\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{article}

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[russian]{olymp}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color} % for colored text
\usepackage{import} % for changing current dir
\usepackage{epigraph}
\usepackage{daytime} % for displaying version number and date
\usepackage{wrapfig} % for having text alongside pictures
\usepackage{verbatim}

\newcommand{\importproblem}[1]{\import{../problems/#1/statement/}{./#1.tex}}


%\revision{{\input{revision.temp}}[\number\day.\number\month.\number\year\ \daytime]}

\renewcommand{\t}[1]{\ifmmode{\mathtt{#1}}\else{\texttt{#1}}\fi}
\newenvironment{enumerate*}{\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{0pt}}{\end{enumerate}}
\newenvironment{itemize*}{\begin{itemize}\setlength{\itemsep}{0pt}}{\end{itemize}}

%
\newcommand{\g}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\ing}[1]{\in\g{#1}}
%

% Treat all pictures as MPS (metapost) when using PDFLaTeX tool
%\ifx\pdftexversion\undefined
%\else
%  \DeclareGraphicsRule{*}{eps}{*}{}
%\fi

\contest
{Коллоквиум по алгебре, первый курс, второй семестр}%
{Академический Университет}%
{30 марта 2015 года}%

\binoppenalty=10000
\relpenalty=10000
\exhyphenpenalty=10000

\definecolor{dkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
\definecolor{brown}{rgb}{0.5,0.5,0}

\begin{document}

\raggedbottom

\begin{center}
{\Large \bf \thecontestname}

{\large \bf \thecontestdate}
\end{center}

\Section{Общие комментарии и принципы проведения коллоквиума}

\begin{enumerate*}
\item Приведенный список является списком тем, которые необходимо знать.
Формулировки конкретных вопросов коллоквиума могут отличаться от
перечисленных, однако не будут выходить за рамки указанных тем.
\item Тему <<Определители>> можно изучать по разным источникам. В списке
тем указаны ссылки на соответствующий материал в книге З.И.Боревича
<<Определители и матрицы>>. Например, номер I.3 означает главу 1, параграф 3.
При желании можно пользоваться и другими источниками.
\item Темы из книги <<Определители и матрицы>>, пересекающиеся с материалами
уже прошедших лекций, в коллоквиум не включены, но могут быть
включены в экзаменационные темы в конце семестра.
\item Коллоквиум проводится в письменном виде по единому варианту для
всех. Время, отведенное на подготовку ответа, составляет 4 часа.
В работу входят 2 теоретических вопроса и 2 задачи. Каждый вопрос
и каждая задача оцениваются в 25 баллов. Максимальная сумма баллов
за работу --- 100.
\item Критерии оценки:
\begin{itemize*}
\item 0--49 баллов --- неудовлетворительно,
\item 50--69 баллов --- удовлетворительно,
\item 70--84 баллов --- хорошо,
\item 85--100 баллов --- отлично.
\end{itemize*}
\item Оценка за коллоквиум учитывается при выставлении окончательной
оценки на экзамене.
\end{enumerate*}

\Section{Теория делимости в коммутативных кольцах}

\begin{enumerate*}
\item Отношение делимости, его свойства.  Область целостности.
\item  Идеалы, их свойства. Пересечение, сумма и произведение идеалов.
\item Идеалы, порожденные семейством. Главные идеалы. Область главных
   идеалов. Примеры колец, не являющихся кольцами главных идеалов.
\item Обратимые элементы. Ассоциированные элементы.
\item Наибольший общий делитель. Свойства наибольшего общего делителя
   в кольце главных идеалов. Взаимно простые элементы.
\item Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец.  Евклидовость кольца
  целых гауссовых чисел $\g{Z}[i]$.
\item Алгоритм Евклида и линейное представление наибольшего общего делителя
  в евклидовых кольцах.
\item Евклидово кольцо является областью главных идеалов.
\item Простые, неприводимые и составные элементы кольца.
   Неприводимость простых элементов в области целостности.
\item Простота неприводимых элементов в кольцах главных идеалов.
\item Пример кольца с неоднозначным разложением на неприводимые множители.
\item Теорема об однозначном разложении на неприводимые
    множители в кольце главных идеалов.
\item Разложение на неприводимые множители в $\g{C}[x]$, $\g{R}[x]$.
\item Сравнимость по модулю идеала. Свойства. Классы вычетов.
\item Построение кольца классов вычетов по модулю идеала. Примеры.
\item Кольцо классов вычетов по максимальному идеалу - поле.
\item Конструкция поля комплексных чисел как кольца классов вычетов.
\item Расширения полей. Присоединение корней многочлена. Поле разложения.
\item Построение поля частных области целостности.
\item Поле рациональных функций. Теорема о разложении рациональной
    функции на простейшие дроби.
\end{enumerate*}

\newpage

\Section{Определители и матрицы}

\begin{enumerate*}
\item Понятие определителя $n$-го порядка [Б, I.2].
\item Свойства определителей: определитель транспонированной матрицы;
изменение определителя при перемене
местами двух строк; определитель матрицы с двумя одинаковыми строками [Б,
I.4, свойства 1-3].
\item Миноры и алгебраические дополнения [Б, I.4, определения, леммы 1-3].
\item Свойства определителей: разложение определителя по строке (столбцу);
однородность и аддитивность определителя; определитель матрицы с
пропорциональными строками; поведение определителя при  элементарных
преобразованиях 1-го типа [Б, I.4, определения, свойства 4-9].
\item Определитель Вандермонда [Б, I.5, пример 3].
\item Определитель ступенчатой матрицы [Б, I.6].
\item Теорема Крамера [Б, II.8].
\item Ранг матрицы [Б, II.9].
\item Неизменность ранга при элементарных преобразованиях [Б, II.9].
\item Теорема Кронекера-Капелли [Б, II.11].
\item Свойства определителей: определитель произведения квадратных матриц
[Б, III.15].
\item Обратная матрица, взаимная матрица, представление обратной к
неособенной матрице при помощи взаимной [Б, III.16].
\item Характеристический многочлен. Собственные числа и собственные векторы
матрицы [Б, III.17].
\item Совпадение собственных чисел с корнями характеристического многочлена
[Б, III.17, теорема 1].
\item Теорема Гамильтона-Кэли [Б, III.17, теорема 4].
\end{enumerate*}


%\displayauthorinfootertrue
%\displayauthortrue
%\displaydevelopertrue
%\displayorigintrue
%\revisionsignaturetrue
%\intentionallyblankpagestrue
%\displaydeveloperfalse

\end{document}
