SEWiki - Вклад участника [ru]

Матан, 1 семестр, 2014/15

2014-10-24T12:45:22Z

Fedyapetrov: /* Старое */

= Группа Фёдора Петрова =

=== Домашнее задание на семестр ===
Отчётность: без понятия

# Существует ли биективный многочлен <math>f(x, y)</math>:
## <math>\mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}</math>
## <math>\mathbb{Q}^2 \to \mathbb{Q}</math>

=== Текущее ===

Отчётность: письменно, сдаём в начале занятия, на занятии - устный разбор с выступлениями у доски.

30.10.2014: [[Медиа:Dz8fp.tex|TeX]], [[Медиа:Dz8fp.pdf|PDF]]

=== Старое ===

23.10.2014: [[Медиа:Dz7fp.tex|TeX]], [[Медиа:Dz7fp.pdf|PDF]]

16.10.2014: [[Медиа:Dz5aumatan.tex|TeX]], [[Медиа:Dz5aumatan.pdf|PDF]]

09.10.2014: [[Домашнее задание к 09.10.14, матан, 1 семестр|Wiki]], [[Медиа:Matan141009.tex|TeX]], [[Медиа:Matan141009.pdf|PDF]]

02.10.2014: [[Домашнее задание к 02.10.14, матан, 1 семестр|Wiki]], [[Медиа:Matan141002.tex|TeX]], [[Медиа:Matan141002.pdf|PDF]]

25.09.2014: [[Домашнее задание к 25.09.14, матан, 1 семестр|Wiki]]

18.09.2014: [[Медиа:Dz2.pdf|PDF]]. В рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

11.09.2014: [[Домашнее задание к 11.09.14, матан, 1 семестр|Wiki]]

= Группа Александра Логунова =

== Домашнее задание также есть в вашей почте, котятки ==

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/17jwRAcvrRgTDAVtE_wkN4EoLqn0XPqmw64H4Rw-nozg/edit#gid=829618697 Таблица успеваемости]

23.10.2014: [[Медиа:Dz7_Логунов.pdf|Задачи]]

16.10.2014: [[Медиа:Dz6_Логунов.pdf|Задачи]] + [[Медиа:N(eps).pdf|Дополнительное]]

02.10.2014: [[Медиа:Dz4_Логунов.pdf|Задания]] + [[Медиа:Разбор_задачи_про_sin(n^2).pdf‎|Приложение]]

25.09.2014: [[Медиа:Dz3_Логунов.pdf|PDF с заданием UPD]]

Матан, 1 семестр, 2014/15

2014-10-24T12:44:49Z

Fedyapetrov: /* Текущее */

= Группа Фёдора Петрова =

=== Домашнее задание на семестр ===
Отчётность: без понятия

# Существует ли биективный многочлен <math>f(x, y)</math>:
## <math>\mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}</math>
## <math>\mathbb{Q}^2 \to \mathbb{Q}</math>

=== Текущее ===

Отчётность: письменно, сдаём в начале занятия, на занятии - устный разбор с выступлениями у доски.

30.10.2014: [[Медиа:Dz8fp.tex|TeX]], [[Медиа:Dz8fp.pdf|PDF]]

=== Старое ===

16.10.2014: [[Медиа:Dz5aumatan.tex|TeX]], [[Медиа:Dz5aumatan.pdf|PDF]]

09.10.2014: [[Домашнее задание к 09.10.14, матан, 1 семестр|Wiki]], [[Медиа:Matan141009.tex|TeX]], [[Медиа:Matan141009.pdf|PDF]]

02.10.2014: [[Домашнее задание к 02.10.14, матан, 1 семестр|Wiki]], [[Медиа:Matan141002.tex|TeX]], [[Медиа:Matan141002.pdf|PDF]]

25.09.2014: [[Домашнее задание к 25.09.14, матан, 1 семестр|Wiki]]

18.09.2014: [[Медиа:Dz2.pdf|PDF]]. В рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

11.09.2014: [[Домашнее задание к 11.09.14, матан, 1 семестр|Wiki]]

= Группа Александра Логунова =

== Домашнее задание также есть в вашей почте, котятки ==

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/17jwRAcvrRgTDAVtE_wkN4EoLqn0XPqmw64H4Rw-nozg/edit#gid=829618697 Таблица успеваемости]

23.10.2014: [[Медиа:Dz7_Логунов.pdf|Задачи]]

16.10.2014: [[Медиа:Dz6_Логунов.pdf|Задачи]] + [[Медиа:N(eps).pdf|Дополнительное]]

02.10.2014: [[Медиа:Dz4_Логунов.pdf|Задания]] + [[Медиа:Разбор_задачи_про_sin(n^2).pdf‎|Приложение]]

25.09.2014: [[Медиа:Dz3_Логунов.pdf|PDF с заданием UPD]]

Файл:Dz8fp.tex

2014-10-24T12:43:54Z

Fedyapetrov:

Файл:Dz8fp.pdf

2014-10-24T12:43:24Z

Fedyapetrov:

Матан, 1 семестр, 2014/15

2014-10-03T12:04:52Z

Fedyapetrov:

= Группа Фёдора Петрова =

== Домашнее задание на семестр ==
Отчётность: без понятия

# Существует ли биективный многочлен <math>f(x, y)</math>:
## <math>\mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}</math>
## <math>\mathbb{Q}^2 \to \mathbb{Q}</math>

== Домашнее задание к 11.09.14 ==

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

# [[Файл:calculus_2014_140911_b.svg|right|160px]] Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
# <math>F \subseteq 2^\mathbb{N}</math>. Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
## <math>\forall A, B \subseteq F, A \neq B:</math> либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>
## <math>\forall A, B \subseteq F, A \neq B: |A \cap B| < \infty</math>
# <math>E \subseteq \mathbb{N}, |E| = \infty</math>. Доказать, что существует <math>a \in \mathbb{R}, a > 1</math> такое, что существует существует бесконечно много натуральных <math>n</math> таких, что <math>\left\lfloor{a^n}\right\rfloor \in E</math> (<math>\left\lfloor x \right\rfloor</math> - целая часть <math>x</math> или округление вниз).

== Домашнее задание к 18.09.14 ==

Отчётность: в рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

[[Медиа:Dz2.pdf|PDF с заданием]]

== Домашнее задание к 25.09.14 ==

#
## (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).
## (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.
#
## (1) Докажите, что если <math>X_1\subset X</math> и пространство <math>(X,\rho)</math> сепарабельно, то пространство <math>(X_1,\rho)</math> тоже сепарабельно.
## (1) Пусть <math>X_n</math> --- последовательность подмножеств <math>(X,\rho)</math>, такая что <math>(X_n, \rho)</math> сепарабельны, а <math>\cup X_n</math> плотно в <math>X</math>. Докажите, что <math>(X,\rho)</math> сепарабельно.
# (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.
# (1) Пусть <math>p</math> --- простое число. Для <math>x \in \mathbb{Q}, x \ne 0</math> определим <math>\|x\|_p=p^{-n}</math>, где число <math>x</math> представлено в виде <math>x=p^n\frac{a}{b}</math>, где <math>a, b, n \in \mathbb{Z}</math> и <math>a,b</math> не делятся на <math>p</math>. Положим <math>\|0\|_p=0</math>. Докажите, что функция <math>\rho_p(x,y)=\|x-y\|_p</math> является метрикой на множестве <math>\mathbb{Q}</math>.
# (4) Докажите, что если <math>X</math> --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в <math>X</math> (тем самым, <math>X</math> не счетно).
# (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.
# (4) Докажите, что если <math>\rho_1</math> и <math>\rho_2</math> --- две метрики на множестве <math>X</math>, такие что метрические пространства <math>(X,\rho_1)</math> и <math>(X,\rho_2)</math> сепарабельны, то метрическое пространство <math>(X,\rho_1+\rho_2)</math> тоже сепарабельно.
# Найдите множество частичных пределов последовательности
## (2) <math>\{\sqrt{n}\}</math> (<math>\{x\}=x-[x]</math> --- дробная часть числа <math>x</math>, то есть <math>0\leq \{x\}<1</math> и <math>[x]=x-\{x\}</math> --- целое число.)
## (3) <math>\sin (\pi \sqrt{2} n)</math>.

== Домашнее задание к 02.10.14 ==
[[Медиа:Matan141002.tex|TeX]], [[Медиа:Matan141002.pdf|PDF]]

# Найдите предел и <math>N(\varepsilon)</math> для последовательности
## (1) <math>x_n=\frac{n^2+\sqrt{n}\sin(n)}{n^2+\cos(n^3)};</math>
## (1) <math>x_n=\frac{\ln n}{\sqrt{n}};</math>
## (1) <math>x_n=\frac{(n+1)(n+2) \dots (n+10)}{(n-1)(n-2) \dots (n-10)};</math>
## (1) <math>x_n = n^{\frac{3}{2}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}).</math>
#
## (1) Докажите, что последовательность <math>\sin(n+1/n)</math> не имеет предела;
## (2) Докажите, что последовательность <math>\sin(n^3)</math> не имеет предела;
## (3) При каких <math>c</math> последовательность <math>\sin(c\cdot 10^n)</math> имеет предел?
# (3) Последовательность чисел <math>x_n</math> такова, что <math>x_{n+1}-\frac{x_n}{2} \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>. Докажите, что <math>x_n \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>.
# (3) Последовательность <math>x_n</math> задана следующим образом: <math>x_0=1</math>, <math>x_1=2</math> и <math>x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n^2 x_{n-1}}</math> при <math>n>1</math>. Докажите, что последовательность <math>x_n</math> сходится и найдите ее предел.
# (3) Последовательность положительных чисел <math>a_n</math> такова, что для любых <math>m,n</math> выполнено неравенство <math>a_{m+n}\leq a_n + a_m</math>. Докажите, что последовательность <math>\frac{a_n}{n}</math> имеет предел.

== Домашнее задание к 09.10.14 ==

1. Пусть <math>x_n </math> и <math>y_n </math> --- последовательности вещественных чисел. Пусть <math>X=\lim\limits_{n\to +\infty}x_n </math>,<math>Y=\lim\limits_{n\to +\infty}y_n </math>,а функции <math>N_x \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, N_y \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} </math> таковы, что для любого <math>\varepsilon>0 </math> при <math>n>N_x(\varepsilon) </math> выполнено <math>|x_n-X|<\varepsilon </math>,а при <math>n>N_y(\varepsilon) </math> выполнено <math>|y_n-Y|<\varepsilon </math>. Найдите предел <math>Z=\lim\limits_{n\to +\infty}z_n </math> и функцию <math>N_z \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} </math> такую, что для любого <math>\varepsilon>0 </math> при <math>n>N_z(\varepsilon) </math> выполнено <math>|z_n-Z|<\varepsilon </math>,если последовательность <math>z_n </math> задана соотношением

a) (0.5) <math>z_n = x_n + y_n </math>; б) (0.5) <math>z_n = x_n^2 </math>; в) (1) <math>z_n = x_n y_n </math>;

г) (1) <math>z_n = \frac{1}{y_n} </math> (считать <math>Y\ne 0 </math>); д) (1) <math>z_n =\frac{x_n}{y_n} </math> (считать <math>Y\ne 0 </math>);

е) (1) <math>z_n = x_n^2y_n + y_n^2x_n </math>; ё) (1) <math>z_n = \frac{x_n^2y_n + y_n^2x_n}{1+(x_n+y_n)^2} </math>;

2. (2 балла) Докажите, что последовательность <math>x_n=\sqrt{n} \cdot \frac{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n} </math> имеет конечный предел.

3. (3 балла) Докажите, что последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая рекуррентному соотношению <math>x_{n+1}=x_n \sin x_n </math>,сходится.

4. (4 балла) Докажите, что если последовательность <math>x_n </math> имеет предел <math>a </math>, то последовательность <math>y_n=\frac{x_1+x_2+\dots + x_n}{n} </math> тоже имеет предел <math>a </math>.

= Группа Александра Логунова =

== Домашнее задание к 02.10.14 ==
Здравствуйте, дорогие студенты!
...
По просьбам трудящихся дз стало меньше, чем в прошлый раз, но это лишь временная мера в связи с наличием старого дз, которое еще не все сдали.
Напоминаю, что теперь deadline для старого Дз - до 19 00 воскресенья, а новое дз нужно сдать в ПИСЬМЕННОМ виде на следующей паре.
В приложении также лежит разбор задачи про sin(n^2), которую разбирали в классе.
Удачи,
А. Логунов

[[Медиа:Dz4_Логунов.pdf|Задания]]
[[Медиа:Разбор_задачи_про_sin(n^2).pdf‎|Приложение]]

== Домашнее задание к 25.09.14 ==

Каждая задача стоит от 1-го до 4-ех баллов. Рекомендуется решить все задачи, которые весят 1 - 2 балла. Остальные задачи считайте бонусными.
В приложении лежит домашнее задание, в котором исправили нумерацию, и добавили условие про замкнутость в 7-ой задаче. Добавился пункт в 7-ой задаче, когда шары открытые, он оценивается в 1 балл.
Насчет субботы... На этой неделе ничего не будет, а на следующей начнется.
Вопросы можно также задавать по электронной почте.
Важная информация: я решил пойти Вам на встречу и сдвинул deadline до 19 00 Воскресенья.
Если пришлете дз раньше этого срока - я могу успеть указать на ошибки и дать возможность исправить.
Ближе к выходным я пришлю Вам следующее дз на тему пределов.
Удачи,
А.Логунов

[[Медиа:Dz3_Логунов.pdf|PDF с заданием UPD]]

Матан, 1 семестр, 2014/15

2014-09-25T19:38:39Z

Fedyapetrov:

= Группа Фёдора Петрова =

== Домашнее задание на семестр ==
Отчётность: без понятия

# Существует ли биективный многочлен <math>f(x, y)</math>:
## <math>\mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}</math>
## <math>\mathbb{Q}^2 \to \mathbb{Q}</math>

== Домашнее задание к 11.09.14 ==

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

# [[Файл:calculus_2014_140911_b.svg|right|160px]] Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
# <math>F \subseteq 2^\mathbb{N}</math>. Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
## <math>\forall A, B \subseteq F, A \neq B:</math> либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>
## <math>\forall A, B \subseteq F, A \neq B: |A \cap B| < \infty</math>
# <math>E \subseteq \mathbb{N}, |E| = \infty</math>. Доказать, что существует <math>a \in \mathbb{R}, a > 1</math> такое, что существует существует бесконечно много натуральных <math>n</math> таких, что <math>\left\lfloor{a^n}\right\rfloor \in E</math> (<math>\left\lfloor x \right\rfloor</math> - целая часть <math>x</math> или округление вниз).

== Домашнее задание к 18.09.14 ==

Отчётность: в рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

[[Медиа:Dz2.pdf|PDF с заданием]]

== Домашнее задание к 25.09.14 ==

#
## (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).
## (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.
#
## (1) Докажите, что если <math>X_1\subset X</math> и пространство <math>(X,\rho)</math> сепарабельно, то пространство <math>(X_1,\rho)</math> тоже сепарабельно.
## (1) Пусть <math>X_n</math> --- последовательность подмножеств <math>(X,\rho)</math>, такая что <math>(X_n, \rho)</math> сепарабельны, а <math>\cup X_n</math> плотно в <math>X</math>. Докажите, что <math>(X,\rho)</math> сепарабельно.
# (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.
# (1) Пусть <math>p</math> --- простое число. Для <math>x \in \mathbb{Q}, x \ne 0</math> определим <math>\|x\|_p=p^{-n}</math>, где число <math>x</math> представлено в виде <math>x=p^n\frac{a}{b}</math>, где <math>a, b, n \in \mathbb{Z}</math> и <math>a,b</math> не делятся на <math>p</math>. Положим <math>\|0\|_p=0</math>. Докажите, что функция <math>\rho_p(x,y)=\|x-y\|_p</math> является метрикой на множестве <math>\mathbb{Q}</math>.
# (4) Докажите, что если <math>X</math> --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в <math>X</math> (тем самым, <math>X</math> не счетно).
# (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.
# (4) Докажите, что если <math>\rho_1</math> и <math>\rho_2</math> --- две метрики на множестве <math>X</math>, такие что метрические пространства <math>(X,\rho_1)</math> и <math>(X,\rho_2)</math> сепарабельны, то метрическое пространство <math>(X,\rho_1+\rho_2)</math> тоже сепарабельно.
# Найдите множество частичных пределов последовательности
## (2) <math>\{\sqrt{n}\}</math> (<math>\{x\}=x-[x]</math> --- дробная часть числа <math>x</math>, то есть <math>0\leq \{x\}<1</math> и <math>[x]=x-\{x\}</math> --- целое число.)
## (3) <math>\sin (\pi \sqrt{2} n)</math>.

== Домашнее задание к 02.10.14 ==

1. Найдите предел и <math>N(\varepsilon)</math> для последовательности

а)(1) <math>x_n=\frac{n^2+\sqrt{n}\sin(n)}{n^2+\cos(n^3)};</math>

б)(1) <math>x_n=\frac{\ln n}{\sqrt{n}};</math>

в)(1) <math>x_n=\frac{(n+1)(n+2) \dots (n+10)}{(n-1)(n-2) \dots (n-10)};</math>

г)(1) <math>x_n = n^{\frac{3}{2}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}).</math>

2. а) (1) Докажите, что последовательность <math>\sin(n+1/n)</math> не имеет предела;

б) (2) Докажите, что последовательность <math>\sin(n^3)</math> не имеет предела;

в) (3) При каких <math>c</math> последовательность <math>\sin(c\cdot 10^n)</math> имеет предел?

3. (3) Последовательность чисел <math>x_n</math> такова, что <math>x_{n+1}-\frac{x_n}{2} \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>. Докажите, что
<math>x_n \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>.

4. (3) Последовательность <math>x_n</math> задана следующим образом: <math>x_0=1</math>, <math>x_1=2</math> и <math>x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n^2 x_{n-1}}</math>
при <math>n>1</math>. Докажите, что последовательность <math>x_n</math> сходится и найдите ее предел.

5. (3) Последовательность положительных чисел <math>a_n</math> такова, что для любых <math>m,n</math> выполнено неравенство <math>a_{m+n}\leq a_n + a_m</math>.
Докажите, что последовательность <math>\frac{a_n}{n}</math> имеет предел.

= Группа Александра Логунова =

== Домашнее задание к 25.09.14 ==

Каждая задача стоит от 1-го до 4-ех баллов. Рекомендуется решить все задачи, которые весят 1 - 2 балла. Остальные задачи считайте бонусными.
В приложении лежит домашнее задание, в котором исправили нумерацию, и добавили условие про замкнутость в 7-ой задаче. Добавился пункт в 7-ой задаче, когда шары открытые, он оценивается в 1 балл.
Насчет субботы... На этой неделе ничего не будет, а на следующей начнется.
Вопросы можно также задавать по электронной почте.
Важная информация: я решил пойти Вам на встречу и сдвинул deadline до 19 00 Воскресенья.
Если пришлете дз раньше этого срока - я могу успеть указать на ошибки и дать возможность исправить.
Ближе к выходным я пришлю Вам следующее дз на тему пределов.
Удачи,
А.Логунов

[[Медиа:Dz3_Логунов.pdf|PDF с заданием UPD]]

Матан, 1 семестр, 2014/15

2014-09-19T12:14:00Z

Fedyapetrov: /* Группа Фёдора Петрова */