Просмотр исходного текста страницы Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь

__NOTOC__
<h2>3&nbsp; Билинейная и полилинейная алгебра</h2>

<h3>3.1&nbsp; Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h3>
<h5>3.1.1&nbsp; ¯-Билинейные формы</h5>
<ul><li>Пространство билинейных форм: <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>V=K^n</math>, <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg</math> (<math>V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)</math>, <math>s\in V</math>).
<li>Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>: <math>c\overline\cdot v=\overline c\,v</math>. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если <math>\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K</math>): <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
<li>Матрица Грама (<math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>): <math>(\sigma_{d,d})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,v_{j_2})</math>. Форма <math>\sigma</math> в координ.-х (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math>.
<li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
<li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
<li>Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: <math>\overline\mathrm{ABi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=-\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm A\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=-\overline s\}</math>.
<li>Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>.
<li>Изоморфизмы между пр.-вами с формой: <math>\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))\cap\mathrm{Bij}(V,Y)</math> и <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing</math>.</ul>

<h5>3.1.2&nbsp; ¯-Квадратичные формы</h5>
<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline\mathrm{Quad}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Map}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\;\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)</math>.
<li>¯-Квадратичная форма в коорд.: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math>; если <math>\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K</math>, то <math>\kappa(v)</math> — однор. многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>.
<li><u>Теорема о поляризации квадратичных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты:<br><math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i>
<li><u>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <b>C</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем<br>следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i>
<li>Гиперповерхность второго порядка в пространстве <math>V</math>: множество вида <math>\{v\in V\mid\kappa(v)+2\,\lambda(v)+c=0\}</math>, где <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\lambda\in V^*</math>, <math>c\in K</math>.
<li>Примеры гиперповерхностей. Утверждение: <i>пусть <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\lambda\in K_n</math>, <math>c\in K</math> и <math>v\in K^n</math>; тогда <math>\,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}c&\lambda\\\lambda^\mathtt T&s\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)</math></i>.</ul>

<h5>3.1.3&nbsp; Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы</h5>
<ul><li>Оператор бемоль (опускание индекса): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индекса в координатах: <math>(\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>(\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}</math>.
<li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\flat_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>.
<li>Топологич. невырожденность (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — нормир. вект. пр.-во, <math>\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)</math>): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — биекция.
<li>Пример: <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n</math>; тогда <math>\sigma</math> топологич. невырождена (без док.-ва).
<li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>.
<li>Нахождение координат вектора при помощи невырожд. формы: <math>v^e=\sigma^{e,e}\!\cdot((\flat_\sigma v)_e)^\mathtt T\!=\sigma^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_n)\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Теорема о базисах и невырожденных формах.
<p><u>Теорема о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>,<br><math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math> и <math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{d,d}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>d\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i></p>
<li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополн.-е: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>.
<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</i></ul>

<h5>3.1.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>
<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>. Форма <math>\sigma</math> в ортогонал. коорд. (<math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>): <math>\sigma(v,w)=\sum_{j=1}^n\sigma_{j,j}\,v^j\overline{w^j}</math>.
<li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональн. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>.
<li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>;<br>тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i>
<li>Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
<p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i></p>
<p><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ. такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.</i></p>
<li>Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U<\infty</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>; тогда <math>\forall\,v\in V\;\Bigl(\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j\Bigr)</math></i>.
<li><u>Теорема об определителе матрицы Грама.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N</math>,<br><math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>, <math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>, <math>d'=(v_1,\ldots,v_{m-1})</math> и <math>U'=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle</math>, а также форма <math>\sigma|_{U'\times U'}</math> невырождена; обозначим через <math>\hat v_m</math><br>вектор <math>v_m-\mathrm{proj}_{U'}(v_m)</math>; тогда <math>\,\det\sigma_{d,d}=\det\sigma_{d',d'}\!\cdot\sigma(\hat v_m,\hat v_m)</math>.</i>
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор<br>матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>cm_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}</math>,<br>а также <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i>
<li>Ортогонал. системы функций: <math>\cos(nx)</math> и <math>\sin(nx)</math> (<math>n\in\mathbb N</math>), <math>\mathrm e^{nx\,\mathrm i}</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).</ul>

<h3>3.2&nbsp; Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> (часть 1)</h3>
<h5>3.2.1&nbsp; Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы</h5>
<ul><li>Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=-\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>.
<li>Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=-\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)</math>.
<li><u>Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда<br>(1) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math> и <math>U\le V</math>, то <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>V=U\oplus U^\perp</math>;<br>(2) если <math>n=\dim V<\infty</math>, то <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OB}(V)\;\bigl(\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n\bigr)</math>;<br>(3) если <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, то <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm{GL}(n,K)\;\bigl(\sigma_{e,e}=g^\mathtt T\!\cdot\overline g\bigr)</math>.</i>
<li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(cm_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,cm_i>0\bigr)</math>.</i>
<li>Индексы инерции формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}</math>.
<li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i>
<li><u>Теорема о классификации пространств с формой.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>\varphi\in\overline\mathrm{SBi}(Y)</math>; тогда <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)</math>, если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>, <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)</math>.</i>
<li>Сигнатура формы <math>\sigma</math>: <math>(\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)</math>). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul>

<h5>3.2.2&nbsp; Предгильбертовы пространства</h5>
<ul><li>Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: <math>(\,\mid\,)</math>. Примеры: <math>(v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w</math>, <math>(f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g</math>.
<li>Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb C</math>.
<li>Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: <math>\ell^2</math>.
<li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i>
<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Теорема об ортогональном проектировании. Расст.-е между вектором и подпр.-вом: <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>.
<p><u>Теорема об ортогональном проектировании.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство, <math>U\le V</math> и <math>\dim U<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math> и <math>u\in U\!\setminus\!\{\mathrm{proj}_U(v)\}</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))<\mathrm{dist}(v,u)</math> (и, значит, <math>\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))=\min\{\mathrm{dist}(v,u)\mid u\in U\}</math>);<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это неравенство Бесселя).</i></p>
<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>.
<li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\angle(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>.
<li>Псевдоевклидово<math>\,/\,</math>псевдоунитарное пр.-во сигнатуры <math>(p,q)</math> — кон.-мерн. вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math><math>\,/\,</math><math>\mathbb C</math> с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры <math>(p,q)</math>.</ul>

<h3>3.3&nbsp; Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3>
<h5>3.3.1&nbsp; Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы</h5>
<ul><li>Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}</math>.
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, или <math>K=\mathbb C</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\,\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(v))=\sigma(v,v)\bigr)\}</math></i>.
<li>Ортогональная группа (<math>V</math> — в. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>. Унитарная группа (<math>V</math> — в. пр. над <math>\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>): <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>.
<li><u>Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.</u><br><i>(1) Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}</math> и, если форма <math>\sigma</math> невырождена, то условие "<math>\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)</math>" можно убрать.<br>(2) Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>; тогда <math>(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.<br>(2) Пусть <math>V</math> — псевдоунитарное пространство сигнатуры <math>(p,q)</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>; тогда <math>(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i>
<li>Матричные ортогонал. группы: <math>\mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)</math>, <math>\mathrm O(n)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)</math>.
<li>Матричные унитарные группы: <math>\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)</math>, <math>\mathrm U(n)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)</math>.
<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math>, <math>\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}</math>, <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\-\overline b&\overline a\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a,b\in\mathbb C,\,|a|^2\!+|b|^2\!=1\bigr\}</math>.
<li>Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: <math>\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}</math>. Теорема об описании изометрий.
<p><u>Теорема об описании изометрий.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>; тогда<br>(1) <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)</math>;<br>(2) обозначая через <math>G</math>, <math>F</math> и <math>H</math> группу <math>\,\mathrm{Isom}(V)</math> и ее подгруппы <math>\{\bigl(v\mapsto v+v_0\bigr)\mid v_0\in V\}</math> и <math>\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}</math> соответственно, имеем<br>следующие факты: <math>F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}</math>, <math>G=F\circ H</math> и <math>\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)</math>, а также <math>F\cong V^+\!</math> (и, значит, <math>\mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)</math>).</i></p></ul>

<h5>3.3.2&nbsp; Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы</h5>
<ul><li>Пр.-во симметричных операторов: <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)\}</math>; условие в коорд.: <math>(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}</math>.
<li>Пр.-во антисимм. операторов: <math>\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=-\sigma(v,a(w))\bigr)\}</math>; условие в коорд.: <math>(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=-\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}</math>.
<li>Мн.-во положительно опред. операторов (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{SEnd}(V,\sigma)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(a(v),v)>0\bigr)\}</math>.
<li>Пример: <math>V=\{f\in\mathrm C^\infty\!([\alpha;\beta],\mathbb C)\mid\forall\,k\in\mathbb N_0\,\bigl(f^{(2k)}\!(\alpha)=f^{(2k)}\!(\beta)=0\bigr)\}</math>, <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g\,</math> и <math>a\,\colon f\mapsto-f''</math>; тогда <math>a</math> — положит. определ. оператор.
<li>Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>).
<li>Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.
<p><u>Теорема о свойствах сопряжения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> — ¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>);<br>(2) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}</math>, а также <math>\,\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}</math>;<br>(3) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, то для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>a^{**}\!=a</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>.</i></p>
<p><u>Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp</math>, а также <math>\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}</math>.</i></p>
<li>Форма, связанная с линейн. оператором <math>a</math>: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math>. Форма <math>\sigma_a</math> в коорд.: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>. Лемма о форме, связанной с оператором.
<p><u>Лемма о форме, связанной с оператором.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда<br>(1) если форма <math>\sigma</math> невырождена, то отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}</math>;<br>(3) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}</math>.</i></p>
<li>Мн.-во нормальных операторов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>; условие в коорд. (<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>): <math>a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e</math>.</ul>

<h5>3.3.3&nbsp; Спектральная теория в унитарных пространствах</h5>
<ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br>для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>, а также для любых таких <math>c,c'\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne c'</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.</i>
<li><u>Спектральная теорема для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm U(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i>
<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li>Ортогональный проектор: <math>p^2=p\,\land\,p^*\!=p\;\Leftrightarrow\,\exists\,U\le V\;\bigl(p=\mathrm{proj}_U\!\bigr)</math>. Спектральное разложение нормального оператора <math>a</math>: <math>a=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!c\cdot\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}</math>.
<li><u>Теорема о собственных числах и собственных векторах автоморфизмов, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.</u><br><i>(1) Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)</math>; тогда для любого собственного числа <math>c</math><br>оператора <math>a</math> выполнено <math>a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}</math>, а также<br>для любых двух различных собственных чисел <math>c</math> и <math>c'</math> оператора <math>a</math> выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.<br>(2) Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb R</math> и <math>a\in\mathrm O(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)</math>; тогда для любого собственного числа <math>c</math><br>оператора <math>a</math> выполнено <math>a\in\mathrm O(V)\,\Rightarrow\,c\in\{1,-1\}</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c=0</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}</math>, а также для любых двух различных<br>собственных чисел <math>c</math> и <math>c'</math> оператора <math>a</math> выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,c')</math>.</i>
<li>Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).</ul>

<h5>3.3.4&nbsp; Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5>
<ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица — блочно-диагональная матрица над полем <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>.
<li><math>\mathbb C</math>-Спектр линейного оператора <math>a</math> в конечномерном пр.-ве над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Пример: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math>.
<li><u>Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\subseteq U</math> и, если <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>, то <math>a^*(U)\subseteq U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i>
<li><u>Спектральная теорема для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathrm O(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i>
<li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm O(n)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагон. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)</math><math>\;\,\Leftrightarrow\;\,</math><math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i>
<li><u>Усиленная теорема Лагранжа для евклидовых и унитарных пространств.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>\tau\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>существует такой <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math>, что <math>\tau_{e,e}</math> — диагональная матрица (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>).</i>
<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное евклидово пространство, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>; тогда существуют такие<br><math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, что <math>a_e^e=\biggl(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\biggr)</math> (и, значит, <math>a</math> — оператор поворота вокруг оси <math>\langle e_1\rangle</math> на угол <math>\varphi</math>).</i></ul>