
\documentclass[12pt,russian]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb, amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\pagestyle{empty}

\begin{document}

Остается:

Приведите пример сепарабельного метрчиеского пространства, которое нельзя покрыть последовательностью
шаров с радиусами, стремящимися к 0. 

При каких $C$ сходится последовательность $\sin (C\cdot 10^n)$?

Новое

1. (1) Найдите $\lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt[k]{(x+a_1)\dots(x+a_k)}-x$, где $a_1,\dots,a_k$ --- данные вещественные числа.

Напомним, что число $e$ определяется как предел (возрастающей) последовательности $(1+1/n)^n$ или, что то же самое,
как предел убывающей последовательности $(1+1/n)^{n+1}$. 

2. (2) Докажите, что $n!>(n/e)^n$. при всех натуральных $n$.

3. (1) Найдите $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{m}{x^m-1}-\frac{n}{x^n-1}$ ($m,n$ --- натуральные числа).

4. (2) Докажите, что при любом вещественном $a$ последовательность $(1+a/n)^n$ имеет конечный предел $f(a)$,
функция $f$ возрастает на все оси и $f(a+b)=f(a)f(b)$.

5. (2) Найдите $\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{1\leq k\leq 2n} 2^{-nk/(n+k)}$. 

6. (3) Пусть $a_1,a_2,\dots$ --- положительные числа. Докажите, что верхний предел последовательности
$(\frac{1+a_n}{a_{n-1}})^n$ не меньше, чем $e$. 

\end{document}