\documentclass[12pt,russian]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb, amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[cp1251]{inputenc}

\def\tr{{\rm tr}\,}
\def\id{{\rm id}\,}
\def\orb{{\rm orb}\,}
\def\cycl{{\rm cycl}\,}
\def\sign{{\rm sign}\,}
\newcommand{\deff}{{\bf Определение. }}
\newcommand{\cl}{\mathrm{cl}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}


\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{Домашнее задание №2 по математическому анализу}\\
\textbf{ 28.02.15, бакалавриат АУ, информатики}
\end{center}
%\centerline{Домашнее задание №2. 27.02.15}
\begin{enumerate}
\item Вычислите $\int_0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx$.

\item Найдите предел $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac1{n^2}\sum_{k=0}^n\sqrt{k(n-k)}$.

\item Докажите, что константа Эйлера $\gamma=\lim (1+1/2+\dots+1/n-\ln n)$ может быть выражена интегралом
$$
\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-x}\ln xdx.
$$

\item Найдите предел $$\lim_{t\rightarrow 1-0} (1-t)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{1+t^n}.$$

\item Докажите, что если $f(t)$ --- выпуклая непрерывная функция на отрезке $[a,b]$, $g(t)$ --- такая интегрируемая
неотрицательная функция,
что $\int_a^b g(t)dt=1$, то $\int_a^b g(t)f(t)dt\geq f(\int_a^b tg(t)dt)$.

\end{document} 