\documentclass[draft]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{cmap}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[all]{xy}

\newcommand{\cat}[1]{\mathbf{#1}}
\renewcommand{\C}{\cat{C}}
\newcommand{\D}{\cat{D}}
\newcommand{\Set}{\cat{Set}}
\newcommand{\FinSet}{\cat{FinSet}}
\newcommand{\Grp}{\cat{Grp}}
\newcommand{\CMon}{\cat{CMon}}
\newcommand{\Ab}{\cat{Ab}}
\newcommand{\Hask}{\cat{Hask}}
\newcommand{\Mat}{\cat{Mat}}
\newcommand{\Num}{\cat{Num}}

\newenvironment{tolerant}[1]{\par\tolerance=#1\relax}{\par}

\begin{document}

\title{Задания}
\maketitle

\begin{enumerate}

\item Пусть $\C$ -- категория предпорядка, а $\D$ -- нет.
\begin{enumerate}
\item Могут ли $\C$ и $\D$ быть изоморфны?
\item Могут ли $\C$ и $\D$ быть эквивалентны?
\end{enumerate}

\item Пусть $\C$ -- категория с одним объектом, а $\D$ -- нет.
\begin{enumerate}
\item Могут ли $\C$ и $\D$ быть изоморфны?
\item Могут ли $\C$ и $\D$ быть эквивалентны?
\end{enumerate}

\item Пусть $\C$ -- дискретная категория, а $\D$ -- нет.
\begin{enumerate}
\item Могут ли $\C$ и $\D$ быть изоморфны?
\item Могут ли $\C$ и $\D$ быть эквивалентны?
\end{enumerate}

\item Пусть $\C$ -- группоид, а $\D$ -- нет.
\begin{enumerate}
\item Могут ли $\C$ и $\D$ быть изоморфны?
\item Могут ли $\C$ и $\D$ быть эквивалентны?
\end{enumerate}

\item Докажите, что $\Num$ эквивалентна $\FinSet$. Изоморфны ли эти категории?

\item Докажите, что $\Mat$ эквивалентна $\Mat^{op}$. Изоморфны ли эти категории?

\item Докажите, что $\FinSet$ не эквивалентна $\Set$.

\item Пусть $F, G : \C \to \D$ -- пара функторов.
Естественное преобразование $\alpha : F \to G$ называется \emph{естественным изоморфизмом}, если для любого объекта $X$ в $\C$ морфизм $\alpha_X : F(X) \to G(X)$ является изоморфизмом.

Докажите, что $\alpha : F \to G$ -- естественный изоморфизм тогда и только тогда, когда $\alpha$ -- изоморфизм в категории $\D^\C$.

\item Пусть $\C$ -- декартова категория. Докажите, что функтор $- \times 1$ изоморфен тождественному функтору в $\C^\C$.

\item Пусть $\pmb{\rightrightarrows}$ -- категория, состоящая из двух объектов $\{ v, e \}$ и четырех морфизмов $\{ id_v : v \to v, id_e : e \to e, d : v \to e, c : v \to e \}$.
Докажите, что категории $\cat{Graph}$ и $\Set^{\pmb{\rightrightarrows}^{op}}$ эквивалентны.
Изоморфны ли эти категории?

\item На второй лекции мы видели, что морфизм групп является мономорфизмом тогда и только тогда, когда мономорфизмом является соответствующая ему функция на множествах.
Сейчас мы можем обобщить это утверждение.
Забывающий функтор $U : \Grp \to \Set$ является правым сопряженным и строгим.
Для любого функтора, удовлетворяющего этим двум условиям, можно доказать аналогичное утверждение.

Пусть $U : \C \to \D$ -- некоторый функтор.
Докажите следующие утверждения:
\begin{enumerate}
\item Если $U$ является правым сопряженным, то он сохраняет мономорфизмы.
\item Если $U$ является строгим, то обратное верно, то есть если $U(f)$ -- мономорфизм, то $f$ также является мономорфизмом.
\end{enumerate}

\item Докажите, что у забывающего функтора $U : \cat{Cat} \to \cat{Graph}$, сконструированного в предыдущем ДЗ, существует левый сопряженный.

\item Пусть $\cat{rGraph}$ -- категорий рефлексивных графов.
Объекты этой категории -- это графы, в которых для каждой вершины $x$ выбрана петля $id_x$ в этой вершине.
Морфизмы -- морфизмы графов, сохраняющие тождественные петли.

Категория графов в данном упражнении не будет работать, но вместо $\cat{rGraph}$ можно взять категорию малых группоидов или категорию малых категорий; решение при этом не изменится.

Докажите, что у функтора $\Gamma : \cat{rGraph} \to \Set$, сопоставляющего каждому рефлексивному графу множество его вершин, существует правый сопряженный $C : \Set \to \cat{rGraph}$ и левый сопряженный $D : \Set \to \cat{rGraph}$,
и у $D$ существует левый сопряженный $\Pi_0 : \cat{rGraph} \to \Set$.
Таким образом, мы получаем следующую цепочку сопряженных функторов:
\[ \Pi_0 \dashv D \dashv \Gamma \dashv C \]

\item Пусть $\C$ -- произвольная категория.
Если $X$ -- объект $\C$, то $\C/X$ -- категория объектов над $X$.
Объекты категории $\C/X$ -- это морфизмы вида $A \to X$.
Морфизмы в $\C/X$ из $f : A \to X$ в $g : B \to X$ -- это морфизмы $h : A \to B$ в $\C$, такие что следующий треугольник коммутирует:
\[ \xymatrix{ A \ar[rd]_f \ar[rr]^h &   & B \ar[ld]^g \\
                                    & X
            } \]
Тождественные морфизмы и композиция определяются как соответствующие операции в $\C$.
\begin{enumerate}
\item Существует функтор $\Sigma_X : \C/X \to \C$, сопоставляющий объекту $f : A \to X$ в $\C/X$ объект $A$ в $\C$.
Докажите, что если в $\C$ существуют бинарные произведения, то у этого функтора существует правый сопряженный.
\item Пусть $f : X \to Y$ -- морфизм в $\C$.
Тогда можно определить функтор $\Sigma_f : \C_X \to \C_Y$, сопоставляющий объекту $g : A \to X$ в $\C/X$ объект $f \circ g$ в $\C/Y$.
Докажите, что если в $\C$ существуют пулбэки, то у этого функтора существует правый сопряженный.
\end{enumerate}

\item Пусть $I$ -- некоторое множество, тогда определим категорию $\cat{Fam}_I$ семейств множеств, индексированных $I$.
Объекты категории $\cat{Fam}_I$ -- это семейства множеств $\{ A_i \}_{i \in I}$.
Другими словами, объект $\cat{Fam}$ -- это функция $A : I \to Ob(\Set)$, сопоставляющей каждому $i \in I$ некоторое множество $A_i$.

Морфизм в $\cat{Fam}_I$ из $\{ A_i \}_{i \in I}$ в $\{ B_i \}_{i \in I}$ -- это семейство функций $\{ f_i : A_i \to B_i \}_{i \in I}$.
Композиции и тождественные морфизмы определяются очевидным образом.
Докажите, что категории $\cat{Fam}_I$ и $\Set/I$ эквивалентны.

\item Пусть $F : \CMon \to \Ab$ -- рефлектор вложения $i : \Ab \to \CMon$.
\begin{enumerate}
\item \tolerant{500}{ Приведите пример конечного нетривиального коммутативного моноида $X$, такого что $|F(X)| = |X|$. }
\item Приведите пример конечного коммутативного моноида $X$, такого что $|F(X)| < |X|$.
\item Докажите, что для любого конечного коммутативного моноида $X$ верно $|F(X)| < 2|X|$.
\item Приведите пример коммутативного моноида $X$, такого что $\eta_X : X \to i(F(X))$ -- не сюръективна.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
