

\documentclass[12pt,draft]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
%%%%\usepackage[T2A]{fontenc}
%%%%%%%%%%%%%%%
\textwidth175mm \textheight275mm \hoffset-50pt \pagestyle{empty}
\topmargin-34mm



\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
\def\eps{\varepsilon}
\sloppy



\begin{document}
\begin{center}
Задание по матанализу на 16 октября
\end{center}

1. Пусть $(X,\rho)$ --- полное метрическое пространство, $K_1,K_2,\dots$ ---
последовательность компактных подмножеств в $X$, фундаментальная
в метрике Хаусдорфа. Определим $K$ как множеств таких точек
$x\in X$, что $\lim_n \rho(x,K_n)=0$.  Докажите, что

а) (2) $K$  компактно; б) (2) $K=\lim K_n$ в метрике Хаусдорфа.

2. (3) Докажите, что для любого открытого покрытия метрического компакта
$K$  найдется такое $c>0$,  что любое множество диаметра меньше, чем $c$,
содержится целиком в одном из элементов покрытия.

3. (1)  Докажите, что если последовательность $ x_n$ точек метрического пространства $(X,\rho)$ удовлетворяет свойству
$ \sum\limits_{i=1}^{+\infty} \rho(x_i, x_{i+1}) < +\infty$ (т.е. последовательность частичных сумм $S_n = \sum\limits_{i=1}^{n} \rho(x_i, x_{i+1})$ ограничена), то $x_n$ --- последовательность Коши (=фунадментальная последовательность=сходящаяся в себе
последовательность). 

\textbf{Определение.} Подмножество $A$ метрического пространства $(X,\rho)$ называется $\varepsilon$-разделенным, если $\rho(x,y)\geq \eps$ для любых разных $x,y \in A$.

4. (1) Пусть $A$ ---  конечная $\varepsilon$-сеть в $X$ (то есть открытые
шары радиуса $\varepsilon$ c центрами в точках $A$ покрывают $X$), а $B$ --- $2\varepsilon$-разделенное множество в $X$. Докажите, что $|B|\leq |A|$.

5. (2) Пусть $X,Y \subset \mathbb{R}^n$ --- два непересекающихся подмножества, причем $X$ --- компактное, а $Y$ --- замкнутое.
Обязательно ли существует $d>0$, такое что $\rho(x,y)>d$ для любых $x \in X, y \in Y$.
 
6. (1) Пусть $K$ --- компактное подмножество пространства $(X,\rho)$, а $U \subset X$ —- открытое подмножество такое, что $K\subset U$. Докажите, что для некоторого $\eps>0$ множество $U$ содержит $\eps$-окрестность множества $K$.

7. а) (4) Пусть $(K,\rho)$ --- компакт, отображение $f:K\rightarrow K$ таково, что
 $\rho(f(x),f(y))\geq \rho(x,y)$ при всех $x,y\in K$.  Докажите, что $f$ --- биекция
и на самом деле имеет место равенство  $\rho(f(x),f(y))=\rho(x,y)$.

б) (4) Пусть $(K,\rho)$ --- компакт, сюръективное отображение $f:K\rightarrow K$ таково, что
 $\rho(f(x),f(y))\leq \rho(x,y)$ при всех $x,y\in K$.  Докажите, что $f$ --- биекция
и на самом деле имеет место равенство  $\rho(f(x),f(y))=\rho(x,y)$.
\end{document}