\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\linespread{1.2}

\usepackage{amssymb, amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{texdraw}

\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}


\def\geq{\geqslant}
\def\leq{\leqslant}
\def\iff{\Leftrightarrow}
\def\therefore{\Rightarrow}
\def\because{\Leftarrow}

\newcommand{\mytitle}[2] {
  \begin{center}
      \bf {#1}. {#2}.
  \end{center}
}

\newenvironment{solution} {

{\it Решение.}
} {
}




\begin{document}

\mytitle{Домашнее задание 2}{Основы перечислительной комбинаторики}
\begin{center}
      {Группа 102/3} \\
      {\it Морковкин Фёдор}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item (1 балл)
Сколько чисел в диапазоне от $0$ до $999\,999$ не содержат двух рядом стоящих одинаковых цифр?
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1 балл)
Переплётчик должен переплести $12$ книг в красный, синий и коричневый цвета. Сколько имеется способов это сделать, если в каждый из трех цветов должна быть переплетена хотя бы одна книга?
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1 балл)
Сколькими способами из доски $7 \times 7$ можно выбрать 4 клетки, являющиеся вершинами 
некоторого прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам доски?
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1,5 балла)
Квадрат разделён на $16$ одинаковых квадратов. Сколькими способами можно раскрасить эти квадраты в белый, чёрный, красный и синий цвета так, чтобы в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду были все четыре цвета? 
\begin{solution}
\end{solution}

\item (2 балла)
Докажите комбинаторно следующее равенство:
$$
\sum\limits_{k=0}^n{{m+k}\choose k}={{m+n+1}\choose n}.
$$
\item (2 балла)  
Докажите комбинаторно следующее тождество:
$$
\left({{n+1}\choose{k}}\right)=\sum\limits_{i=0}^k \left({{n}\choose{k-i}}\right).
$$
С его помощью докажите справедливость равенства
$$
{{n+k}\choose{n+1}}=\sum\limits_{i=0}^k{{n+k-i-1}\choose{n}}.
$$
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1 балл)
Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и шестидесяти рядовых. Сколько существует различных способов сформировать отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и двадцати рядовых? 
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1,5 балла) 
Сколько существует бинарных (т.е. состоящих из цифр $0$ и $1$) строк длины $n,$ содержащих ровно $k$ единиц? А бинарных строк длины $n$, содержащих $k$ единиц и таких, в которых никакие две единицы не стоят рядом?
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1 балл)
Сколько чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр $8$ и $9?$
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1 балл) 
В алфавите племени Бум-Бум всего шесть букв. Любое слово состоит у них из шести символов, причем в каждом таком слове должны быть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько всего слов в языке племени Бум-Бум?
\begin{solution}
\end{solution}


\end{enumerate}

\end{document}


