множество нормальных операторов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>; условие в коорд. (<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>): <math>a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e</math>.</ul>

<h5>12.3&nbsp; Спектральная теория в унитарных пространствах</h5>
<ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда для любых<br><math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>, а также для любых таких <math>c,c'\!\in\mathrm{Spec}(a){}</math>, что <math>c\ne c'</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.</i>
<li><u>Спектральная теорема для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm U(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i>
<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Теорема о спектральном разложении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пр.-во и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; для любых <math>c\in\mathbb C</math> обозначим через <math>\,p_c{}</math> оператор <math>\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}{}</math>; тогда<br>(1) для любых таких <math>c,c'\!\in\mathrm{Spec}(a){}</math>, что <math>c\ne c'</math>, вып.-но <math>\,p_c^2=p_c=p_c^*\,{}</math> и <math>\,p_c\!\circ p_{c'}=0{}</math>, а также <math>|\{c\in\mathbb C\mid p_c\ne0\}|<\infty{}</math>, <math>\mathrm{id}_V=\sum_{c\in\mathbb C}p_c{}</math> и <math>a=\sum_{c\in\mathbb C}c\,p_c{}</math>;<br>(2) если для любых <math>c\in\mathbb C</math> заданы операторы <math>\,p_c'\in\mathrm{End}(V){}</math>, удовлетворяющие условиям из пункта (1), то для любых <math>c\in\mathbb C</math> выполнено <math>\,p_c'=p_c{}</math>;<br>(3) для любых <math>f\in\mathbb C[x]</math> выполнено <math>f(a)=\sum_{c\in\mathbb C}f(c)\,p_c{}</math>, а также <math>a^*\!=\sum_{c\in\mathbb C}\overline c\,p_c{}</math>.</i>
<li><u>Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)</math>; тогда для любого собственного числа <math>c</math> оператора <math>a</math><br>выполнено <math>a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}</math>, а также для любых различных<br>собственных чисел <math>c</math> и <math>c'</math> оператора <math>a</math> выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.</i>
<li>Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).</ul>

<h5>12.4&nbsp; Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5>
<ul><li>Препятствия к диагонализации над <math>\mathbb R</math>. <math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица — блочно-диаг. матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками <math>1\!\times\!1{}</math> и блоками <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>.
<li><math>\mathbb C</math>-Спектр линейного оператора <math>a</math> в конечномерном простр.-ве над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Пример: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math>.
<li><u>Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\subseteq U</math> и, если <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>, то <math>a^*(U)\subseteq U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i>
<li><u>Спектральная теорема для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm O(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i>
<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пр.-во с ориентацией, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>; тогда существуют такие <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и<br><math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, что <math>a_e^e=\biggl(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\biggr)</math> (и, значит, <math>a</math> — оператор поворота на угол <math>\varphi</math> вокруг оси с направляющим вектором <math>e_1</math>).</i>
<li><u>Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\tau\in\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>a</math> — линейный оператор,<br>соответствующий форме <math>\tau</math> относительно изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto(\,\mid\,)_a\end{align}\!\biggr)</math> (то есть <math>\forall\,v,w\in\,V\;\bigl((a(v)\!\mid\!w)=\tau(v,w)\bigr)</math>); тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис, ортогональный относительно формы <math>\tau</math> (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>);<br>(2) множ.-во значений квадр. формы <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to\mathbb R\\v&\mapsto\tau(v,v)\end{align}\!\biggr)</math> на единичной сфере в <math>V</math> (то есть <math>\{\tau(v,v)\mid v\in V,\,\|v\|=1\}</math>) равно <math>[\min\mathrm{Spec}(a);\max\mathrm{Spec}(a)]</math>.</i></ul>

<h5>12.5&nbsp; Специальная ортохронная группа Лоренца</h5>
<ul><li>Движение со скор. света: <math>\gamma(t)=\tau\,p+q{}</math>, где <math>p,q\in\mathbb R^4\!{}</math>, <math>p^\mathtt T\eta\,p=0{}</math> и <math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о сохранении скорости света. Матричная гр. Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)</math>.
<li><u>Теорема о матричной группе Лоренца.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>v,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>b=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr){}</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr){}</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon\,b^\mathtt Tv\,\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,b^\mathtt Tb-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3{}</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det b{}</math>.<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det b))\end{align}\!\Biggr){}</math> — сюръективный гомоморфизм групп, и <math>\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}</math> — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)</math> и <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}</math>.</i>
<li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;v^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,v\,v^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,v\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>.
<li>Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (опред.-е не зависит от выбора базиса).
<li>Спинорная модель пр.-ва Минковского: <math>\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)</math> — пр.-во эрмит.-х матриц разм. <math>2\!\times\!2{}</math>. Матрицы Паули: <math>\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)</math>.
<li><u>Теорема о спинорной модели пространства Минковского.</u><br><i>(1) Пусть <math>i,j\in\{1,2,3\}</math>; тогда <math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\varepsilon_{i,j,k}\,\mathrm i\,\sigma_k</math> и <math>\,\mathrm{tr}\,(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math>.<br>(2) Пусть <math>\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr),\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)\!\in\mathbb R^4</math>, <math>l=l^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3l^i\sigma_i</math> и <math>m=m^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3m^i\sigma_i</math>; тогда <math>l=\Bigl(\begin{smallmatrix}l^0+l^3&l^1-l^2\,\mathrm i\!\\l^1+l^2\,\mathrm i&l^0-l^3\end{smallmatrix}\Bigr)</math> и <math>\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2=\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr)^{\!\!\mathtt T}\eta\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)</math>.<br>(3) Форма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math> определяет на <math>\mathcal M</math> структуру пространства Минковского, и <math>(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\mathcal E</math> подпространство <math>\langle\mathrm{id}_2\rangle^\perp\!</math> в <math>\mathcal M</math>, имеем следующие факты: <math>\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>, сужение формы из пункта (3), взятое с<br>противоположным знаком, определяет на <math>\mathcal E</math> структуру евклидова пространства, и <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)</math>, а также <math>\forall\,u\in\mathcal E\;\bigl(u^2=\|u\|^2\,\mathrm{id}_2\bigr)</math>.</i>
<li>Утверждение: <math>\forall\,\varphi\in\mathbb R,\,u\in\mathcal E\;\bigl(\|u\|=1\,\Rightarrow\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\mathrm{ch}\,\varphi\;\mathrm{id}_2+\mathrm{sh}\,\varphi\;u\,\land\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!=\cos\varphi\;\mathrm{id}_2+\sin\varphi\;\mathrm i\,u\bigr)</math>. Теорема о бустах и поворотах (эскиз доказ.-ва).
<p><u>Теорема о бустах и поворотах.</u> <i>Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>, <math>u\in\mathcal E</math> и <math>\|u\|=1</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — буст в <math>\mathcal M</math> с быстротой <math>2\,\varphi</math> вдоль оси с направляющим<br>вектором <math>u</math>, и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот в <math>\mathcal M</math> на угол <math>2\,\varphi</math> вокруг оси с направляющим вектором <math>u</math>.</i></p>
<li>Спинорные представления: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SL}(2,\mathbb C)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}^+(\mathcal M)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,\overline g^\mathtt T\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}(\mathcal E)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизмы групп (без доказ.-ва).</ul>

<h3>13&nbsp;&nbsp; Многообразия (часть 1)</h3>
<h5>13.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с многообразиями</h5>
<ul><li><math>n</math>-Мерная система координат на топол. пр.-ве <math>M</math> — гомеоморфизм между откр. мн.-вами в <math>M</math> и <math>\mathbb R^n</math>; отн.-е согласованности: <math>\tilde\xi\circ\xi^{-1}</math> — диффеоморфизм.
<li><math>n</math>-Мерный атлас на <math>M</math> — множество попарно согласованных <math>n</math>-мерных систем координат на <math>M</math>, области определения которых покрывают <math>M</math>. Примеры.
<li><math>n</math>-Мерное многообразие <math>M</math> — хаусдорфово со счетной базой топол. пр.-во <math>M</math> с максимальным <math>n</math>-мерным атласом <math>\mathcal A</math>. Примеры: <math>\mathbb R^n</math>, откр. мн.-ва в <math>\mathbb R^n</math>, <math>\mathrm S^n</math>.
<li>Отобр. <math>\varphi</math> между многообр. <math>M</math> и <math>P</math> гладкое в <math>m</math>, если существ. такие <math>\xi\in\mathcal A{}</math> и <math>\rho\in\mathcal D{}</math>, что <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi{}</math>, <math>\varphi(m)\in\mathrm{Dom}\,\rho{}</math> и отобр. <math>\rho\circ\varphi\circ\xi^{-1}\!</math> гладкое в <math>\xi(m)</math>.
<li>Утверждение: <i>гладкость отображения не зависит от выбора систем координат</i>. Мн.-во гладких отображений между многообр.-ми <math>M</math> и <math>P</math>: <math>\mathrm C^\infty\!(M,P)</math>.
<li><math>\mathrm{Curv}_m(M)=\!\!\!\!\bigcup_{\alpha\in[-\infty;0),\,\beta\in(0;\infty]}\!\!\!\{\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)\mid\gamma(0)=m\}{}</math> — множество кривых, проходящих через <math>m</math>. <math>\mathrm C^\infty\!(M)=\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R){}</math> — <math>\mathbb R</math>-алгебра функций.
<li>Скорость в координатах (<math>-\infty\le\alpha<\tau<\beta\le\infty</math>, <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)</math>, <math>\xi\in\mathcal A{}</math>, <math>\gamma(\tau)\in\mathrm{Dom}\,\xi{}</math>): <math>\dot\gamma(\tau)^\xi=(\xi\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(\tau){}</math> и <math>\dot\gamma(\tau)^i=(\dot\gamma(\tau)^\xi)^i=\bigl((\xi\circ\gamma)^i\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(\tau){}</math>.
<li>Обозн.-я: <math>\xi(m)=(x^1(m),\ldots,x^n(m))</math> и <math>\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)=\mathrm d(\tilde\xi\circ\xi^{-1})(\xi(m)){}</math>; тогда <math>\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)\in\mathrm{GL}(n,\mathbb R){}</math> и <math>\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)_k^\tilde i=\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m)){}</math>. Лемма о замене координат.
<p><u>Лемма о замене координат.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math>, <math>m\in M</math>, <math>\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, <math>\xi,\tilde\xi\in\mathcal A{}</math> и <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi\cap\mathrm{Dom}\,\tilde\xi{}</math>; тогда<br>(1) <math>\dot\gamma(0)^\tilde\xi=\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)\cdot\dot\gamma(0)^\xi{}</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\dot\gamma(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,\dot\gamma(0)^k\Bigr){}</math> (это покомпонентная запись);<br>(2) <math>\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\,\Leftrightarrow\,\dot\gamma(0)^\tilde\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\tilde\xi\!{}</math> (то есть равенство скоростей кривых в координатах не зависит от выбора системы координат).</i></p></ul>

<h5>13.2&nbsp; Касательные пространства и кокасательные пространства</h5>
<ul><li>Отнош.-е касания в <math>m</math> (<math>\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>): <math>\gamma\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\breve\gamma\,\Leftrightarrow\,\exists\,\xi\in\mathcal A\;\bigl(m\in\mathrm{Dom}\,\xi\,\land\,\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\bigr){}</math>; инвариантная скорость: <math>\dot\gamma(0)=[\gamma]_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\!\in\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\!{}</math>.
<li>Касательное пр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Базисные векторы, определяемые системой коорд. <math>\xi</math>: <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(\tau\mapsto\xi^{-1}(\xi(m)+\tau\,\mathbf e_i)\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(0){}</math>.
<li>Теорема о касательном пространстве. Преобразования при замене координат на <math>M</math>: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,v^k</math> и <math>\frac\partial{\partial x^\tilde i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial x^\tilde i}(\tilde\xi(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)</math>.
<p><u>Теорема о касательном пространстве.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math>, <math>m\in M</math>, <math>\xi\in\mathcal A{}</math> и <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi{}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math>, выбирая такую кривую <math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, что <math>v=\dot\gamma(0){}</math>, и обозначая через <math>v^\xi</math> столбец <math>\dot\gamma(0)^\xi{}</math>, имеем следующий факт:<br>столбец <math>v^\xi</math> не зависит от выбора кривой <math>\gamma</math>;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\v&\mapsto v^\xi\end{align}\!\biggr)</math> — биекция; определим на <math>\,\mathrm T_mM</math> структуру вект. простр.-ва над <math>\,\mathbb R</math> так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом<br>вект. простр.-в (то есть <math>\forall\,v,w\in\mathrm T_mM,\,c,d\in\mathbb R\;\bigl((c\,v+d\,w)^\xi=c\,v^\xi+d\,w^\xi\bigr)</math>); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат;<br>(3) множество <math>\Bigl\{\frac\partial{\partial x^1}(m),\ldots,\frac\partial{\partial x^n}(m)\Bigr\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm T_mM</math>;<br>(4) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> выполнено <math>v=\sum_{i=1}^n(v^\xi)^i\frac\partial{\partial x^i}(m)</math> (это формула разложения по базису в <math>\,\mathrm T_mM</math>).</i></p>
<li>Кокасательное пр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T^*_mM=(\mathrm T_mM)^*</math>. Базисные ковекторы, опред. системой коорд. <math>\xi</math>: <math>\mathrm dx^j(m)=\Bigl(\frac\partial{\partial x^j}(m)\Bigr)^{\!*}</math>. Строка коорд. ковектора: <math>\lambda_\xi</math>.
<li>Разложение по базису в <math>\mathrm T^*_mM</math>: <math>\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_\xi)_j\,\mathrm dx^j(m)</math>. Преобр.-я при замене координат: <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\xi(m))\,\lambda_l</math> и <math>\mathrm dx^\tilde j(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^\tilde j}{\partial x^l}(\xi(m))\,\mathrm dx^l(m)</math>.
<li><u>Теорема о дифференциале функции.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>m\in M</math> и <math>f\in\mathrm C^\infty\!(M)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math>, выбирая такую кривую <math>\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>, что <math>v=\dot\gamma(0){}</math>, и обозначая через <math>(\mathrm df(m))(v)</math> число <math>(f\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(0){}</math>, имеем следующий<br>факт: число <math>(\mathrm df(m))(v)</math> не зависит от выбора кривой <math>\gamma</math>;<br>(2) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> и таких <math>\xi\in\mathcal A{}</math>, что <math>m\in\mathrm{Dom}\,\xi{}</math>, выполнено <math>(\mathrm df(m))(v)=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\cdot v^\xi</math>;<br>(3) обозначая через <math>\mathrm df(m)</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\v&\mapsto(\mathrm df(m))(v)\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm df(m)\in\mathrm T^*_mM</math>.</i>
<li>Дифференциал в координ.-х: <math>\mathrm df(m)_\xi=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m)){}</math> и <math>(\mathrm df(m)_\xi)_j=\frac{\partial(f\circ\xi^{-1})}{\partial x^j}(\xi(m))=\partial_jf(m)</math>. Утверждение: <math>\mathrm df(m)=\sum_{j=1}^n\partial_jf(m)\,\mathrm dx^j(m)</math>.
<li>Производная Ли функции вдоль вектора (<math>v\in\mathrm T_mM</math>): <math>\mathcal L_v(f)=(\mathrm df(m))(v)</math>. Утверждение: <i><math>\mathcal L_v(fg)=\mathcal L_v(f)\,g(m)+f(m)\,\mathcal L_v(g)</math> и <math>\mathcal L_{\!\frac\partial{\partial x^i}(m)\!}(f)=\partial_if(m)</math></i>.</ul>