

\documentclass[12pt,russian]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb, amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[cp1251]{inputenc}

\pagestyle{empty}
\def\ctg{\mathrm{ctg}\,}
\newcommand{\ff}[2]{{#1}^{\underline{#2}}}

\begin{document}

1. Докажите, что в любой момент на экваторе есть две диаметрально противоположные точки с 
одинаковой температурой.

2. Для функции $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ и числа $c>0$ определим
множество $A_f(c)$ как множество таких точек $x$, в любой окрестности которой
найдутся $y,z$  такие, что $|f(y)-f(z)|\geq c$.

а) Докажите, что множество точек разрыва функции $f$ есть $\cup_{c>0} A_f(c)$.

б) Докажите, что каждое множество $A_f$  замкнуто. 

в) Докажите, что множество точек разрыв функции $f$ не может совпадать
с множеством иррациональных чисел.

3. Пусть функция $f(x)$ в окрестности точки 0 имеет непрерывные производные
$f'$, $f''$, $\dots$, $f^(k)$, и они не все обнуляются в 0. 

а) Докажите, что если $f(0)=0$ и $x,y$ --- эквивалентные бесконечно малые величины
(частное стремится к 1),
то величины $f(x)$ и $f(y)$ тоже эквивалентны. 

б) Верно ли утверждение пункта а), если $f$ бесконечно дифференцируема, но
все производные в 0 равны 0?

в) Докажите, что если $f(0)=0$, $f'(0)=1$, а величины $x$ и $y$ бесконечно малые,
то величины $f(x)-f(y)$ и $x-y$ эквивалентны.

г) Найдите предел
$$
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin\tg x-\tg\sin x}{\arcsin\arctg x-\arctg\arcsin x}.
$$

4.  Пусть $a>1$  и функция $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ такова, что
$|f(x)-f(y)|\leq |x-y|^a$ при всех $x,y$.  Докажите, что функция $f$  постоянна.

5. Докажите, что если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[1,2]$ и дифференцируема
на интервале $(1,2)$, то $f(2)-f(1)=c^2f(c)/2$ для некоторой точки $c\in (1,2)$.

\end{document}