\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\linespread{1.2}

\usepackage{amssymb, amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{texdraw}

\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}


\def\geq{\geqslant}
\def\leq{\leqslant}
\def\iff{\Leftrightarrow}
\def\therefore{\Rightarrow}
\def\because{\Leftarrow}

\newcommand{\mytitle}[2] {
  \begin{center}
      \bf {#1}. {#2}.
  \end{center}
}

\newenvironment{solution} {

{\it Решение.}
} {
}




\begin{document}

\mytitle{Домашнее задание 4}{Рекуррентные соотношения}
\begin{center}
      {Группа 102/3} \\
	   {\it } 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Решить следующие линейные однородные рекуррентные соотношения второго порядка:
	$$
	\begin{aligned}
	a_{n+2}&=-2a_{n+1}-a_n,\phantom{\sqrt{2}}\qquad & a_0&=2,\quad a_1=6;\\
	a_{n+2}&=2\sqrt{2}a_{n+1}-4a_n,\qquad &a_0&=1,\quad a_1=2.
	\end{aligned}
	$$
	
\begin{solution}
\end{solution}

\item Построить общее решение рекуррентного соотношения
	$$
	a_{n+5}=-5a_{n+4}+81a_{n+1}-405a_n.
	$$
\begin{solution}
\end{solution}

\item Построить общее решение неоднородного рекуррентного соотношения второго порядка
$$
a_{n+2}=5\,a_{n+1}-6\,a_n+6\cdot 3^n.
$$ 
\begin{solution}
\end{solution}

\item Мы положили тысячу рублей в банк под пять процентов годовых. В начале каждого года мы докладываем пятьсот рублей на счет. Сколько денег будет на счете через $n$ лет?
\begin{solution}
\end{solution}

\item На плоскости нарисованы $n$ окружностей так, что любая пара окружностей пересекается ровно по двум точкам, и никакие три окружности не имеют общей точки пересечения. Определить количество $a_n$ областей, на которые разбивается плоскость такими окружностями. 
\begin{solution}
\end{solution}

\item Рассмотрим плоскость $(x,y)$. Предположим, что мы можем ходить по плоскости, делая шаг вверх $(U)$, шаг вправо $(R)$ и шаг влево $(L)$ на единицу длины так, чтобы шаг $R$ никогда не следовал за шагом $L$ и наоборот. Подсчитать количество $a_n$ таких путей после $n$ шагов.
\begin{solution}
\end{solution}

\item Пути Моцкина длины $n$ – это пути из точки $(0, 0)$ в точку $(n, 0)$, состоящие 
	из шагов $(1, 1)$, $(1, 0)$ и $(1,-1)$ и не опускающиеся ниже оси абсцисс. Напишите 
	реккурентную формулу для количества таких путей, задайте начальные значения данной
	последовательности.
\begin{solution}
\end{solution}

\item Фигура <<целеустремлённый король>>  ходит только на одну клетку вправо, 
вверх или по диагонали вправо-вверх. Любитель необычных шахмат на необычных досках 
поставил целеустремленного короля в левый нижний угол пустой доски размера $n\times n$ и хочет провести
 короля в верхний правый угол так, чтобы он не поднимался выше диагонали доски, соединяющей эти две клетки.
 Задайте рекуррентно последовательность $S_n$, описывающую количество способов это сделать.
\begin{solution}
\end{solution}

\end{enumerate}

\end{document}


