

\documentclass[12pt,russian]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb, amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[cp1251]{inputenc}

\pagestyle{empty}
\def\ctg{\mathrm{ctg}\,}

\begin{document}

1. Найдите следующие пределы:
$$
\mbox{а)(0,5) } \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{\cos 4x}-\sqrt[3]{\cos 5x}}{1-\cos 3x};
\quad \mbox{ б)(0,5) } \lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2x}}{\tg (x^2)};
$$
$$
\mbox{в)(0,5) } \lim\limits_{x \to +\infty} (\sin \sqrt{x^2+1} - \sin \sqrt{x^2-1} );
\quad \mbox{ г)(0,5) } \lim\limits_{x \to \pi/2} (1+\ctg x)^{\tg x};
$$
$$
\mbox{д)(0,5) } \lim\limits_{x \to 0} (\cos x)^{-1/x^2};
\quad \mbox{ е)(0,5) } \lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{xe^x+1}{x\pi^x+1}\right)^{1/x^2};
\quad \mbox{ ё)(1) } \lim\limits_{x \to 0} \frac{\pi-4\arctg \frac{1}{1+x}}{x}.
$$

2. Пусть $x\geq 0$. Определим последовательность $x_n= \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}$, $n \in \mathbb{N}$ (традиционно полагают $x^0=1$ и $0!=1$).

а)(0,5) Докажите, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполнено неравенство 
%\vspace{-10pt}
$$
\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \leq x_n.
$$

%\vspace{-10pt}
б)(0,5) Докажите, что для любых $m, n \in \mathbb{N}$ выполнено неравенство 
%\vspace{-10pt}
$$
\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m+n-1} \geq x_n.
$$
%\vspace{-10pt}
в)(1) Докажите, что последовательность $x_n$ сходится, и найдите её предел.

3. Вспомните, что для любого $x \in \mathbb{R}$ выполнено неравенство $\ln(1+x)\leq x$. Пусть $a_n = \sum\limits_{k=2}^n \frac1{k \ln k}$. 

а)(0.5) Докажите, что для любого $x >0$ выполнено неравенство $\ln(1+\frac{1}{x})\geq \frac{1}{x+1}$.

б)(1,5) Докажите, что $a_n = \ln \ln n + o(\ln\ln n), n \to +\infty$.

в)(3) Докажите, что найдется константа $C \in \mathbb{R}$, т.ч. $a_n = \ln \ln n + C + o(1), n \to +\infty$.

\end{document}