\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\linespread{1.2}

\usepackage{amssymb, amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{texdraw}

\addtolength{\topmargin}{-1.000in}
\addtolength{\textheight}{1.950in}


\def\geq{\geqslant}
\def\leq{\leqslant}
\def\iff{\Leftrightarrow}
\def\therefore{\Rightarrow}
\def\because{\Leftarrow}

\newcommand{\mytitle}[2] {
  \begin{center}
      \bf {#1}. {#2}.
  \end{center}
}

\newenvironment{solution} {

{\it Решение.}
} {
}



\begin{document}

\mytitle{Домашнее задание 1}{Принцип Дирихле}
\begin{center}
      {Группа 102/3} \\
      {\it Иванов Иван}
\end{center}
              
\begin{enumerate}
\item (0,5 балла) В ящике лежат $10$ белых и $12$ чёрный носков. Какое минималльное количество из них надо взять, чтобы среди них
обязательно нашлись два носка одного цвета?
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1 балл) На плоскости нарисовано $n$ попарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между по крайней мере двумя из этих прямых меньше или равен величине $\pi/n$.
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1 балл) Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 сантиметр расположено $17$ точек. Докажите, что расстояние межд каиким-то двумя из них 
не превосходит $0,25$ сантиметров.
\begin{solution}
\end{solution}

\item (2 балла) Докажите, что в любом множестве из $52$ целых чисел найдутся два числа, у которых либо сумма, либо разность делится на $100$.
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1,5 балла) Какое максимальное количество королей можно поместить на шахматную доску так, чтобы никакие два короля не били друг друга?
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1,5 балла) Докажите, что в любом $(n+1)$-элементном подмножестве множества $\{1, 2, 3, \ldots, 2n\}$ обязательно найдутся два взаимно простых числа.
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1 балл) Узлы бесконечной клетчатой бумаги покрашены в 4 цвета. Докажите, что можно выбрать прямоугольник со сторонами, идущими по линиям сетки,
все четыре вершины которого покрашены в один цвет.
\begin{solution}
\end{solution}

\item (1,5 балла) Даны 9 натуральных чисел, ни одной из которых не имеется простого делителя, большего, чем 5. Докажите, что среди них
надутся два числа, произведение которых является точным квадратом.
\begin{solution}
\end{solution}

\end{enumerate}

\end{document}


