Алгебра phys 1 апрель–май

2018-12-10T17:00:33Z

Goryachko:

__NOTOC__
<h2>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</h2>

<h3>8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h3>
<h5>8.1  ¯-Билинейные формы</h5>
<ul><li>Пространство билинейных форм: <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>V=K^n</math>, <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg</math> (<math>V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)</math>, <math>s\in V</math>).
<li>Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>: <math>c\overline\cdot v=\overline c\,v</math>. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если <math>\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K</math>): <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
<li>Матрица Грама формы <math>\sigma</math>: <math>(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\!=\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})</math>. Обобщенная матрица Грама: <math>(\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,w_{j_2})</math>. Теорема о матрице Грама.
Теорема о матрице Грама. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда (1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math> (координаты вычисляются относительно <math>e</math>); (2) для любых <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_m\in V</math> выполнено <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)}\!=\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_m^e\bigr)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\bigl(w_1^e\;\ldots\;w_m^e\bigr)}</math>.
<li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
<li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
<li>Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: <math>\overline\mathrm{ABi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=-\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm A\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=-\overline s\}</math>.
<li>Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>.
<li>Изоморфизмы между пр.-вами с формой: <math>\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))\cap\mathrm{Bij}(V,Y)</math> и <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing</math>.</ul>

<h5>8.2  ¯-Квадратичные формы</h5>
<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline{\mathrm{Quad}}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Func}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\,\,\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)</math>.
<li>¯-Квадратичная форма <math>\kappa</math> в коорд.: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math>; если <math>\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K</math>, то <math>\kappa(v)</math> — однор. многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>.
<li>Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда (1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>; (2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
<li>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда (1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>; (2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
<li>Гиперповерхность второго порядка в пространстве <math>V</math>: множество вида <math>\{v\in V\mid\kappa(v)+2\,\lambda(v)+c=0\}</math>, где <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>c\in K</math>.
<li>Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\lambda\in K_n</math>, <math>c\in K</math> и <math>v\in K^n</math>; тогда <math>\,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}s&\lambda^\mathtt T\\\lambda&c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</ul>

<h5>8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы</h5>
<ul><li>Оператор бемоль (опускание индекса): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индекса в координатах: <math>(\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>(\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}</math>.
<li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\flat_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>.
<li>Топологическая невырожденность (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — нормир. пр.-во, <math>\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)</math>): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — биекция.
<li>Пример: <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n</math>; тогда <math>\sigma</math> топологич. невырождена (без док.-ва).
<li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>.
<li>Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math> и <math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>(v_1,\ldots,v_m)\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.
<li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополнение: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>.
<li>Теорема об ортогональном дополнении. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда (1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>; (2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>; (3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>; (4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</ul>

<h5>8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>
<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>. Форма <math>\sigma</math> в ортогональн. коорд. (<math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>): <math>\sigma(v,w)=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,i}\,v^i\overline{w^i}</math>.
<li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>.
<li>Лемма о неизотропном векторе. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).
<li>Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда (1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>); (2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).
Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда (1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица; (2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ.-т такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.
<li>Лемма об ортогональном проекторе. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>U\le V</math>, <math>m=\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>v\in V</math>; тогда <math>\mathrm{proj}_U(v)^e=(\sigma|_{U\times U})^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_m)\end{smallmatrix}\biggr)</math> и, если <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>, то <math>\mathrm{proj}_U(v)=\sum_{j=1}^m\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j</math>.
<li>Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>, <math>U=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>\hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_U(v_m)</math>; тогда <math>\,\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{m-1}),(v_1,\ldots,v_{m-1})}\!\cdot\sigma(\hat v_m,\hat v_m)</math>.
<li>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>cm_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}</math>, а также <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).
<li>Ортогонал. системы функций: <math>\cos(nx)</math> и <math>\sin(nx)</math> (<math>n\in\mathbb N</math>), <math>\mathrm e^{nx\,\mathrm i}</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).</ul>

<h3>9   Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h3>
<h5>9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы</h5>
<ul><li>Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=-\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>.
<li>Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=-\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)</math>.
<li>Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда (1) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math> и <math>U\le V</math>, то <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>V=U\oplus U^\perp</math>; (2) если <math>n=\dim V<\infty</math>, то <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OB}(V)\;\bigl(\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n\bigr)</math>; (3) если <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, то <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm{GL}(n,K)\;\bigl(\sigma_{e,e}=g^\mathtt T\!\cdot\overline g\bigr)</math>.
<li>Критерий Сильвестра. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда (1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(cm_i>0\bigr)</math>; (2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,cm_i>0\bigr)</math>.
<li>Индексы инерции формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}</math>.
<li>Закон инерции Сильвестра. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; тогда (1) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от <math>e</math>); (2) <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от <math>e</math>); (3) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.
<li>Теорема о классификации пространств с формой. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>\varphi\in\overline\mathrm{SBi}(Y)</math>; тогда <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)</math>, если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>, <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)</math>.
<li>Сигнатура формы <math>\sigma</math>: <math>(\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)</math>). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul>

<h5>9.2  Предгильбертовы пространства</h5>
<ul><li>Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: <math>(\,\mid\,)</math>. Примеры: <math>(v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w</math>, <math>(f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g</math>.
<li>Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb C</math>.
<li>Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>. Утверждение: <math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math>. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: <math>\ell^2</math>.
<li>Теорема о свойствах нормы. Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда (1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца); (2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника); (3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).
<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расст. между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстояниях и проектировании.
Теорема о расстояниях и проектировании. Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\!\le V</math>; тогда (1) для любых <math>v,v'\!\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>; (2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>; (3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{proj}_U\!+\mathrm{proj}_{U^\perp}\!\!=\mathrm{id}_V</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\|\mathrm{proj}_{U^\perp}\!(v)\|</math>; (4) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это нерав.-во Бесселя).
<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>.
<li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\arccos\frac{\|\mathrm{proj}_U(v)\|}{\|v\|}</math>.
<li>Псевдоевклидово<math>\,/\,</math>псевдоунитарное пр.-во сигнатуры <math>(p,q)</math> — кон.-мерн. вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math><math>\,/\,</math><math>\mathbb C</math> с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры <math>(p,q)</math>.</ul>

<h5>9.3  Ориентация, объем, векторное произведение</h5>
<ul><li>Отн.-е одинак. ориентированности (<math>V</math> — кон.-мерн. в. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>e\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e\!>0</math>. Утверждение: <math>V\ne\{0\}\,\Rightarrow\,|\mathrm{OB}(V)/{\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim}|=2</math>.
<li>Ориентация пр.-ва <math>V</math> — выбор эл.-та <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> мн.-ва <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math>. Знак набора векторов: <math>\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)</math>. Теорема о знаке базиса и формах объема.
Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть <math>V</math> — векторное простр.-во с ориентацией и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, а также множество <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)</math>, равное <math>\,\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, не зависит от выбора упорядоченного базиса <math>e</math>.
<li>Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>.
<li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math>; тогда (1) <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}</math>; (2) если векторы <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|(v_1\!\mid\!v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|(v_n\!\mid\!v_n)|}</math>.
<li>Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>.
<li>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда (1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}}</math>; (2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.
<li>Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>).
<li>Векторное произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\sigma^{i,j_n}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть <math>V</math> — евклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда (1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>; (2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>; (3) для любых <math>w_1,\ldots,w_{n-1}\in V</math> выполнено <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}</math>; (4) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</ul>

<h3>10   Алгебры</h3>
<h5>10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами</h5>
<ul><li><math>K</math>-Алгебра — вект. пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>.
<li>Примеры: <math>\mathrm{Func}(X,K)</math>, <math>K[x]</math>, <math>K(x)</math>, <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\mathrm{End}(V)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math>, <math>\mathrm C^0\!(X,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>. Структурн. константы алгебры: <math>m^i_{j_1,j_2}\!\!=(e_{j_1}e_{j_2})^i</math>.
<li>Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с <math>1</math>. Инъект. гомоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb R)\,\\\alpha+\beta\,\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math>.
Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда (1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_a</math> отображ.-е <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)</math>); (2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_a\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.
<li>Алгебра с делением: <math>\forall\,a\in A\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\mathrm{lm}_a,\mathrm{rm}_a\!\in\mathrm{Bij}(A)\bigr)</math> и <math>A\ne\{0\}</math>. Примеры: <math>K</math>, <math>K(x)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры с делением <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math> и алгебра октонионов (октав) <math>\mathbb O</math>.
<li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умнож.-е в <math>K[M]</math>: свертка.
<li>Алгебра многочленов от свободных переменных: <math>K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math>. Степень. Однородные многочлены.
<li>Алгебра многочленов от комм. перем.: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{j_k}</math> (<math>j_1\le\ldots\le j_k</math>). Степень. Однор. многочлены.
<li>Алгебра многочленов от антикомм. перем.: <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_1\otimes x_1,\ldots,x_n\otimes x_n\}\bigr)</math>.</ul>

<h5>10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)</h5>
<ul><li><math>K</math>-Алгебра Ли — <math>K</math>-алгебра, умножение в которой антисимметрично (<math>[a,a]=0</math>) и удовлетв.-т тождеству Якоби (<math>[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0</math>).
<li>Коммутатор эл.-тов ассоциативной алгебры: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^{(-)}{}</math>: вект. простр.-во <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,]</math>. Утверждение: <math>A^{(-)}{}</math> — алгебра Ли.
<li>Примеры: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^{(-)}{}</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но <math>\times{}</math>, <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathbb H^{(-)}{}</math>.
<li>Матричные алгебры Ли: <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak{sl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}</math>, <math>\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!=-\overline a\}{}</math>,
<math>\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)</math>.
<li>Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть <math>\alpha\in[-\infty;0){}</math>, <math>\beta\in(0;\infty]{}</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)){}</math> и <math>\gamma(0)=\mathrm{id}_n{}</math>; тогда (1) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R){}</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C){}</math>; (2) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{so}(n){}</math>, а также, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak u(n){}</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{su}(n){}</math>.
<li>Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли: <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)</math>, <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)</math> и <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math>.
Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; обозначим через <math>{}_K\mathfrak g</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>\mathfrak g</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда (1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>); (2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм алгебр Ли.
<li>Алгебра дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
<li>Пример: пусть <math>M</math> — открытое множество в <math>\mathbb R^n</math> и <math>v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math>; тогда <math>\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)</math> — дифференцирование алгебры <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>.</ul>

Алгебра phys 1 апрель–май

2018-12-10T12:00:42Z

Goryachko:

__NOTOC__
<h2>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</h2>

<h3>8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h3>
<h5>8.1  ¯-Билинейные формы</h5>
<ul><li>Пространство билинейных форм: <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>V=K^n</math>, <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg</math> (<math>V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)</math>, <math>s\in V</math>).
<li>Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>: <math>c\overline\cdot v=\overline c\,v</math>. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если <math>\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K</math>): <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
<li>Матрица Грама формы <math>\sigma</math>: <math>(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\!=\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})</math>. Обобщенная матрица Грама: <math>(\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,w_{j_2})</math>. Теорема о матрице Грама.
Теорема о матрице Грама. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда (1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math> (координаты вычисляются относительно <math>e</math>); (2) для любых <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_m\in V</math> выполнено <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)}\!=\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_m^e\bigr)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\bigl(w_1^e\;\ldots\;w_m^e\bigr)}</math>.
<li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
<li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
<li>Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: <math>\overline\mathrm{ABi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=-\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm A\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=-\overline s\}</math>.
<li>Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>.
<li>Изоморфизмы между пр.-вами с формой: <math>\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))\cap\mathrm{Bij}(V,Y)</math> и <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing</math>.</ul>

<h5>8.2  ¯-Квадратичные формы</h5>
<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline{\mathrm{Quad}}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Func}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\,\,\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)</math>.
<li>¯-Квадратичная форма <math>\kappa</math> в коорд.: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math>; если <math>\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K</math>, то <math>\kappa(v)</math> — однор. многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>.
<li>Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда (1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>; (2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
<li>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда (1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>; (2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
<li>Гиперповерхность второго порядка в пространстве <math>V</math>: множество вида <math>\{v\in V\mid\kappa(v)+2\,\lambda(v)+c=0\}</math>, где <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>c\in K</math>.
<li>Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\lambda\in K_n</math>, <math>c\in K</math> и <math>v\in K^n</math>; тогда <math>\,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}s&\lambda^\mathtt T\\\lambda&c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</ul>

<h5>8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы</h5>
<ul><li>Оператор бемоль (опускание индекса): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индекса в координатах: <math>(\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>(\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}</math>.
<li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\flat_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>.
<li>Топологическая невырожденность (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — нормир. пр.-во, <math>\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)</math>): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — биекция.
<li>Пример: <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n</math>; тогда <math>\sigma</math> топологич. невырождена (без док.-ва).
<li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>.
<li>Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math> и <math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>(v_1,\ldots,v_m)\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.
<li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополнение: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>.
<li>Теорема об ортогональном дополнении. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда (1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>; (2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>; (3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>; (4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</ul>

<h5>8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>
<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>. Форма <math>\sigma</math> в ортогональн. коорд. (<math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>): <math>\sigma(v,w)=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,i}\,v^i\overline{w^i}</math>.
<li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>.
<li>Лемма о неизотропном векторе. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).
<li>Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда (1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>); (2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).
Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда (1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица; (2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ.-т такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.
<li>Лемма об ортогональном проекторе. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>U\le V</math>, <math>m=\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>v\in V</math>; тогда <math>\mathrm{proj}_U(v)^e=(\sigma|_{U\times U})^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_m)\end{smallmatrix}\biggr)</math> и, если <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>, то <math>\mathrm{proj}_U(v)=\sum_{j=1}^m\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j</math>.
<li>Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>, <math>U=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>\hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_U(v_m)</math>; тогда <math>\,\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{m-1}),(v_1,\ldots,v_{m-1})}\!\cdot\sigma(\hat v_m,\hat v_m)</math>.
<li>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>cm_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}</math>, а также <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).
<li>Ортогонал. системы функций: <math>\cos(nx)</math> и <math>\sin(nx)</math> (<math>n\in\mathbb N</math>), <math>\mathrm e^{nx\,\mathrm i}</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).</ul>

<h3>9   Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h3>
<h5>9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы</h5>
<ul><li>Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=-\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>.
<li>Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=-\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)</math>.
<li>Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда (1) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math> и <math>U\le V</math>, то <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>V=U\oplus U^\perp</math>; (2) если <math>n=\dim V<\infty</math>, то <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OB}(V)\;\bigl(\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n\bigr)</math>; (3) если <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, то <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm{GL}(n,K)\;\bigl(\sigma_{e,e}=g^\mathtt T\!\cdot\overline g\bigr)</math>.
<li>Критерий Сильвестра. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда (1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(cm_i>0\bigr)</math>; (2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,cm_i>0\bigr)</math>.
<li>Индексы инерции формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}</math>.
<li>Закон инерции Сильвестра. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; тогда (1) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от <math>e</math>); (2) <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от <math>e</math>); (3) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.
<li>Теорема о классификации пространств с формой. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>\varphi\in\overline\mathrm{SBi}(Y)</math>; тогда <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)</math>, если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>, <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)</math>.
<li>Сигнатура формы <math>\sigma</math>: <math>(\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)</math>). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul>

<h5>9.2  Предгильбертовы пространства</h5>
<ul><li>Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: <math>(\,\mid\,)</math>. Примеры: <math>(v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w</math>, <math>(f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g</math>.
<li>Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb C</math>.
<li>Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>. Утверждение: <math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math>. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: <math>\ell^2</math>.
<li>Теорема о свойствах нормы. Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда (1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца); (2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника); (3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).
<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расст. между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстояниях и проектировании.
Теорема о расстояниях и проектировании. Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\!\le V</math>; тогда (1) для любых <math>v,v'\!\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>; (2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>; (3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{proj}_U\!+\mathrm{proj}_{U^\perp}\!\!=\mathrm{id}_V</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\|\mathrm{proj}_{U^\perp}\!(v)\|</math>; (4) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это нерав.-во Бесселя).
<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>.
<li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\arccos\frac{\|\mathrm{proj}_U(v)\|}{\|v\|}</math>.
<li>Псевдоевклидово<math>\,/\,</math>псевдоунитарное пр.-во сигнатуры <math>(p,q)</math> — кон.-мерн. вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math><math>\,/\,</math><math>\mathbb C</math> с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры <math>(p,q)</math>.</ul>

<h5>9.3  Ориентация, объем, векторное произведение</h5>
<ul><li>Отн.-е одинак. ориентированности (<math>V</math> — кон.-мерн. в. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>e\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e\!>0</math>. Утверждение: <math>V\ne\{0\}\,\Rightarrow\,|\mathrm{OB}(V)/{\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim}|=2</math>.
<li>Ориентация пр.-ва <math>V</math> — выбор эл.-та <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> мн.-ва <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math>. Знак набора векторов: <math>\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)</math>. Теорема о знаке базиса и формах объема.
Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть <math>V</math> — векторное простр.-во с ориентацией и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, а также множество <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)</math>, равное <math>\,\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, не зависит от выбора упорядоченного базиса <math>e</math>.
<li>Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>.
<li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math>; тогда (1) <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}</math>; (2) если векторы <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|(v_1\!\mid\!v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|(v_n\!\mid\!v_n)|}</math>.
<li>Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>.
<li>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>,
<math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда (1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}}</math>; (2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.
<li>Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>).
<li>Векторное произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\sigma^{i,j_n}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть <math>V</math> — евклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда (1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>; (2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>; (3) для любых <math>w_1,\ldots,w_{n-1}\in V</math> выполнено <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}</math>; (4) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</ul>

<h3>10   Алгебры</h3>
<h5>10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами</h5>
<ul><li><math>K</math>-Алгебра — вект. пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>.
<li>Примеры: <math>\mathrm{Func}(X,K)</math>, <math>K[x]</math>, <math>K(x)</math>, <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\mathrm{End}(V)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math>, <math>\mathrm C^0\!(X,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>. Структурн. константы алгебры: <math>m^i_{j_1,j_2}\!\!=(e_{j_1}e_{j_2})^i{}</math>.
<li>Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с <math>1</math>. Инъект. гомоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb R)\,\\\alpha+\beta\,\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math>.
Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда (1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_a</math> отображ.-е <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)</math>); (2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_a\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.
<li>Алгебра с делением: <math>\forall\,a\in A\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\mathrm{lm}_a,\mathrm{rm}_a\!\in\mathrm{Bij}(A)\bigr)</math> и <math>A\ne\{0\}</math>. Примеры: <math>K</math>, <math>K(x)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры с делением <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math> и алгебра октонионов (октав) <math>\mathbb O</math>.
<li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умнож.-е в <math>K[M]</math>: свертка.
<li>Алгебра многочленов от свободн. переменных: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math>. Степень. Однородные многочлены.
<li>Алгебра многочленов от комм. перем.: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{j_k}</math> (<math>j_1\le\ldots\le j_k</math>). Степень. Однор. многочлены.
<li>Алгебра многочленов от антикомм. перем.: <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_1\otimes x_1,\ldots,x_n\otimes x_n\}\bigr)</math>.</ul>

<h5>10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)</h5>
<ul><li><math>K</math>-Алгебра Ли — <math>K</math>-алгебра, умножение в которой антисимметрично (<math>[a,a]=0</math>) и удовлетв.-т тождеству Якоби (<math>[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0</math>).
<li>Коммутатор эл.-тов ассоциативной алгебры: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^{(-)}{}</math>: вект. простр.-во <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,]</math>. Утверждение: <math>A^{(-)}{}</math> — алгебра Ли.
<li>Примеры: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^{(-)}{}</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но <math>\times{}</math>, <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathbb H^{(-)}{}</math>.
<li>Матричные алгебры Ли: <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak{sl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}</math>, <math>\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!=-\overline a\}{}</math>,
<math>\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)</math>.
<li>Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть <math>\alpha\in[-\infty;0){}</math>, <math>\beta\in(0;\infty]{}</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)){}</math> и <math>\gamma(0)=\mathrm{id}_n{}</math>; тогда (1) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R){}</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C){}</math>; (2) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{so}(n){}</math>, а также, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak u(n){}</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{su}(n){}</math>.
<li>Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли: <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)</math>, <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)</math> и <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math>.
Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; обозначим через <math>{}_K\mathfrak g</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>\mathfrak g</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда (1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>); (2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм алгебр Ли.
<li>Алгебра дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
<li>Пример: пусть <math>M</math> — открытое множество в <math>\mathbb R^n</math> и <math>v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math>; тогда <math>\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)</math> — дифференцирование алгебры <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>.</ul>

Алгебра phys 1 апрель–май

2018-12-07T17:00:48Z

Goryachko:

__NOTOC__
<h2>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</h2>

<h3>8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h3>
<h5>8.1  ¯-Билинейные формы</h5>
<ul><li>Пространство билинейных форм: <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>V=K^n</math>, <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg</math> (<math>V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)</math>, <math>s\in V</math>).
<li>Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>: <math>c\overline\cdot v=\overline c\,v</math>. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если <math>\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K</math>): <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
<li>Матрица Грама формы <math>\sigma</math>: <math>(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\!=\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})</math>. Обобщенная матрица Грама: <math>(\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,w_{j_2})</math>. Теорема о матрице Грама.
Теорема о матрице Грама. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда (1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math> (координаты вычисляются относительно <math>e</math>); (2) для любых <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_m\in V</math> выполнено <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)}\!=\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_m^e\bigr)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\bigl(w_1^e\;\ldots\;w_m^e\bigr)}</math>.
<li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
<li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
<li>Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: <math>\overline\mathrm{ABi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=-\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm A\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=-\overline s\}</math>.
<li>Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>.
<li>Изоморфизмы между пр.-вами с формой: <math>\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))\cap\mathrm{Bij}(V,Y)</math> и <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing</math>.</ul>

<h5>8.2  ¯-Квадратичные формы</h5>
<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline{\mathrm{Quad}}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Func}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\,\,\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)</math>.
<li>¯-Квадратичная форма <math>\kappa</math> в коорд.: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math>; если <math>\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K</math>, то <math>\kappa(v)</math> — однор. многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>.
<li>Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда (1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>; (2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
<li>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда (1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>; (2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
<li>Гиперповерхность второго порядка в пространстве <math>V</math>: множество вида <math>\{v\in V\mid\kappa(v)+2\,\lambda(v)+c=0\}</math>, где <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>c\in K</math>.
<li>Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\lambda\in K_n</math>, <math>c\in K</math> и <math>v\in K^n</math>; тогда <math>\,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}s&\lambda^\mathtt T\\\lambda&c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</ul>

<h5>8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы</h5>
<ul><li>Оператор бемоль (опускание индекса): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индекса в координатах: <math>(\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>(\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}</math>.
<li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\flat_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>.
<li>Топологическая невырожденность (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — нормир. пр.-во, <math>\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)</math>): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — биекция.
<li>Пример: <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n</math>; тогда <math>\sigma</math> топологич. невырождена (без док.-ва).
<li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>.
<li>Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math> и <math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>(v_1,\ldots,v_m)\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.
<li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополнение: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>.
<li>Теорема об ортогональном дополнении. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда (1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>; (2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>; (3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>; (4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</ul>

<h5>8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>
<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>. Форма <math>\sigma</math> в ортогональн. коорд. (<math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>): <math>\sigma(v,w)=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,i}\,v^i\overline{w^i}</math>.
<li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>.
<li>Лемма о неизотропном векторе. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).
<li>Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда (1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>); (2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).
Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда (1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица; (2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ.-т такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.
<li>Лемма об ортогональном проекторе. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>U\le V</math>, <math>m=\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>v\in V</math>; тогда <math>\mathrm{proj}_U(v)^e=(\sigma|_{U\times U})^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_m)\end{smallmatrix}\biggr)</math> и, если <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>, то <math>\mathrm{proj}_U(v)=\sum_{j=1}^m\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j</math>.
<li>Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>, <math>U=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>\hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_U(v_m)</math>; тогда <math>\,\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{m-1}),(v_1,\ldots,v_{m-1})}\!\cdot\sigma(\hat v_m,\hat v_m)</math>.
<li>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>cm_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}</math>, а также <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).
<li>Ортогонал. системы функций: <math>\cos(nx)</math> и <math>\sin(nx)</math> (<math>n\in\mathbb N</math>), <math>\mathrm e^{nx\,\mathrm i}</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).</ul>

<h3>9   Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h3>
<h5>9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы</h5>
<ul><li>Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=-\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>.
<li>Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=-\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)</math>.
<li>Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда (1) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math> и <math>U\le V</math>, то <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>V=U\oplus U^\perp</math>; (2) если <math>n=\dim V<\infty</math>, то <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OB}(V)\;\bigl(\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n\bigr)</math>; (3) если <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, то <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm{GL}(n,K)\;\bigl(\sigma_{e,e}=g^\mathtt T\!\cdot\overline g\bigr)</math>.
<li>Критерий Сильвестра. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда (1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(cm_i>0\bigr)</math>; (2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,cm_i>0\bigr)</math>.
<li>Индексы инерции формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}</math>.
<li>Закон инерции Сильвестра. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; тогда (1) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от <math>e</math>); (2) <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от <math>e</math>); (3) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.
<li>Теорема о классификации пространств с формой. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>\varphi\in\overline\mathrm{SBi}(Y)</math>; тогда <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)</math>, если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>, <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)</math>.
<li>Сигнатура формы <math>\sigma</math>: <math>(\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)</math>). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul>

<h5>9.2  Предгильбертовы пространства</h5>
<ul><li>Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: <math>(\,\mid\,)</math>. Примеры: <math>(v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w</math>, <math>(f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g</math>.
<li>Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb C</math>.
<li>Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>. Утверждение: <math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math>. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: <math>\ell^2</math>.
<li>Теорема о свойствах нормы. Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда (1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца); (2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника); (3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).
<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расст. между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстояниях и проектировании.
Теорема о расстояниях и проектировании. Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\!\le V</math>; тогда (1) для любых <math>v,v'\!\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>; (2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>; (3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{proj}_U\!+\mathrm{proj}_{U^\perp}\!\!=\mathrm{id}_V</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\|\mathrm{proj}_{U^\perp}\!(v)\|</math>; (4) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это нерав.-во Бесселя).
<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>.
<li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\arccos\frac{\|\mathrm{proj}_U(v)\|}{\|v\|}</math>.
<li>Псевдоевклидово<math>\,/\,</math>псевдоунитарное пр.-во сигнатуры <math>(p,q)</math> — кон.-мерн. вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math><math>\,/\,</math><math>\mathbb C</math> с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры <math>(p,q)</math>.</ul>

<h5>9.3  Ориентация, объем, векторное произведение</h5>
<ul><li>Отн.-е одинак. ориентированности (<math>V</math> — кон.-мерн. в. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>e\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e\!>0</math>. Утверждение: <math>V\ne\{0\}\,\Rightarrow\,|\mathrm{OB}(V)/{\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim}|=2</math>.
<li>Ориентация пр.-ва <math>V</math> — выбор эл.-та <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> мн.-ва <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math>. Знак набора векторов: <math>\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)</math>. Теорема о знаке базиса и формах объема.
Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть <math>V</math> — векторное простр.-во с ориентацией и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, а также множество <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)</math>, равное <math>\,\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e{}</math>, не зависит от выбора упорядоченного базиса <math>e</math>.
<li>Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>.
<li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math>; тогда (1) <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}{}</math>; (2) если векторы <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|(v_1\!\mid\!v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|(v_n\!\mid\!v_n)|}{}</math>.
<li>Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>.
<li>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>,
<math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда (1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}}</math>; (2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.
<li>Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>).
<li>Векторное произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\sigma^{i,j_n}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}{}</math>. Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть <math>V</math> — евклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда (1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>; (2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>; (3) для любых <math>w_1,\ldots,w_{n-1}\in V{}</math> выполнено <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}{}</math>; (4) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</ul>

<h3>10   Алгебры</h3>
<h5>10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами</h5>
<ul><li><math>K</math>-Алгебра — вект. пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>.
<li>Примеры: <math>\mathrm{Func}(X,K)</math>, <math>K[x]</math>, <math>K(x)</math>, <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\mathrm{End}(V)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math>, <math>\mathrm C^0\!(X,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>. Структурн. константы алгебры: <math>m^i_{j_1,j_2}\!\!=(e_{j_1}e_{j_2})^i{}</math>.
<li>Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с <math>1</math>. Инъект. гомоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb R)\,\\\alpha+\beta\,\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math>.
Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда (1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_a</math> отображ.-е <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)</math>); (2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_a\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.
<li>Алгебра с делением: <math>\forall\,a\in A\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\mathrm{lm}_a,\mathrm{rm}_a\!\in\mathrm{Bij}(A)\bigr)</math> и <math>A\ne\{0\}</math>. Примеры: <math>K</math>, <math>K(x)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры с делением <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math> и алгебра октонионов (октав) <math>\mathbb O</math>.
<li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умнож.-е в <math>K[M]</math>: свертка.
<li>Алгебра многочленов от свободн. переменных: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math>. Степень. Однородные многочлены.
<li>Алгебра многочленов от комм. перем.: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{j_k}</math> (<math>j_1\le\ldots\le j_k</math>). Степень. Однор. многочлены.
<li>Алгебра многочленов от антикомм. перем.: <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_1\otimes x_1,\ldots,x_n\otimes x_n\}\bigr)</math>.</ul>

<h5>10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)</h5>
<ul><li><math>K</math>-Алгебра Ли — <math>K</math>-алгебра, умножение в которой антисимметрично (<math>[a,a]=0</math>) и удовлетв.-т тождеству Якоби (<math>[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0</math>).
<li>Коммутатор эл.-тов ассоциативной алгебры: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^{(-)}{}</math>: вект. простр.-во <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,]</math>. Утверждение: <math>A^{(-)}{}</math> — алгебра Ли.
<li>Примеры: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^{(-)}{}</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но <math>\times{}</math>, <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathbb H^{(-)}{}</math>.
<li>Матричные алгебры Ли: <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak{sl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}</math>, <math>\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!=-\overline a\}{}</math>,
<math>\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)</math>.
<li>Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть <math>\alpha\in[-\infty;0){}</math>, <math>\beta\in(0;\infty]{}</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)){}</math> и <math>\gamma(0)=\mathrm{id}_n{}</math>; тогда (1) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R){}</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C){}</math>; (2) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{so}(n){}</math>, а также, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak u(n){}</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{su}(n){}</math>.
<li>Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли: <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)</math>, <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)</math> и <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math>.
Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; обозначим через <math>{}_K\mathfrak g</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>\mathfrak g</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда (1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>); (2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм алгебр Ли.
<li>Алгебра дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
<li>Пример: пусть <math>M</math> — открытое множество в <math>\mathbb R^n</math> и <math>v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math>; тогда <math>\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)</math> — дифференцирование алгебры <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>.</ul>

Алгебра phys 1 апрель–май

2018-11-30T17:00:33Z

Goryachko:

__NOTOC__
<h2>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</h2>

<h3>8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h3>
<h5>8.1  ¯-Билинейные формы</h5>
<ul><li>Пространство билинейных форм: <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>V=K^n</math>, <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg</math> (<math>V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)</math>, <math>s\in V</math>).
<li>Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>: <math>c\overline\cdot v=\overline c\,v</math>. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если <math>\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K</math>): <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
<li>Матрица Грама формы <math>\sigma</math>: <math>(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\!=\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})</math>. Обобщенная матрица Грама: <math>(\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,w_{j_2})</math>. Теорема о матрице Грама.
Теорема о матрице Грама. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда (1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math> (координаты вычисляются относительно <math>e</math>); (2) для любых <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_m\in V</math> выполнено <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)}\!=\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_m^e\bigr)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\bigl(w_1^e\;\ldots\;w_m^e\bigr)}</math>.
<li>Изоморфизм вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
<li>Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
<li>Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: <math>\overline\mathrm{ABi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=-\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm A\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=-\overline s\}</math>.
<li>Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>.
<li>Изоморфизмы между пр.-вами с формой: <math>\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))\cap\mathrm{Bij}(V,Y)</math> и <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing</math>.</ul>

<h5>8.2  ¯-Квадратичные формы</h5>
<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline{\mathrm{Quad}}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Func}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\,\,\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)</math>.
<li>¯-Квадратичная форма <math>\kappa</math> в коорд.: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math>; если <math>\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K</math>, то <math>\kappa(v)</math> — однор. многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>.
<li>Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда (1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>; (2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
<li>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда (1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>), а также <math>\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)</math>; (2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
<li>Гиперповерхность второго порядка в пространстве <math>V</math>: множество вида <math>\{v\in V\mid\kappa(v)+2\,\lambda(v)+c=0\}</math>, где <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>c\in K</math>.
<li>Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть <math>s\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\lambda\in K_n</math>, <math>c\in K</math> и <math>v\in K^n</math>; тогда <math>\,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}s&\lambda^\mathtt T\\\lambda&c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</ul>

<h5>8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы</h5>
<ul><li>Оператор бемоль (опускание индекса): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индекса в координатах: <math>(\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>(\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}</math>.
<li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\flat_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>.
<li>Топологическая невырожденность (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — нормир. пр.-во, <math>\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)</math>): <math>\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — биекция.
<li>Пример: <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n</math>; тогда <math>\sigma</math> топологич. невырождена (без док.-ва).
<li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>.
<li>Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math> и <math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>(v_1,\ldots,v_m)\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.
<li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополнение: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>.
<li>Теорема об ортогональном дополнении. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда (1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>; (2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>; (3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>; (4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</ul>

<h5>8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>
<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>. Форма <math>\sigma</math> в ортогональн. коорд. (<math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>): <math>\sigma(v,w)=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,i}\,v^i\overline{w^i}</math>.
<li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>.
<li>Лемма о неизотропном векторе. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).
<li>Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда (1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>); (2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).
Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда (1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица; (2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ.-т такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.
<li>Лемма об ортогональном проекторе. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>U\le V</math>, <math>m=\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>v\in V</math>; тогда <math>\mathrm{proj}_U(v)^e=(\sigma|_{U\times U})^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_m)\end{smallmatrix}\biggr)</math> и, если <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>, то <math>\mathrm{proj}_U(v)=\sum_{j=1}^m\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j</math>.
<li>Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>, <math>U=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>\hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_U(v_m)</math>; тогда <math>\,\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{m-1}),(v_1,\ldots,v_{m-1})}\!\cdot\sigma(\hat v_m,\hat v_m)</math>.
<li>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>cm_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}</math>, а также <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).
<li>Ортогонал. системы функций: <math>\cos(nx)</math> и <math>\sin(nx)</math> (<math>n\in\mathbb N</math>), <math>\mathrm e^{nx\,\mathrm i}</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).</ul>

<h3>9   Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h3>
<h5>9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы</h5>
<ul><li>Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=-\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>.
<li>Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=-\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)</math>.
<li>Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда (1) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math> и <math>U\le V</math>, то <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>V=U\oplus U^\perp</math>; (2) если <math>n=\dim V<\infty</math>, то <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OB}(V)\;\bigl(\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n\bigr)</math>; (3) если <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, то <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm{GL}(n,K)\;\bigl(\sigma_{e,e}=g^\mathtt T\!\cdot\overline g\bigr)</math>.
<li>Критерий Сильвестра. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>cm_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда (1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(cm_i>0\bigr)</math>; (2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,cm_i>0\bigr)</math>.
<li>Индексы инерции формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}</math>.
<li>Закон инерции Сильвестра. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; тогда (1) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от <math>e</math>); (2) <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от <math>e</math>); (3) <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.
<li>Теорема о классификации пространств с формой. Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>\varphi\in\overline\mathrm{SBi}(Y)</math>; тогда <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)</math>, если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>, <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)</math>.
<li>Сигнатура формы <math>\sigma</math>: <math>(\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)</math>). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul>

<h5>9.2  Предгильбертовы пространства</h5>
<ul><li>Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: <math>(\,\mid\,)</math>. Примеры: <math>(v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w</math>, <math>(f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g</math>.
<li>Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb C</math>.
<li>Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>. Утверждение: <math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math>. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: <math>\ell^2</math>.
<li>Теорема о свойствах нормы. Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда (1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца); (2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника); (3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).
<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Расст. между подмн.-вами: <math>\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}</math>. Теорема о расстояниях и проектировании.
Теорема о расстояниях и проектировании. Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>U,U'\!\le V{}</math>; тогда (1) для любых <math>v,v'\!\in V{}</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')</math>; (2) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>; (3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{proj}_U\!+\mathrm{proj}_{U^\perp}\!\!=\mathrm{id}_V{}</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,U)=\|\mathrm{proj}_{U^\perp}\!(v)\|{}</math>; (4) если <math>\dim U<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это нерав.-во Бесселя).
<li>Метод наименьших квадратов: замена системы <math>a\cdot v=y</math>, где <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{rk}(a)=n</math> и <math>y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X</math>, на систему <math>a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)</math>.
<li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\arccos\frac{\|\mathrm{proj}_U(v)\|}{\|v\|}{}</math>.
<li>Псевдоевклидово<math>\,/\,</math>псевдоунитарное пр.-во сигнатуры <math>(p,q)</math> — кон.-мерн. вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math><math>\,/\,</math><math>\mathbb C</math> с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры <math>(p,q)</math>.</ul>

<h5>9.3  Ориентация, объем, векторное произведение</h5>
<ul><li>Отн.-е одинак. ориентированности (<math>V</math> — кон.-мерн. в. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>e\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e\!>0</math>. Утверждение: <math>V\ne\{0\}\,\Rightarrow\,|\mathrm{OB}(V)/{\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim}|=2</math>.
<li>Ориентация пр.-ва <math>V</math> — выбор эл.-та <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> мн.-ва <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math>. Знак набора векторов: <math>\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)</math>. Теорема о знаке базиса и формах объема.
Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть <math>V</math> — векторное простр.-во с ориентацией и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, а также множество <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)</math>, равное <math>\,\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e{}</math>, не зависит от выбора упорядоченного базиса <math>e</math>.
<li>Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>; если <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math>, то <math>\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e</math>.
<li>Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math>. Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math>; тогда (1) <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}{}</math>; (2) если векторы <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|(v_1\!\mid\!v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|(v_n\!\mid\!v_n)|}{}</math>.
<li>Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>.
<li>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>,
<math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда (1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}}</math>; (2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.
<li>Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>).
<li>Векторное произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\sigma^{i,j_n}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}{}</math>. Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть <math>V</math> — евклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда (1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>; (2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>; (3) для любых <math>w_1,\ldots,w_{n-1}\in V{}</math> выполнено <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}{}</math>; (4) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</ul>

<h3>10   Алгебры</h3>
<h5>10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами</h5>
<ul><li><math>K</math>-Алгебра — вект. пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>.
<li>Примеры: <math>\mathrm{Func}(X,K)</math>, <math>K[x]</math>, <math>K(x)</math>, <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\mathrm{End}(V)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math>, <math>\mathrm C^0\!(X,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>. Структурн. константы алгебры: <math>m^i_{j_1,j_2}\!\!=(e_{j_1}e_{j_2})^i{}</math>.
<li>Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с <math>1</math>. Инъект. гомоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb R)\,\\\alpha+\beta\,\mathrm i&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math>.
Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда (1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_a</math> отображ.-е <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)</math>); (2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_a\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.
<li>Алгебра с делением: <math>\forall\,a\in A\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\mathrm{lm}_a,\mathrm{rm}_a\!\in\mathrm{Bij}(A)\bigr)</math> и <math>A\ne\{0\}</math>. Примеры: <math>K</math>, <math>K(x)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры с делением <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math> и алгебра октонионов (октав) <math>\mathbb O</math>.
<li>Моноидная алгебра (<math>M</math> — моноид): <math>K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)</math>; общий вид эл.-та: <math>\sum_{m\in M}p_mm</math> (<math>|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty</math>); умнож.-е в <math>K[M]</math>: свертка.
<li>Алгебра многочленов от свободн. переменных: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math>. Степень. Однородные многочлены.
<li>Алгебра многочленов от комм. перем.: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]</math>. Одночлены: <math>x_{j_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{j_k}</math> (<math>j_1\le\ldots\le j_k</math>). Степень. Однор. многочлены.
<li>Алгебра многочленов от антикомм. перем.: <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_1\otimes x_1,\ldots,x_n\otimes x_n\}\bigr)</math>.</ul>

<h5>10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)</h5>
<ul><li><math>K</math>-Алгебра Ли — <math>K</math>-алгебра, умножение в которой антисимметрично (<math>[a,a]=0</math>) и удовлетв.-т тождеству Якоби (<math>[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0</math>).
<li>Коммутатор эл.-тов ассоциативной алгебры: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^{(-)}{}</math>: вект. простр.-во <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,]</math>. Утверждение: <math>A^{(-)}{}</math> — алгебра Ли.
<li>Примеры: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^{(-)}{}</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но <math>\times{}</math>, <math>\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathbb H^{(-)}{}</math>.
<li>Матричные алгебры Ли: <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak{sl}(n,K)</math>, <math>\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}</math>, <math>\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!=-\overline a\}{}</math>,
<math>\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)</math>.
<li>Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть <math>\alpha\in[-\infty;0){}</math>, <math>\beta\in(0;\infty]{}</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)){}</math> и <math>\gamma(0)=\mathrm{id}_n{}</math>; тогда (1) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R){}</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C){}</math>; (2) если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{so}(n){}</math>, а также, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak u(n){}</math>, и, если <math>\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n){}</math>, то <math>\dot\gamma(0)\in\mathfrak{su}(n){}</math>.
<li>Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли: <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)</math>, <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)</math> и <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)</math>.
Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; обозначим через <math>{}_K\mathfrak g</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, получающееся из алгебры <math>\mathfrak g</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда (1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор (то есть <math>\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>); (2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм алгебр Ли.
<li>Алгебра дифференцирований <math>K</math>-алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
<li>Пример: пусть <math>M</math> — открытое множество в <math>\mathbb R^n</math> и <math>v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math>; тогда <math>\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)</math> — дифференцирование алгебры <math>\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>.</ul>

Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

2018-11-29T22:00:31Z

Goryachko:

__NOTOC__
<h2>Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры</h2>

<h3>14   Тензорные произведения векторных пространств</h3>
<h5>14.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами</h5>
<ul><li>Тензорное произведение вект. пространств: <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\mathcal F/\mathcal F_0</math>, где <math>\mathcal F=\mathrm{FinFunc}(V_1\times\ldots\times V_k,K)</math> и <math>\mathcal F_0</math> — подпространство полилинеаризации.
<li>Разложимый тензор: <math>v_1\otimes\ldots\otimes v_k=(v_1,\ldots,v_k)+\mathcal F_0</math>. Ранг тензора <math>T</math>: <math>\mathrm{rk}(T)</math> — минимум среди всех таких <math>m</math>, что <math>T</math> равен сумме <math>m</math> разл. тензоров.
<li>Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> — полилинейный оператор.
<li>Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — вект. простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда для любых <math>\omega\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существ. единств. такой <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что <math>\forall\,v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\;\bigl(a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).
<li>Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> — базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно; тогда все тензоры <math>b_1\otimes\ldots\otimes b_k</math>, где <math>b_1\in B_1,\ldots,b_k\in B_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k</math>, а также, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)=\dim V_1\cdot\ldots\cdot\dim V_k</math>.
<li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е линейных операторов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>.
<li>Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть <math>K</math> — поле и <math>U,V,W</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда <math>V\otimes K\cong K\otimes V\cong V</math>, <math>(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes(V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W</math> и <math>V\otimes W\cong W\otimes V</math>.
<li>Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,W,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда (1) <math>\biggl(\!\begin{align}Y\otimes V^*\!&\to\mathrm{Hom}(V,Y)\\y\otimes\lambda&\mapsto\bigl(v\mapsto\lambda(v)\,y\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный линейный оператор и, если <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в; (2) <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes W^*\!&\to(V\otimes W)^*\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl(v\otimes w\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъект. лин. оператор и, если <math>\dim V,\dim W<\infty</math>, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.</ul>

<h5>14.2  Тензоры типа <math>(p,q)</math> и тензорная алгебра</h5>
<ul><li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math> над <math>V</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}V=V^{\otimes p}\!\otimes(V^*)^{\otimes q}</math>. Примеры: <math>\mathcal T^0_{\,\,0}V=K</math>, <math>\mathcal T^1V=V</math>, <math>\mathcal T_{\,1}V=V^*</math>, <math>\mathcal T^1_{\,\,1}V\cong\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathcal T_{\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V)</math>.
<li>Примеры: <math>\mathcal T^1_{\,\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V,V,V)</math> — простр.-во структур алгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T^2_{\,\,1}V\cong\mathrm{Hom}(V,V\otimes V)</math> — простр.-во структур коалгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T_{\,q}V=\mathcal T^qV^*</math>.
<li>Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>p,q\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда (1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,q}V&\to\mathrm{Multi}_qV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_q)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(v_q)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств; (2) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V,\ldots,V}^q,V^{\otimes p})\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((w_1,\ldots,w_q)\mapsto\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_p\bigr)\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств; (3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V^*,\ldots,V^*}^p,\overbrace{V,\ldots,V}^q,K)\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((\mu_1,\ldots,\mu_p,w_1,\ldots,w_q)\mapsto\mu_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\mu_p(v_p)\,\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\bigr)\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм вект. простр.-в.
<li>Тензор типа <math>(p,q)</math> в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\,e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}</math>. Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\,e_i</math>, <math>\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,e^j</math>, <math>a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!a^i_j\;e_i\otimes e^j</math>.
<li>Примеры: <math>\sigma=\!\!\sum_{1\le j_1,j_2\le n}\!\!\sigma_{j_1,j_2}\,e^{j_1}\!\otimes e^{j_2}</math> — метрический тензор, <math>\mathrm{vol}^e\!=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_n}</math> — форма объема, связанная с упоряд. базисом <math>e</math>.
<li>Преобразование при замене базиса: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\!\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\;T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math>. Примеры: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>, <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>.
<li>Тензорная алгебра над <math>V</math>: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы <math>\mathcal T^kV\otimes\mathcal T^{k'}\!V\cong\mathcal T^{k+k'}\!V</math>).
<li>Теорема о тензорной алгебре. Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда множество <math>\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathcal T(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!</math> выполнено <math>(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!</math>, а также <math>\,\mathcal T(V)\cong K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle</math> — алгебра многочленов от своб. перем.-х.</ul>

<h5>14.3  Операции над тензорами типа <math>(p,q)</math></h5>
<ul><li>Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: <math>\bigl(T\otimes T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q\;\;\;\;\;\;\;j_1',\ldots,j_{q'}'}\!\!=T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\!j_1',\ldots,j_{q'}'}\!</math>. Кронекерово пр.-е матриц.
<li>Тензорное произв.-е полилин. форм как полилин. форма (<math>\omega\in\mathrm{Multi}_kV</math>, <math>\omega'\!\in\mathrm{Multi}_{k'}V</math>): <math>(\omega\otimes\omega')(v_1,\ldots,v_{k+k'})=\omega(v_1,\ldots,v_k)\,\omega'(v_{k+1},\ldots,v_{k+k'})</math>.
<li>Перестановка компонент: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pat}_u\colon\mathcal T^kV&\to\mathcal T^kV\\v_1\otimes\ldots\otimes v_k&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes v_{u^{-1}(k)}\end{align}\!\biggr)</math>. Действие <math>\mathrm{pat}</math> группы <math>\mathrm S_k</math>. Перест.-ка в коорд.-х: <math>\bigl(\mathrm{pat}_u(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}</math>.
<li>Свертка по <math>b</math>-й и <math>d</math>-й позициям: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{tr}^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\lambda_d(v_b)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>.
<li>Свертка по <math>b</math>-й и <math>d</math>-й позициям в координатах: <math>\bigl(\mathrm{tr}^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{h=1}^nT^{i_1,\ldots,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots,j_q}</math>. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда (1) для любых <math>v\in V</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\lambda(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\lambda)</math>, <math>\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}^1_1(a)</math>, <math>a(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes a)</math> и <math>\lambda\circ a=\mathrm{tr}^1_2(a\otimes\lambda)</math>; (2) для любых <math>v,w\in V</math> и <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=\mathrm{tr}^1_1(\mathrm{tr}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))</math> и <math>\flat_\sigma v=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\sigma)</math>.
<li>Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда (1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)=\!\!\sum_{1\le i_1,i_2\le n}\!\!\sigma^{i_1,i_2}\,e_{i_1}\!\otimes e_{i_2}</math> (тензор <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)</math> — обратный тензор по отношению к тензору <math>\sigma</math>); (2) под действием канонического изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Bi}(V^*)\\v\otimes w&\mapsto\bigl((\lambda,\mu)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> тензор <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)</math> переходит в форму <math>(\lambda,\mu)\mapsto\sigma(\sharp^\sigma\lambda,\sharp^\sigma\mu)</math>; (3) для любых <math>\lambda\in V^*</math> выполнено <math>\sharp^\sigma\lambda=\mathrm{tr}^2_1((\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)\otimes\lambda)</math>.
<li>Опускание индекса с <math>b</math>-й позиции: <math>(\mathrm{id}_V)^{\otimes(b-1)}\!\otimes\flat_\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_V)^{\otimes(p-b)}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes q}</math>. Подъем индекса с <math>d</math>-й поз.-и: <math>(\mathrm{id}_V)^{\otimes p}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(d-1)}\!\otimes\sharp^\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(q-d)}</math>.
<li>Опускание индекса и подъем индекса в коорд.-х: <math>T^{i_1,\ldots,i_{b-1}\,\,i_{b+1},\ldots,i_p}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,j\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q}\!=\sum_{i_b=1}^nT^{i_1,\ldots,i_b,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\sigma_{i_b,j}</math> и <math>T^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,i}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\,j_1,\ldots,j_{d-1}\,\,j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{j_d=1}^n\sigma^{i,j_d}\,T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_d,\ldots,j_q}\!</math>.</ul>

<h3>15   Симметрические и внешние степени векторных пространств</h3>
<h5>15.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами</h5>
<ul><li>Симметрическая степень: <math>\mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=T\bigr)\}</math>. Внешняя степень: <math>\mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}</math>.
<li>Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>\iota</math> канонический изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>; тогда (1) <math>\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\iota\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{paf}_u\!\circ\iota\bigr)</math> (напоминание: <math>\mathrm{pat}_u(\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k)=\lambda_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_{u^{-1}(k)}</math> и <math>(\mathrm{paf}_u(\omega))(v_1,\ldots,v_k)=\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})</math>); (2) <math>\iota(\mathsf S^kV^*)=\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV</math> (далее пространства <math>\,\mathsf S^kV^*</math> и <math>\,\mathrm{SMulti}_kV</math> отождествляются при помощи изоморфизма <math>\iota</math>); (3) <math>\iota(\mathsf\Lambda^kV^*)=\mathrm{AMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*\!\cong\mathrm{AMulti}_kV</math> (далее пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*</math> и <math>\,\mathrm{AMulti}_kV</math> отождествляются при помощи изоморфизма <math>\iota</math>).
<li>Оператор симметризации: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u</math>. Оператор альтернирования: <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u</math>. Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда (1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>; (2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>; (3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, а также <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (и, значит, <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).
<li>Симметрич. и внешнее произв.-я векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math> и <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Пример: <math>\mathrm{vol}^e\!=e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>.
<li>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда (1) <math>\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)</math> — симметричный полилинейный оператор; (2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)</math> — антисимметричный полилинейный оператор.
<li>Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда (1) для любых <math>\omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)</math> существует единственный такой <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)</math>, что <math>\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)</math>; (2) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)</math> существует единственный такой <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)</math>, что <math>\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)</math>.
<li>Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда (1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>; (2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>; (3) <math>\dim\mathsf S^kV=\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.
<li>Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>): <math>a^{\cdot k}(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=a(v_1)\cdot\ldots\cdot a(v_k)</math> и <math>a^{\wedge k}(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=a(v_1)\wedge\ldots\wedge a(v_k)</math>.</ul>

<h5>15.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра</h5>
<ul><li>Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (<math>T\in\mathcal T^kV</math>, <math>T'\!\in\mathcal T^{k'}\!V</math>): <math>T\cdot T'=\mathrm{sym}_{k+k'}(T\otimes T')</math> и <math>T\wedge T'=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,\mathrm{alt}_{k+k'}(T\otimes T')</math>.
<li>Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: <math>T^{(i_1,\ldots,i_k)}\!=\bigl(\mathrm{sym}_k(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}</math> и <math>T^{[i_1,\ldots,i_k]}\!=\bigl(\mathrm{alt}_k(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}</math>.
<li>Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: <math>\bigl(T\cdot T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}\!=T\!\phantom'^{(i_1,\ldots,i_k}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{k'}')}</math> и <math>\bigl(T\wedge T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}\!=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,T\!\phantom'^{[i_1,\ldots,i_k}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{k'}']}</math>.
<li>Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное простр.-во над полем <math>K</math>, <math>k,k',k''\!\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_k,v_1',\ldots,v_{k'}'\!\in V</math> и <math>T\in\mathcal T^kV</math>, <math>T'\!\in\mathcal T^{k'}\!V</math>, <math>T''\!\in\mathcal T^{k''}\!V</math>; тогда (1) <math>(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\cdot(v_1'\otimes\ldots\otimes v_{k'}')=v_1\cdot\ldots\cdot v_k\cdot v_1'\cdot\ldots\cdot v_{k'}'</math> и <math>(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\wedge(v_1'\otimes\ldots\otimes v_{k'}')=\frac1{k!\,k'!}\,v_1\wedge\ldots\wedge v_k\wedge v_1'\wedge\ldots\wedge v_{k'}'</math>; (2) <math>\mathrm{sym}_k(T)\cdot T'=T\cdot\mathrm{sym}_{k'}(T')=T\cdot T'</math> и <math>\mathrm{alt}_k(T)\wedge T'=T\wedge\mathrm{alt}_{k'}(T')=T\wedge T'</math>; (3) <math>(T\cdot T')\cdot T''=T\cdot(T'\cdot T'')=\mathrm{sym}_{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')</math> и <math>(T\wedge T')\wedge T''=T\wedge(T'\wedge T'')=\frac{(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}\,\mathrm{alt}_{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')</math> (симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно); (4) <math>T\cdot T'=T'\cdot T</math> и <math>T\wedge T'=(-1)^{kk'}T'\wedge T</math> (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно); (5) <math>(\ldots(v_1\cdot v_2)\cdot\ldots\cdot v_{k-1})\cdot v_k=v_1\cdot\ldots\cdot v_k</math> и <math>(\ldots(v_1\wedge v_2)\wedge\ldots\wedge v_{k-1})\wedge v_k=v_1\wedge\ldots\wedge v_k</math>.
<li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>.
<li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над <math>V</math>: <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>.
<li>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда (1) <math>\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math> выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по неубыванию; (2) <math>\bigcup_{k=0}^n\,\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math> выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по неубыванию; (3) <math>\mathsf S(V)\cong K[x_1,\ldots,x_n]</math> — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и <math>\,\mathsf\Lambda(V)\cong K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]</math> — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.</ul>

<h5>15.3  Операции над внешними формами</h5>
<ul><li>Теорема о внешнем произведении внешних форм. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>k,k'\!\in\mathbb N_0</math>, <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> и <math>\omega'\!\in\mathrm{AMulti}_{k'}V</math>; тогда (1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\omega=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}\!=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}</math>; (2) для любых <math>v_1,\ldots,v_{k+k'}\!\in V</math> выполнено <math>(\omega\wedge\omega')(v_1,\ldots,v_{k+k'})=\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le k+k',\,1\le j_1'<\ldots<j_{k'}'\le k+k'}\!\!\!\!\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,j_1',\ldots,j_{k'}'}\omega(v_{j_1},\ldots,v_{j_k})\,\omega'(v_{j_1'},\ldots,v_{j_{k'}'})</math>.
<li>Оператор внутреннего произв.-я с вект. <math>v</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}i_v\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{k-1}V\\\omega&\mapsto\bigl((v_2,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v,v_2,\ldots,v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Оператор <math>i_v</math> в коорд.: <math>i_v(\omega)_{j_2,\ldots,j_n}\!=\sum_{j_1=1}^nv^{j_1}\omega_{j_1,\ldots,j_n}</math>.
<li>Утверждение: <math>i_v(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=\sum_{t=1}^k(-1)^{t+1}\,v^{j_t}e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_{t-1}}\!\wedge e^{j_{t+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}</math>. Продолжение по лин.-сти опер. <math>i_v</math> до эндоморфизма пр.-ва <math>\mathsf\Lambda(V^*)</math>.
<li>Теорема о внутреннем произведении. Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>v\in V</math>; тогда <math>i_v</math> — супердифференцирование алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V^*)</math> (то есть для любых <math>k,k'\!\in\mathbb N_0</math>, <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> и <math>\omega'\!\in\mathrm{AMulti}_{k'}V</math> выполнено <math>i_v(\omega\wedge\omega')=i_v(\omega)\wedge\omega'+(-1)^k\,\omega\wedge i_v(\omega')</math>) и <math>i_v^2=0</math>.
<li>Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\lambda_1\wedge\ldots\wedge\lambda_k&\mapsto\bigl((v_{k+1},\ldots,v_n)\mapsto\mathrm{vol}(\sharp\,\lambda_1,\ldots,\sharp\,\lambda_k,v_{k+1},\ldots,v_n)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> (<math>\mathrm{vol}</math> — канон. форма объема).
<li>Примеры: <math>*\,1=\mathrm{vol}</math>, <math>*\,\mathrm{vol}=(-1)^q</math> (здесь <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math>), <math>*\,(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)</math>, <math>\sharp\,{*}\,(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=v_1\times\ldots\times v_{n-1}</math> (<math>n\ge1</math>).
<li>Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией, <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда (1) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\omega^{j_1,\ldots,j_k}</math>; (2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и попарно различных чисел <math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(-1)^t\,e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_n}</math>, где <math>\{j_{k+1},\ldots,j_n\}=\{1,\ldots,n\}\!\setminus\!\{j_1,\ldots,j_k\}</math> и <math>j_{k+1}\!<\ldots<j_n</math>, а также <math>(-1)^t=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})</math>.
<li>Теорема об операторе Ходжа. Утверждение: пусть <math>n\ge1</math> и <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>; тогда <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}</math>.
Теорема об операторе Ходжа. Пусть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией, <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда (1) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>*\!*\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств); (2) для любых <math>\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}</math>, где <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\wedge k}\omega)</math> (в координатах <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}</math>); (3) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>*\,(\flat\,v\wedge*\,\flat\,w)=(-1)^q\,(v\!\mid\!w)</math>.</ul>

<h3>16   Многообразия (часть 2)</h3>
<h5>16.1  Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля</h5>
<ul><li>Касательное и кокасательное расслоения: <math>\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T_mM</math> и <math>\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T^*_mM</math>. Структура многообр.-я на <math>\mathrm TM</math> и <math>\mathrm T^*M</math>; отобр.-е проекции на <math>M</math>: <math>\mathrm{pr}_M</math>.
<li>Пр.-ва векторн. полей и ковект. полей (<math>1</math>-форм): <math>\mathrm{Vect}(M)=\{v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ v=\mathrm{id}_M\}</math> и <math>\Omega^1(M)=\{\lambda\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\lambda=\mathrm{id}_M\}</math>.
<li>Умножение вект. полей и <math>1</math>-форм на функции. Действие <math>1</math>-форм на вект. поля. Локальные вект. поля <math>\frac\partial{\partial x^i}</math> и <math>1</math>-формы <math>\mathrm dx^j</math>. Утверждение: <math>\mathrm df=\sum_{j=1}^n\partial_jf\;\mathrm dx^j</math>.
<li>Векторные поля и <math>1</math>-формы в коорд.: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\frac\partial{\partial x^i}</math> и <math>\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,\mathrm dx^j</math>. Преобраз.-я при замене коорд.: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}\!\circ\xi\Bigr)\,v^k</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\lambda_l</math>.
<li>Расслоение тензоров типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>. Пр.-во тензорн. полей типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathrm{Tens}^p_q(M)=\{T\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ T=\mathrm{id}_M\}</math>.
<li>В коорд.: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\frac\partial{\partial x^{i_1}}\!\otimes\ldots\otimes\!\frac\partial{\partial x^{i_p}}\!\otimes\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_q}</math>. Пример: <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}</math> — поле форм от <math>k</math> перем.-х.
<li>Преобр.-е координат тензорного поля при замене координат на <math>M</math>: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_1}}{\partial x^{k_1}}\!\circ\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_p}}{\partial x^{k_p}}\!\circ\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^{l_1}}{\partial x^\tilde{j_1}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^{l_q}}{\partial x^\tilde{j_q}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}\!</math>.
<li>Пр.-во дифференциальн. <math>k</math>-форм: <math>\Omega^k(M)=\{\omega\in\mathrm{Tens}_k(M)\mid\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{AMulti}_k(\mathrm T_mM)\bigr)\}</math>. Алгебра диффер. форм: <math>\Omega(M)=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)</math>.</ul>

<h5>16.2  Дифференциальные операции на многообразиях</h5>
<ul><li>Производная Ли: <math>\mathcal L_vf=\mathrm df(v)</math>. Утверждение: <math>\mathcal L_v\!\in\mathrm{Der}(\mathrm C^\infty\!(M))</math> и <math>\mathcal L_v=0\,\Rightarrow\,v=0</math>. Коммутатор вект. полей: <math>\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\mathcal L_{[v,w]}=[\mathcal L_v,\mathcal L_w]\bigr)</math>.
<li>Теорема о коммутаторе. Пусть <math>M</math> — многообразие и <math>n=\dim M</math>; тогда (1) для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math>, определяя в координатах векторное поле <math>[v,w]</math> на <math>M</math> по формуле <math>[v,w]=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i-w^j\,\partial_jv^i\bigr)\frac\partial{\partial x^i}</math>, имеем следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция <math>[\,,]</math> удовлетворяет определению коммутатора; (2) операция коммутатора <math>[\,,]</math> на <math>M</math> определена однозначно; (3) <math>\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относ.-но операции <math>[\,,]</math>, и отобр.-е <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm C^\infty\!(M))\\v&\mapsto\mathcal L_v\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм алгебр Ли (без док.-ва сюръективности).
<li>Внешний дифференциал: <math>\mathrm d</math> — супердифференцирование алгебры <math>\Omega(M)</math>, <math>\mathrm d^2=0</math> и <math>\forall\,f\in\mathrm C^\infty\!(M)\;\bigl(\mathrm d(f)=\mathrm df\bigr)</math>. Утверждение: <math>\omega|_U=0\,\Rightarrow\,(\mathrm d\omega)|_U=0</math>.
<li>Теорема о внешнем дифференциале. Пусть <math>M</math> — многообразие и <math>n=\dim M</math>; тогда (1) для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\Omega^k(M)</math>, определяя в координатах форму <math>\mathrm d\omega</math> на <math>M</math> по формуле <math>\mathrm d\omega=(k+1)\!\!\!\sum_{1\le j_0,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\partial_{[j_0}\omega_{j_1,\ldots,j_k]}\,\mathrm dx^{j_0}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}</math> (эта формула эквивалентна формуле <math>\mathrm d\omega=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\mathrm d\omega_{j_1,\ldots,j_k}\!\wedge\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math>), имеем следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат (эскиз доказательства), и операция <math>\mathrm d</math> удовлетворяет определению внешнего дифференциала; (2) операция внешнего дифференциала <math>\mathrm d</math> на <math>M</math> определена однозначно.
<li>Замкнутая форма: <math>\mathrm d\omega=0</math>. Точная форма: <math>\omega=\mathrm d\psi</math>. Утверждение: точные формы замкнуты. Лемма Пуанкаре: в <math>\mathbb R^n</math> замкнут. формы точны (без док.-ва).
<li>Ковариантная произв. вект. полей: <math>\nabla\in\mathrm{Bi}(\mathrm{Vect}(M),\mathrm{Vect}(M))</math> и <math>\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M),\,f\in\mathrm C^\infty\!(M)\;\bigl(\nabla_{fv}w=f\,\nabla_vw\,\land\,\nabla_v(fw)=(\mathcal L_vf)\,w+f\,\nabla_vw\bigr)</math>.
<li>Теорема о ковариантной производной. Пусть <math>M</math> — многообразие, <math>n=\dim M</math> и в каждой системе координат из атласа на <math>M</math> заданы функции <math>\,\Gamma^i_{j,k}</math>, где <math>i,j,k\in\{1,\ldots,n\}</math>, преобразующиеся при замене координ. по формуле <math>\Gamma^\tilde i_{\tilde j,\tilde k}=\sum_{r=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^r}\!\circ\xi\Bigr)\biggl(\sum_{1\le s,t\le n}\!\!\Bigl(\frac{\partial x^s}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^t}{\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\Gamma^r_{s,t}+\Bigr(\frac{\partial^2x^r}{\partial x^\tilde j\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\!\biggr)</math>; тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math>, определяя в координ. векторное поле <math>\nabla_vw</math> на <math>M</math> по формуле <math>\nabla_vw=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i+\sum_{k=1}^n\Gamma^i_{j,k}v^jw^k\bigr)\frac\partial{\partial x^i}</math>, имеем следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция <math>\nabla</math> удовлетворяет определению ковариантной произв.-й.
<li>Векторное поле вдоль кривой: <math>v\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm TM)</math> и <math>\mathrm{pr}_M\!\circ v=\gamma</math>. Скорость <math>v</math> вдоль <math>\gamma</math>: <math>\dot v=\sum_{i=1}^n\Bigl((v^i)\!\dot{\phantom i}\!+\!\!\sum_{1\le j,k\le n}\!\!(\Gamma^i_{j,k}\!\circ\gamma)\,\dot\gamma^jv^k\Bigr)\Bigl(\frac\partial{\partial x^i}\!\circ\gamma\Bigr)</math>. Ускорение: <math>\ddot\gamma</math>.</ul>

<h5>16.3  Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</h5>
<ul><li>Метрический тензор сигнатуры <math>(p,q)</math>: <math>g\in\mathrm{Tens}_2(M)</math> и для любых <math>m\in M</math> выполнено <math>g(m)</math> — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры <math>(p,q)</math> на <math>\mathrm T_mM</math>.
<li>Псевдориманово многообр. сигнат. <math>(p,q)</math> — многообр. с метр. тензором сигнат. <math>(p,q)</math>. Риманово многообр.: <math>q=0</math>. Примеры: <math>\mathbb R^n</math>, пр.-во Лобачевского <math>\mathrm H^n</math>.
<li>Бемоль: <math>(\flat\,v)(m)=\flat_{g(m)}(v(m))</math>. Диез: <math>(\sharp\,\lambda)(m)=\sharp^{g(m)}(\lambda(m))</math>. Градиент функции: <math>\mathrm{grad}\,f=\sharp\,\mathrm df</math>. Градиент в коорд.: <math>(\mathrm{grad}\,f)^i=\sum_{j=1}^ng^{i,j}\,\partial_jf=\partial^if</math>.
<li>Ориентация многообр. <math>M</math> — такой выбор ориентаций всех пр.-в <math>\mathrm T_mM</math>, где <math>m\in M</math>, что <math>\exists\,\omega\in\Omega^n(M)\;\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{VF}_{>0}(\mathrm T_mM)\bigr)</math>. Атлас <math>\mathcal A_{>0}</math>.
<li>Канонич. форма объема: <math>\mathrm{vol}</math>. Оператор Ходжа: <math>*</math>. Ротор (<math>n=3</math>): <math>\mathrm{rot}\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\,\flat\,v</math>. Дивергенция: <math>\mathrm{div}\,v=(-1)^q\,{*}\,\mathrm d\,{*}\,\flat\,v</math>. Лапласиан: <math>\Delta f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)</math>.
<li>Символы Кристоффеля: <math>\Gamma^i_{j,k}=\frac12\sum_{l=1}^ng^{i,l}\bigl(\partial_jg_{k,l}+\partial_kg_{j,l}-\partial_lg_{j,k}\bigr)</math>. Теорема о связности Леви-Чивиты. Длина: <math>\int_\alpha^\beta\!\!\!\sqrt{g(\dot\gamma,\dot\gamma)}</math>; незав.-сть от параметриз.-и.
Теорема о связности Леви-Чивиты. Пусть <math>M</math> — псевдориманово многообразие; тогда (1) символы Кристоффеля на <math>M</math> преобразуются при замене координат по формуле из теоремы о ковариантной производной и, значит, определяют операцию ковариантной производной <math>\nabla</math> на <math>M</math> (она называется связностью Леви-Чивиты), причем эта операция обладает следующими свойствами: <math>\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\nabla_vw-\nabla_wv=[v,w]\bigr)</math> и <math>\forall\,u,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\mathcal L_u(g(v,w))=g(\nabla_uv,w)+g(v,\nabla_uw)\bigr)</math>; (2) операция ковариантной производной <math>\nabla</math> на <math>M</math>, обладающая свойствами из пункта (1), определена однозначно (без доказательства).
<li>Геодезические — экстремали функционала длины. Условие на геодезические (ур.-е Эйлера–Лагранжа для функционала длины): <math>\ddot\gamma=0</math> (если <math>g(\dot\gamma,\dot\gamma)=1</math>).
<li>Тензор Римана (кривизны): <math>\mathrm R^i_{j,k,l}=\partial_k\Gamma^i_{l,j}-\partial_l\Gamma^i_{k,j}+\sum_{h=1}^n\bigl(\Gamma^i_{k,h}\Gamma^h_{l,j}-\Gamma^i_{l,h}\Gamma^h_{k,j}\bigr)</math>. Тензор Риччи: <math>\mathrm R_{i,j}=\sum_{h=1}^n\mathrm R^h_{i,h,j}</math>. Скалярная кривизна: <math>\mathrm R=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!g^{i,j}\,\mathrm R_{i,j}</math>.</ul>

<h5>Эпилог. Дифференциальные операции на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h5>
<ul><li>Рассмотрим топологическое пространство <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово многообразие с ориентацией, структура которого задана максимальным атласом, являющимся классом согласов.-сти системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти коорд.-ты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрическим тензором («квадратом элемента длины») <math>g=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и таким выбором ориентаций всех касательных пр.-в к <math>\mathbb R^3</math>, что <math>\forall\,m\in\mathbb R^3\,\bigl(\Bigl(\frac\partial{\partial x}(m),\frac\partial{\partial y}(m),\frac\partial{\partial z}(m)\Bigr)\!\in\mathrm{OB}_{>0}(\mathrm T_m\mathbb R^3)\bigr)</math>; данная структура на <math>\mathbb R^3</math> определяет каноническую форму объема («элемент объема») <math>\mathrm{vol}=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math> и символы Кристоффеля, равные <math>0</math>.
<li>Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — ортогональная положительно ориентированная система координат на <math>\mathbb R^3</math> с областью определения <math>U</math> (то есть для любых <math>m\in U</math> выполнено <math>\Bigl(\frac\partial{\partial x^1}(m),\frac\partial{\partial x^2}(m),\frac\partial{\partial x^3}(m)\Bigr)\!\in\mathrm{OOB}_{>0}(\mathrm T_m\mathbb R^3)</math>); обозначим через <math>H_1</math>, <math>H_2</math> и <math>H_3</math> коэффициенты Ламе <math>\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^1}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x^1}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x^1}\Bigr)^{\!2}}</math>, <math>\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^2}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x^2}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x^2}\Bigr)^{\!2}}</math> и <math>\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^3}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x^3}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x^3}\Bigr)^{\!2}}</math> соответственно; тогда (1) для любых <math>i,j\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>g_{i,j}=g\Bigl(\frac\partial{\partial x^i},\frac\partial{\partial x^j}\Bigr)=g\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^i}\frac\partial{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial x^i}\frac\partial{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial x^i}\frac\partial{\partial z},\frac{\partial x}{\partial x^j}\frac\partial{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial x^j}\frac\partial{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial x^j}\frac\partial{\partial z}\Bigr)=\delta_{i,j}\,H_i^2</math>, и, значит, <math>g=H_1^2(\mathrm dx^1)^2+H_2^2(\mathrm dx^2)^2+H_3^2(\mathrm dx^3)^2</math> и <math>\mathrm{vol}=H_1H_2H_3\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>; (2) для любых <math>i,j,k\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\Gamma^i_{j,k}=\frac12\sum_{l=1}^3g^{i,l}\bigl(\partial_jg_{k,l}+\partial_kg_{j,l}-\partial_lg_{j,k}\bigr)=\frac1{2H_i^2}\bigl(\delta_{i,k}\,\partial_j(H_i^2)+\delta_{i,j}\,\partial_k(H_i^2)-\delta_{j,k}\,\partial_i(H_j^2)\bigr)</math>, и, значит, для любых <math>i,j\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\Gamma^i_{i,j}=\Gamma^i_{j,i}=\frac1{2H_i^2}\bigl(\delta_{i,j}\,\partial_i(H_i^2)+\partial_j(H_i^2)-\delta_{i,j}\,\partial_i(H_i^2)\bigr)=\frac{\partial_jH_i}{H_i}</math>, для любых различных <math>i,j\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\Gamma^i_{j,j}=\frac1{2H_i^2}\bigl(\delta_{i,j}\,\partial_j(H_i^2)+\delta_{i,j}\,\partial_j(H_i^2)-\partial_i(H_j^2)\bigr)=-\frac{H_j\,\partial_iH_j}{H_i^2}</math>, и для любых попарно различных <math>i,j,k\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\Gamma^i_{j,k}=0</math>.
<li>Зафиксируем ортогон. положит. ориентир. систему координат <math>(x^1,x^2,x^3)</math> на <math>\mathbb R^3</math> с областью определения <math>U</math> и обозначим через <math>e_1</math>, <math>e_2</math> и <math>e_3</math> векторные поля <math>\frac1{H_1}\frac{\partial}{\partial x^1}</math>, <math>\frac1{H_2}\frac{\partial}{\partial x^2}</math> и <math>\frac1{H_3}\frac{\partial}{\partial x^3}</math> соответственно; тогда <math>e^1\!=H_1\,\mathrm dx^1</math>, <math>e^2\!=H_2\,\mathrm dx^2</math> и <math>e^3\!=H_3\,\mathrm dx^3</math>, а также <math>g=(e^1)^2+(e^2)^2+(e^3)^2</math> и <math>\mathrm{vol}=e^1\!\wedge e^2\!\wedge e^3</math>.
<li>Пусть <math>f\in\mathrm C^\infty\!(U)</math>; тогда <math>\mathrm{grad}\,f=\sharp\,\mathrm df=\sharp\,\bigl(\partial_1f\;\mathrm dx^1+\partial_2f\;\mathrm dx^2+\partial_3f\;\mathrm dx^3\bigr)=\frac{\partial_1f}{H_1}\,e_1+\frac{\partial_2f}{H_2}\,e_2+\frac{\partial_3f}{H_3}\,e_3</math>.
<li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3=\frac{v^1}{H_1}\frac{\partial}{\partial x^1}+\frac{v^2}{H_2}\frac{\partial}{\partial x^2}+\frac{v^3}{H_3}\frac{\partial}{\partial x^3}\in\mathrm{Vect}(U)</math>; тогда (1) <math>\flat\,v=v^1e^1+v^2e^2+v^3e^3=H_1v^1\,\mathrm dx^1+H_2v^2\,\mathrm dx^2+H_3v^3\,\mathrm dx^3</math>; (2) <math>*\,\flat\,v=v^1e^2\!\wedge e^3-v^2e^1\!\wedge e^3+v^3e^1\!\wedge e^2\!=H_2H_3v^1\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-H_1H_3v^2\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+H_1H_2v^3\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2</math>; (3) <math>\mathrm{rot}\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\,\flat\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\bigl(H_1v^1\,\mathrm dx^1+H_2v^2\,\mathrm dx^2+H_3v^3\,\mathrm dx^3\bigr)=</math> <math>=\sharp\,{*}\,\bigl(\bigl(\partial_2(H_3v^3)-\partial_3(H_2v^2)\bigr)\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1(H_3v^3)-\partial_3(H_1v^1)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1(H_2v^2)-\partial_2(H_1v^1)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\bigr)=</math> <math>=\frac{\partial_2(H_3v^3)-\partial_3(H_2v^2)}{H_2H_3}\,e_1-\frac{\partial_1(H_3v^3)-\partial_3(H_1v^1)}{H_1H_3}\,e_2+\frac{\partial_1(H_2v^2)-\partial_2(H_1v^1)}{H_1H_2}\,e_3</math>; (4) <math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,\flat\,v=*\,\mathrm d\bigl(H_2H_3v^1\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-H_1H_3v^2\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+H_1H_2v^3\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\bigr)=</math> <math>=*\,\bigl(\bigl(\partial_1(H_2H_3v^1)+\partial_2(H_1H_3v^2)+\partial_3(H_1H_2v^3)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3\bigr)=\frac1{H_1H_2H_3}\bigl(\partial_1(H_2H_3v^1)+\partial_2(H_1H_3v^2)+\partial_3(H_1H_2v^3)\bigr)</math>.
<li>Пусть <math>f\in\mathrm C^\infty\!(U)</math>; тогда <math>\Delta f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)=\mathrm{div}\bigl(\frac{\partial_1f}{H_1}\,e_1+\frac{\partial_2f}{H_2}\,e_2+\frac{\partial_3f}{H_3}\,e_3\!\bigr)=\frac1{H_1H_2H_3}\Bigl(\partial_1\bigl(\frac{H_2H_3}{H_1}\,\partial_1f\bigr)+\partial_2\bigl(\frac{H_1H_3}{H_2}\,\partial_2f\bigr)+\partial_3\bigl(\frac{H_1H_2}{H_3}\,\partial_3f\bigr)\!\Bigr)</math>.
<li>Пусть <math>-\infty\le\alpha<\beta\le\infty</math> и <math>\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),U)</math>; тогда (1) <math>\dot\gamma=(\gamma^1)\!\dot{\phantom i}\frac{\partial}{\partial x^1}+(\gamma^2)\!\dot{\phantom i}\frac{\partial}{\partial x^2}+(\gamma^3)\!\dot{\phantom i}\frac{\partial}{\partial x^3}=H_1(\gamma^1)\!\dot{\phantom i}e_1+H_2(\gamma^2)\!\dot{\phantom i}e_2+H_3(\gamma^3)\!\dot{\phantom i}e_3</math>; (2) <math>\ddot\gamma=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+\!\!\sum_{1\le j,k\le3}\!\!\Gamma^i_{j,k}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}(\gamma^k)\!\dot{\phantom i}\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+\sum_{j=1}^3\Gamma^i_{i,j}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\!+\sum_{j=1}^3\Gamma^i_{j,i}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\!-\Gamma^i_{i,i}\bigl((\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2+\!\!\!\sum_{1\le j\le3,\,j\ne i}\!\!\!\Gamma^i_{j,j}\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=</math> <math>=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+2\sum_{j=1}^3\frac{\partial_jH_i}{H_i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\!-\frac{\partial_iH_i}{H_i}\bigl((\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2-\!\!\!\sum_{1\le j\le3,\,j\ne i}\!\!\!\frac{H_j\,\partial_iH_j}{H_i^2}\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+\frac{2(H_i)\!\dot{\phantom i}\!}{H_i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\!-\sum_{j=1}^3\frac{H_j\,\partial_iH_j}{H_i^2}\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=</math> <math>=\sum_{i=1}^3\frac1{H_i^2}\Bigl(H_i^2(\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+2H_i(H_i)\!\dot{\phantom i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\!-\sum_{j=1}^3H_j\,\partial_iH_j\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=\sum_{i=1}^3\frac1{H_i}\Bigl(\bigl(H_i^2(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\bigr)\!\dot{\phantom i}\!-\sum_{j=1}^3H_j\,\partial_iH_j\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\,e_i</math>.
<li>Найдем коэфф.-ты Ламе для цилиндрической и сферической систем координат (это ортогональные положительно ориентированные системы координат). (1) Цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math>: <math>x=\rho\cos\varphi</math>, <math>y=\rho\sin\varphi</math> и <math>z=z</math>, и, значит, <math>H_\rho=1</math>, <math>H_\varphi=\rho</math> и <math>H_z=1</math>. (2) Сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>: <math>x=r\sin\theta\cos\varphi</math>, <math>y=r\sin\theta\sin\varphi</math> и <math>z=r\cos\theta</math>, и, значит, <math>H_r=1</math>, <math>H_\theta=r</math> и <math>H_\varphi=r\sin\theta</math>.</ul>