\documentclass[12pt,russian]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb, amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[cp1251]{inputenc}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
Домашнее задание по анализу на 30 октября
\end{center}

1. а) (2) Докажите, что при данном вещественном $a>-1$ $$\lim \frac{1^a+2^a+\dots+n^a}{n^{a+1}}=\frac1{a+1}.$$

б) (3) Найдите предел 
$$
\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\sum_{k=1}^n \frac{\ln k}{\sqrt{k}}}{\sqrt{n} \ln{n} }.
$$



2. (1) Найдите
$$
\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\left(e^{\textstyle n}\right)^{\textstyle(\ln n)^{ n}}}
{n^{\textstyle -n} e^{\textstyle n^{ (n/\sqrt{\ln n})}} - n^{\textstyle e^{ n}\cdot n^{100}}}.
$$

3. (4) Докажите, что
$$
3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\dots}}}}
$$
(правая часть есть предел выражений, соответствующих 
большому конечному количеству корней).

4. (1) Найдите $\lim_{x\rightarrow 0} (\frac{a^{1+x}+b^{1+x}+c^{1+x}}{a+b+c})^{1/x} $.

5. (3) Положим $x_n=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\dots+\sqrt[3]{6}}}$ ($n$ корней).
Докажите, что последовательность $(2-x_n)/12^n$ имеет конечный положительный
предел. 

И решите с прошлого раза про то, что нижний предел последовательности
$(\frac{1+a_n}{a_{n-1}})^n$ не меньше $e$.

\end{document}