Алгебраические структуры (CS)

Программа курса

1. Структуры, гомоморфизмы структур. Подструктуры, прямое произведение структур, факторструктуры. Теорема о гомоморфизме для структур.
Тождества. Многообразия. Свободные структуры. Теорема о свободных структурах. Задание структур образующими и соотношениями.
2. Моноиды. Свободные моноиды, моноиды эндоморфизмов. Группы. Числовые группы, свободные группы, группы автоморфизмов. Подгруппы,
классы смежности. Лемма о разбиениях на классы смежности, теорема Лагранжа. Порядок элемента. Лемма о порядке элемента.
3. Циклические группы. Теорема об описании циклических групп. Дискретный логарифм. Две теоремы о подгруппах циклической группы.
4. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении. Теорема о разложении конечной циклической группы в прямое произведение.
Конгруэнции на группах и нормальные подгруппы. Сопряжение элементов. Разбиение на классы сопряженности. Факторгруппы.
5. Кольца, подкольца, прямое произведение колец. Числовые кольца, свободные кольца, кольца эндоморфизмов. Характеристика. Эндоморфизм
Фробениуса. Идеалы, факторкольца. Кольца без делителей нуля, области целостности. Тела, поля. Неприводимые элементы.
6. Делимость. Главные идеалы. Лемма о делимости и главных идеалах. Простые идеалы, максимальные идеалы. Простые элементы. Евклидовы
области. Области главных идеалов. Соотношение Безу. Алгоритм Евклида. Китайская теорема об остатках для областей главных идеалов.
7. Факториальные области. Теорема о главных идеалах. Теорема о факториальных областях. Теорема о включениях между классами колец.
8. Функция Эйлера и ее обобщение. Теорема Эйлера. Теорема о функции Эйлера. Лемма о корнях многочлена, теорема о цикличности. Теорема
о группах обратимых остатков. Критерий существования дискретного логарифма. Символ Лежандра, символ Якоби. Тесты на простоту.
9. Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Связь с алгоритмами сортировки массива. Знак, знакопеременные группы.
10. Действия групп. Разбиение на орбиты. Стабилизаторы, неподвижные точки. Теорема об описании однородных $G$-множеств. Лемма Бернсайда.
11. Теорема о внутренних автоморфизмах. Внешние автоморфизмы. Коммутант, абелианизация группы. Теорема о простоте знакопеременных групп.
12. Модули, подмодули, прямое произведение модулей. Фактормодули. Независимые и порождающие подмножества, базисы. Свободные модули.
13. Векторные пространства. Лемма о независимых и порождающих подмножествах. Теорема о бесконечном базисе. IBN-кольца. Ранг. Теорема
о существовании базиса. Лемма Штейница о замене. Размерность. Алгебры. Алгебры с делением. Расширения полей, подрасширения.
14. Алгебраические элементы. «Поле разлома». Теорема о «поле разлома» и следствие из нее. Поле разложения. Теорема о поле разложения.
15. Конечные поля. Производная и кратные корни. Теорема об описании конечных полей. Теорема о подполях конечного поля. Группа Галуа.